Две лекции по теоретической физике для школьников

Журнал Потенциал

Теоретическая физика и электромагнитное поле

Теоретическая физика для школьников?

Первые два вопроса, которые должно вызвать название лекций — это «Зачем?» и «Возможно ли?». Ответ на первый вопрос: «теоретическая физика» по состоянию на конец XIX века, являет, в первую очередь, новый взгляд на всю физику, причем, взгляд и более строгий, и более связный. Но главное, что только имея то новое видение, можно понять многие фундаментальные явления, например электромагнитного поля и квантовой частицы. И других путей понять, что это такое, поныне не найдено. Многие физические понятия остаются недоступными школьникам и студентам, если тем не привить определённый взгляд на теоретическую физику.

Эта мысль была затенена, с одной стороны, тем, что в то же время — во второй половине 19 в. — в силу быстрого развития физики, выделились две профессии — «физик-экспериментатор» и «физик-теоретик». Причем работа последнего тесно переплелась с использованием сложного математического аппарата «математической физики»¹ . Поэтому «теоретическая физика» стала ассоциироваться с профессией физика-теоретика, а не с взглядом на физику в целом, где теория и эксперимент неразрывно связаны.

Секрет предлагаемого изложения в том, что, если задаться проблемой понимания физики на уровне физических моделей, то есть самого главного в физике, то в рамках подхода теоретической физики можно обойтись без сложного математического аппарата «математической физики» (который необходим для решения задач). Это и будет сделано в предлагаемых лекциях. В этом состоит ответ на второй вопрос.

Подход «теоретической» физики. Электромагнитное поле

Понимание того, в чем состоит новый более сложный тип задания исходных («первичных») понятий, облегчается тем, что ситуация в физике во многом аналогична той, что имела место тогда же в геометрии, которая более проста и знакома. В геометрии есть исходные (первичные) понятия (точка, прямая, плоскость,…), с помощью которых образуются остальные «вторичные» понятия (фигуры). Вторые определяются через первые (треугольник — это фигура, образованная пересечением трех прямых), но как определить первые («первичные»)? До второй половины XIX в. эти первичные понятия считались неопределимыми понятиями, которые интуитивно ясны (очевидны). Но после появления неевклидовой геометрии стало сложно говорить об интуитивной ясности, скажем, понятия «прямая». В 1899 г. великий математик Давид Гильберт для решения этой проблемы ввел новый «неявный» тип определения исходных понятий геометрии с помощью аксиом геометрии. В аксиомах геометрии фигурирует несколько понятий (например, «через две точки можно провести прямую и только одну»). Эти понятия нельзя явным образом вывести друг через друга, используя определения типа «прямая — это…». Но «неявно» и «совместно», не значит «нечетко». Если аксиом достаточное количество, то все исходные понятия оказываются определенными четко и однозначно.

Аналогичный процесс имел место и в физике. Многие из основных понятий классической механики Ньютона (масса, сила,…) до последней трети XIX в. имели статус неопределяемых интуитивно ясных понятий. Но в связи с появлением электродинамики Максвелла и на фоне обсуждения проблемы оснований в математике, эта «интуитивная ясность» перестала срабатывать². В итоге физика фактически пошла по тому же пути, что и геометрия — исходные понятия стали задаваться неявным образом в рамках системы понятий и постулатов, образовавших основания различных разделов физики (в теоретической физике). В результате целостной единицей становится «раздел физики», который состоит из базовой системы исходных понятий и постулатов (оснований), в которой задаются (определяются) исходные («первичные») понятия и различных теорий явлений, которые строятся с помощью этих понятий³ . Это и отложилось в структуре теоретической физики, которая распадается на разделы, каждый из которых обладает своей базовой системой исходных понятий и постулатов⁴. Такая структура позволяет работать с более сложными понятиями. Более простые понятия типа «механической частицы» ещё более-менее адекватно можно получить простой процедурой абстрагирования от некоторых свойств эмпирически данных объектов (тел), но понятия электромагнитного поля и, особенно, «квантовой частицы»⁵ таким путем не получить. Адекватное задание (и понимание) этих более сложных понятий возможно лишь в рамках соответствующей базовой системы исходных понятий и постулатов.

Важной особенностью, отличающей физику от математики, является то, что теоретические объекты физики (например, механические частицы, движущиеся с определенной скоростью) должны воплощаться в материальные эмпирические частицы. Поэтому в физике, наряду с теоретическими объектами (Т) входят процедуры приготовления <П| и измерения |И> (суть процедур измерения величины состоит в сравнении с соответствующим эталоном, образцовый пример — измерение длины). Все вместе они образуют структуру эксперимента < П|Т|И > ⁶. Так, в классическом эксперименте по скатыванию шарика с гладкой наклонной плоскости надо «приготовить» шарик, гладкую наклонную плоскость и поместить шарик в нужное место, а затем измерять моменты времени и пройденные расстояния. Процедуры приготовления, «вырезающие» некий объект из целого Природы — отличительная черта классического эксперимента, идущего от Галилея, которая принципиально отличает Новое время, от античности, где подобные процедуры были запрещены для научного познания: для древнегреческого философа подобное «изымание из Природы» характерно для ремесленника и неинтересно для ученого (и механика, состоящая в использовании простых орудий, тогда относилась к ремеслу, а не науке).

Хочу подчеркнуть, что процедуры приготовления и измерения входят как элементы особого типа в базовую систему исходных понятий и постулатов раздела теоретической физики, и в курсах теоретической физики эти элементы присутствуют наряду с теоретическими элементами (особенно четко процедуры измерения фиксируются в специальной теории относительности⁷). То есть теоретическая физика оперирует как теоретическими, так и нетеоретическими (процедуры) элементами. Наличие процедур в базовой системе исходных понятий и постулатов составляет одно из важных отличий физики от математики.

Основу физической теории составляет физическая модель явления (или объекта). Ее построение — особый навык схематизации-моделирования, который приобретается при изучении курсов «общей физики». После того, как модель составлена, в соответствии с ней составляется «уравнение движения», которое затем решается. Основной областью физической работы является построение самой модели явления (особо следует рассматривать «научные революции» типа создания новой базовой системы исходных понятий и постулатов ⁸). Характерный для математики дедуктивный вывод следствий из основных положений — в физике явление не частое и не главное. Главное в физике — построение моделей.

Понимание физического явления наступает как результат создания соответствующей физической модели. Поэтому в теоретической части надо выделять физическую модель. Она составляет суть теории, хотя без соответствующего математического описания нельзя работать, в частности, нельзя предсказывать поведение физической системы.

Основными элементами физической модели являются «физическая система» (A) — то, что не меняется (в классической механике — механические частицы), и ее «состояния» (S_Aj) — то, что меняется. Состояния S_Aj задаются набором соответствующих измеримых величин (то есть величин, определяемых соответствующими процедурами измерения, кроме них в физике используются вторичные, производные величины типа теплоемкости и т. п.), в классической механике состояние системы состоящей из механических частиц задаются положениями и скоростями этих механических частиц. Физический процесс (движение) представляется в физике как переход физической системы из одного состояния в другое: S_A1→ S_A2.

При этом связь между состояниями физической системы задается с помощью «уравнения движения» (например — уравнения Ньютона), для чего вводится «математическое представление», состоящее из математических образов физической системы (A) (принадлежность математическому слою будем обозначать подчеркиванием), внешних воздействий (сил и т. п.), состояний физической системы (S_A) и самого «уравнения движения». Физическая модель занимает центральную часть физической теории⁹. Она, с одной стороны, связана с математическим представлением, а с другой — с процедурами приготовления и измерения. Последние неотрывны от теоретической модели.

В результате для различных разделов физики мы получаем единую структуру базовой системы исходных понятий и постулатов раздела физики (1)¹⁰ . Важно, что все элементы структуры (1) взаимосвязаны и определяются, как и основные понятия геометрии, совместно (правда, часто процедуры приготовления и измерения определяются отдельно от теоретической части). Так уравнение движения (а, следовательно, и весь математический слой) влияют на то, что представляет собой состояние физической системы. Оно определяет не только связь между состояниями (динамический аспект), но и сам набор (спектр) возможных состояний физической системы.

Состояние физической системы — одно из центральных понятий физики, хотя в курсе общей физики и в школе, его избегают. Знание состояния задает полную возможную информацию о системе в данный момент времени, а посредством уравнения движения — и в другие моменты времени. Так в классической механике, где уравнением движения является уравнение Ньютона, для случая физической системы, состоящей из одной частицы, зная положение и скорость частицы с помощью уравнения движения, можно ответить на любой вопрос про движение частицы, как в этот момент времени, так и в любой другой. Поэтому знание положения и скорости частицы и задает состояние частицы в классической механике. Разным разделам физики отвечает разное содержательное наполнение указанных в структуре (1) мест. То есть эта структура помогает упорядочить те вопросы, ответы на которые составляют основание любого раздела физики.

Итак, базовые понятия физики, возникшие начиная с электродинамики Максвелла, нельзя адекватно понять, не используя явно или неявно структуру типа (1), то есть структуру оснований раздела физики, которая естественно возникает в теоретической, а не «общей» физике. Причем речь идет о понимании основных модельных понятий, которые можно отделить от сложной математики.

В центре этой структуры (1) находится переход физической системы из одного состояния в другое: S_A1→ S_A2. Этих двух понятий — физической системы и ее состояний — достаточно, чтобы описать физический процесс. Процесс движения частицы (и классической, и квантовой) в физике представляется как переход во времени физической системы (A) из одного состояния (SA(t₁)) в другое (SA(t₂)), а набор возможных состояний является важнейшей характеристикой физической системы. При этом понятия физической системы и ее состояний задаются совместно в рамках базовой системы исходных понятий и постулатов.

Модели непрерывной среды, электромагнитного поля, волны.

Исходя из этого взгляда теоретической физики, получаем следующее принципиальное различие между двумя наиболее общими физическими моделями: локализованной в пространстве частицы и нелокализованной в пространстве непрерывной среды.

Простейшим примером первой служит механическая частица механики Ньютона.

Простейшим примером второй — гидродинамика идеальной жидкости Эйлера¹¹.В гидродинамике идеальной жидкости Эйлера физической системой (A) является идеальная (несжимаемая и без вязкости) жидкость, заполняющая некоторое пространство (часть трубы, русла реки и т. п.). Состояния этой системы описываются значениями давления и скоростей во всех точках, занимаемых этой жидкостью. Соответственно, чтобы измерить эти значения, в процедурах измерения необходимо использовать «пробное тело» — нечто инородное (крупинку), что выделит измеряемую точку среди других.

Принципиальное различие между указанными двумя наиболее общими физическими моделями состоит в том, что состояния локализованной в пространстве частицы задаются в этой локальной точке (это числа) и измеряются непосредственно, с использованием самой частицы, а состояния нелокализованной в пространстве непрерывной среды задаются во всем пространстве, занимаемой этой средой, (это функции)¹² и процедуры измерения используют «пробное тело».

Это различие верно не только для двух указанных простейших примеров, но и для любых физических систем типа частицы и физических систем типа непрерывной среды. При этом в более сложных средах будет больше измеримых величин, определяющих ее состояние и более сложные уравнения движения.

Одной из форм такой непрерывной среды является электромагнитное поле. Измеримыми величинами, которые задают ее состояние, являются напряженности электрического и магнитного полей во всем пространстве, занимаемом полем. Они мерятся с помощью соответствующих пробных тел («пробного заряда» и «пробного витка с током»). Метод абстрагирования тут заводит в тупик: для электромагнитных волн тогда приходится вводить чрезвычайно твердый эфир, который никто не чувствует. До электродинамики Максвелла физика развивалась (точнее так считалось) путем абстрагирования. Во всяком случае, введение понятий в такой характерной для курсов «общей физики» логике — от явлений к теоретическим понятиям — для большинства работающих физиков и инересующихися физикой людей было приемлемым. Поэтому освоение понятия электромагнитного поля в течении нескольких десятилетий вызывало большие трудности у физиков. Сегодня у воспитанных на подходе теоретической физики физиков понятия сколь угодно сложной среды или поля (частного случая непрерывной среды) особых трудностей не вызывают.

Модель непрерывной среды порождает еще одну широко распространенную в физике модель — модель волны. Волны — это «изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее важные и часто встречающиеся виды волн — упругие волны (в том числе звуковые — А. Л.), волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны» [ФЭС, с. 85]. то есть некий тип состояний среды представляется в виде стационарного состояния (типа гладкой поверхности воды) и особого типа нестационарной добавки (чаще всего колебательного характера), называемой волной, которая возникает во многих средах в результате локального возмущения стационарного состояния (типа брошенного в воду камня).

Но, с другой стороны, волны могут рассматриваться как физические системы, а не состояния. Причем, так же как различные механические системы собираются из частиц, так волны (это может быть одиночный импульс, цуг, состоящий из нескольких импульсов и т. д.) собираются из простейших, так называемых, «гармонических» или синусоидальных волн. Все прочие волны можно представить в виде суммы синусоидальных волн. При этом обычно (мы ограничимся такими случаями) волны подчиняются принципу суперпозиции, то есть они распространяются независимо друг от друга. Т.о. «гармонические» или синусоидальные волны играют здесь роль, аналогичную роли механических частиц в механике — это простейшие базовые физические системы, которые характеризуются частотой (подобно тому, как механические частицы характеризуются массой). Направление распространения гармонической волны, ее амплитуда, начальная фаза, поляризация — характеризуют ее состояние. Они меняются под действием затухания, фильтров, поляризаторов, фазовых пластин, зеркал и т. п., выступающих в роли внешних воздействий («сил»). Вообше говоря, волны имеют передний и задний фронты (начало и конец, расстояние между которыми определяет еще один важный параметр волны — ее «длину когерентности»), а могут представлять собой и весьма компактные образования (волновые пакеты). То есть волна представляет собой протяженный, но локальный (ограниченный) объект, распространяющийся в пространстве.

Поэтому многое в их поведении напоминает поведение частиц. Не случайно в течении долгого времени конкурировали волновая и корпускулярная модели распространения света. Тем не менее исходно они выступают как альтернативные модели. Специфические свойства волн, характеризующие их распространение как принципиально отличное от движения частиц, — явление интерференции (термин, введенный Томасом Юнгом в 1803 г.) и дифракции. Эти свойства отличают поведение волн от поведения потока частиц, описываемого законами геометрической оптики.

Явление интерференции состоит в следующем. Две совпадающие по частоте и имеющие неизменную разность фаз («когерентные») волны могут находиться как «в фазе» (максимум под максимумом — слева на рис.1), так и в противофазе (максимум под минимумом — справа на рис.1). В первом случае они складываются, во втором — вычитаются.

Рис.1.

В результате возможна ситуация, когда сложение двух волн приводит к их взаимоуничтожению (аннигиляции). Такая ситуация для классических частиц невозможна¹³. Поэтому наличие этого явления — светлой точки в центре области тени от диска — однозначно указывает на волну. И когда Томас Юнг показал, что свет обладает этим свойством, то спор о природе света был решен в пользу волн. Поскольку кроме рассмотренных крайних случаев возможны и все промежуточные, то общая картина интерференции может выглядеть более сложно. В общем случае при приходе двух совпадающих по частоте и имеющих неизменную разность фаз («когерентных») волн в данную точку среды их действие складывается так, что в точках, куда обе волны приходят в фазе они усиливают друг друга, а в точках, куда они приходят в противофазе — ослабляют.

В результате получается картина так называемых интерференционных полос. В частности, в случае пучка света, падающего перпендикулярно на экран с двумя щелями, на стоящем за ним параллельном экране максимум интенсивности будет наблюдаться в области геометрической тени. На сечении экрана плоскостью, проходящей через середину между щелями перпендикулярно экранам будет наблюдаться максимум интенсивности света, и это будет повторяться при разности расстояний до щелей кратной длине волны. Эта картина изображена на правой части рис.3, где справа изображен график интенсивности суммарной волны. Это классический опыт по доказательству волнового (а не корпускулярного, как предполагал Ньютон) характера света.

Явление дифракции состоит в огибании тела волной (левая часть рис.2), из-за чего предсказываемые геометрической оптикой резкие тени размываются.

Квантовая механика

«Старая» квантовая теория

Рождением квантовой механики считается момент введения постоянной Планка ħ (декабрь 1900 г.), с помощью которой Планк получил выражение, правильно описывающее спектр теплового излучения абсолютно черного тела, как при низких, так и при высоких частотах. С этого начинается «старая квантовая теория», состоявшая в том, что физикам удавалось с помощью постоянной Планка ħ получать выражения, правильно описывающие ряд явлений, которые до этого представляли собой нерешенные задачи. Те явления, которые удавалось таким образом (с использованием постоянной Планка ħ) описать, относили к квантовым явлениям. Так была решена Эйнштейном проблема описания фотоэффекта (1905), где было введено представление об энергетическом кванте электромагнитного излучения (фотоне) с энергией E= ħ ν, где ν — частота электромагнитной волны. Так появляется модель атома Бора (1913), где в основу положена классическая планетарная модель атома водорода, к которой добавляют (накладывают) ряд неклассических постулатов: электрон в атоме может находиться лишь в определенных, так называемых стационарных состояниях, характеризующихся дискретными значениями энергии E_j; находясь в стационарном состоянии, электрон не излучает, а при переходе из одного состояния (с энергией E_j) в другое состояние (с энергией E_k) излучается (или поглощается) квант излучения с частотой ν = $\left|{E_{k}-E_{j}}\right|/h$. В результате Бором были объяснены серии спектральных линий атома водорода (Бальмера, Ридберга и др.), устойчивость атома и некоторые другие эффекты. На первом плане здесь оказывается дискретность, то есть квантованность, откуда и происходит название всего направления¹⁴.

Однако, ключевой особенностью квантовой частицы (микрочастицы), ознаменовавший переход к «новой» квантовой механике стал «корпускулярно-волновой» дуализм. Впервые это свойство появилось в теории фотоэффекта Эйнштейна, где свет поглощается порциями, что характерно для частиц (корпускул), но их распространение проявляет типичные волновые свойства (дифракцию и интерференцию). В 1923 г. Де Бройль объявил этот дуализм характерным для всех микрочастиц. Очень ярко это свойство проявляется в описанном ниже (рис. 3) классическом двухщелевом мысленном эксперименте, где микрочастицы падают на экран с двумя щелями, за которым стоит фотопластинка, которая эти частицы поглощает. Проблема корпускулярно-волонового дуализма решается в «новой» квантовой механике, созданной в 1925-27 гг., в рамках вероятностного типа описания поведения квантовой частицы (квантовомеханического описания). То есть поведение квантовой частицы описывается не точными значениями соответствующих величин (положения, скорости и ряда других), а распределениями вероятностей соответствующих величин.

Рис.2

Понятие «распределение вероятностей» можно дать на примере стрельбы по цели. В силу ряда случайных факторов (качества оружия, меткости стрелка, силы ветра и т. п.) будет иметь место случайное отклонение пули от центра мишени. На основании достаточно длинной серии выстрелов, можно построить распределение вероятностей отклонений попаданий от центра мишени, которая будет представлдять собой кривую, изображенной на рисунке 2 — вероятность попадания пули в диапазоне от X_k до X_k+1 будет пропорциональна площади этого сегмента под кривой. В обычно приемлемом приближении такую кривую можно охарактеризовать двумя величинами: положением ее максимума (характеризующего среднее значение) и «мерой неопределенности» ΔX, характеризующей отклонение от него.

Вероятностный характер поведения квантовой частицы и «корпускулярно-волновой» дуализм являются важнейшими специфическими новыми качествами квантовой частицы (микрочастицы)¹⁵ — базового объекта квантовой механики.

Квантовая механика — самый сложный раздел физики. И эта сложность связана, в первую очередь, не с использованием сложной математики, а с тем, что здесь используется более сложные и менее наглядные понятия. Их возможно определить только в рамках подхода «теоретической физики».

Современная квантовая механика

В разных разделах физики речь идет о разных процессах и физических системах, и в них будет разным содержательное наполнение структуры (1). Сейчас нас интересует раздел физики под названием «квантовая механика» (в нерелятивистском варианте), которая была создана в 1925-27 гг. «Квантовая частица» — базовое («первичное») понятие этого раздела физики, которое определяется базовой системой исходных понятий и постулатов квантовой механики. Последнюю можно представить как совокупность постулатов Шредингера, Борна, Бора-Гейзенберга («процедуры квантования затравочной классической системы»)¹⁶ .

Постулаты Э.Шредингера¹⁷ вводят математический образ состояния квантовой системы в виде «волновой функции» Ψ_A(t) (ее часто называют Ψ — функцией (пси-функцией)) и уравнение Шредингера в качестве уравнение движения, куда входит оператор Гамильтона H^кв, являющийся математическим образом квантовомеханической системы. То есть в (1) надо математический образ S_A^j заменить на Ψ_A(tj) и вместо уравнения движения подставить уравнение Шредингера. В постулаты Шредингера следует включить и принцип суперпозиции, утверждающий, что если есть два состояния, описываемые волновыми функциями Ψ₁ и Ψ₂, то есть состояния, описываемые волновыми функциями (a Ψ₁ + b Ψ₂) с любыми коэффициентами a и b. В силу того, что уравнение Шредингера — уравнение волнового типа, эти постулаты ответственны за волновые свойства распространения состояний. При этом связь состояний здесь, как и в классической физике, абсолютно однозначна (детерминистична).

Постулаты М.Борна, которые часто называют «вероятностной интерпретацией волновой функции», ответственны за появление в квантовой механике вероятности и за сочетание корпускулярных и волновых свойств. Это центральные постулаты квантовой механики. Именно из-за нечеткости их формулировки и существует множество «интерпретаций» квантовой механики. Четкая формулировка звучит так: 1) в квантовой механике состояние физической системы определяется не значениями, а распределениями вероятности значений соответствующих измеримых величин (это естественное обобщение понятия состояния в физике); 2) из этого следует, что одно измерение ничего не говорит о состоянии системы, и чтобы определить распределение вероятности, требуется достаточно длинная серия измерений¹⁸; 3)задаются правила, позволяющие по математическому образу состояния Ψ_A(t), определить распределения вероятности соответствующих измеримых величин. Измерение в квантовой механике, как и в других разделах физики, проявляет, а не создает существующее состояние. Оно ничего не говорит о том, что будет с системой или ее состоянием после измерения (это прерогатива процедур приготовления, использующих фильтры и другие приборы. И, как и в классической физики, не надо сюда примешивать ни сознание, ни многомировые интерпретации, ни довольно мутное (когда оно используется в расширительном смысле) понятие информации (в физике этого понятия вводить не надо).

Постулаты Шредингера и Борна определяют основные свойства квантовых систем: вероятностный тип поведения и корпускулярно-волновой дуализм. Сочетание корпускулярных и волновых свойств здесь хорошо иллюстрируется на примере известного двухщелевого эксперимента: микрочастицы падают на экран с двумя щелями, за которым стоит фотопластинка, которая эти частицы поглощает. В соответствие с постулатами Борна каждое отдельное измерение даст локальную точку на втором экране-фотопластинке (корпускулярное свойство), но если провести достаточно много измерений, то проявится дифракционно-интерференционная картина (волновые свойства), соответствующая прохождению волны через две щели (при этом вопрос «через какую щель проходит частица?» на самом деле оказывается неадекватным, у микрочастицы, как и у волны, нет локализованной траектории).

Рис.3

Однако, чтобы задать квантовомеханическую систему, состоящую из одной или многих квантовых частиц, надо указать способ построения математического образа физической системы — квантовый оператор Гамильтона HКВ, который входит в «уравнение движения».

В «старой» квантовой механике аналогичная задача решалась с помощью «принципа соответствия» Бора (в теории атомных спектров). Он использовал сопоставление классических и квантовых теорий путем сравнения их результатов в специальных предельных случаях, где они должны были совпадать. За счет этого определялись неизвестные значения коэффициентов в формулах «старой» квантовой теории.

В «новой» квантовой механике использование (встраивание) классической физики в квантовую механику превратилось в особую общую процедуру (впервые введенную Гейзенбергом), которую можно рассматривать как развитие в «новой» квантовой механике боровского принципа соответствия из «старой» квантовой механики. При этом классическая физика оказалась встроенной в основания квантовой физики в виде «правила квантования затравочной классической системы» при построении оператора Гамильтона (гамильтониана) Hкв для той или иной квантовой системы. Гамильтониан является математическим образом этой квантовомеханической системы, входящим в уравнение движения (уравнение Шредингера).

Продемонстрируем эту общую процедуру на примере построения квантовой теории атома. Исходной точкой здесь является классическая модель (планетарная модель атома). Для нее строится классический математический образ — классический Гамильтониан H(x, p) (являющийся функцией от положений (x) и импульсов (p) частиц). Затем проводится процедура квантования в виде замены импульсов на соответствующие дифференциальные операторы¹⁹. В результате этого получают квантовый гамильтониан, то есть математический образ квантовой системы, отвечающий делокализованным состояниям («орбитам») электронов в атоме. Т.о., благодаря процедуре квантования затравочной классической системы классическая физика оказалась встроенной в основания квантовой физики.

Соответственно «затравочной классической моделью» квантовой частицы является классическая механическая частица. Именно поэтому «первичным» объектом квантовой механики является «квантовая частица», обладающая волновыми свойствами²⁰, которая благодаря постулатам Шредингера и Борна приобретает определенные волновые и вероятностные свойства.

Одно из таких новых свойств демонстрирует «соотношение неопределенностей» (СН) Гейзенберга, которое утверждает, что для двух «взаимодополнительных» величин (например, компонент положения и импульса x и p_x) произведение их неопределенностей (см. рис.2) Δx• Δp_x≥ ħ/π . «Взаимодополнительность» — новое для физики свойство, утверждающее, что измеримые величины, отвечающие затравочной классической модели, содержат пары взаимодополнительных величин. Математическим выражением этого свойства является некоммутативность математических образов (так называемых операторов) измеримых величин (то есть ab≠ ba), а физическим выражением свойства взаимодополнительности является само &amp;#8220;соотношение неопределенностей", которое представляет собой не дополнительный постулат (принцип), а следствие постулатов Шредингера и Борна: оно теоретически выводится из них /Джеммер, с. 324—325/ (это не частый в физике пример дедуктивного вывода).

Соответственно соотношение неопределенностей есть свойство состояния, а не измерения (якобы «меря одну величину, возмущаем другую»). Состояние, полностью описываемое волновой функцией, определяет распределение вероятностей для всех измеримых величин, включая взаимодополнительные. Измерения (по определению, по своему функциональному месту в (1)) проявляют состояние, а не меняют его (это делают процедуры приготовления, используя различные фильтры и т. п.). Соотношение неопределенностей является следствием волновых свойств квантовых частиц. Состояние с заданным положением частицы можно приготовить с помощью экрана с маленькой щелью (рис.4), но в силу дифракции после прохождения щели будет большая неопределенность по направлению импульса; состоянию с определенным импульсом отвечает плоская волна, характеризующаяся полной нелокализованностью в пространстве (слева от экрана на рис.4).

Рис.4

Такова предлагаемая в данной работе формулировка базовых понятий и постулатов квантовой механики²¹. Основанием ее является выделение в формулировке постулатов Борна _понятия состояния, которое объективно существует независимо от каких бы то ни было измерений, но определяется не значениями, а распределениями вероятности значений_ соответствующих измеримых величин. Эти состояния, как и в классической физике, однозначно связаны уравнением движения и существуют независимо от измерения и наблюдателя. Поэтому, по-прежнему, вопреки тому, что утверждал Бор, речь в квантовой механике идет о причинном и объективном описании явлений²².

Примечания

¹"Развитие и усложнение новейших экспериментальных методов физического исследования, с одной стороны, и такое же развитие и необычайное расширение расчетного аппарата теоретической физики, с другой стороны, привели к … возникшему в конце XIX в. и особенно в XX в. разделению физиков на «экспериментаторов», непосредственно осуществляющих опытные исследования в лабораториях, и «теоретиков», изучающих физические закономерности с помощью расчетных методов теоретической физики" /Левич, с. 12/

²В результате в конце XIX в. возник так называемый «гносеологический кризис в физике»

³Здесь уместна аналогия между исходными понятиями и строимыми из них теориями явлений, с одной стороны, и кирпичами и строимыми из них зданиями — с другой. Продолжая эту аналогию, базовую систему исходных понятий и постулатов можно сравнить с печью, выпекающей кирпичи.

⁴Это совпадает с разделами, выделяемыми в теоретической физике (механика (классическая), электродинамика, специальная теория относительности, общая теория относительности, квантовая механика (нерелятивистская),…/Л. Л./) и не совсем совпадает с разделами общей физики (механика, электричество, оптика, атомная и ядерная физика, термодинамика и молекулярная физика /Сивухин/).

⁵ Я использую адекватный теоретической физике термин «механическая частица», представляющая собой базовое понятие классической механики, то есть элемента структуры (1) для соответствующего раздела физики, а не «материальная точка» — продукт абстрагирования, характерный для взгляда «общей физики».

⁶ Это структура «осмысленного» эксперимента, когда есть теория (или гипотеза), которая определяет, что в эксперименте приготовить и что измерять. В «слепом» эксперименте (без теории), часто имеющем место на ранних стадиях развития науки, ведущими являются крайние члены этой триады *<П|X|И>*, где *Х* — исследуемый объект. «Наблюдению», характерному например, для астрофизики, отвечает неполная структура — без левой части.

⁷ Одним из важнейших изменений произошедших при переходе от ньютоновской механики к эйнштейновской специальной теории относительности (СТО) было изменение в процедурах измерения *(|И>)*: если главным эталоном классической механики был эталон метра, то есть длины твердого тела, считалось, что он не меняется при перемещении с места на место и не зависит от скорости, то у Эйнштейна этими качествами наделяется скорость света.

⁸ « базовая система исходных понятий и постулатов» называется «ядром раздела науки», а «первичные объекты» — «первичными идеальными объектами».

⁹ То, что центральное место в физике занимает физическая модель, проявляется в том, что одна и та же физическая модель может обслуживаться разными эквивалентными «математическими представлениями» (в классической механике — наряду с представлением уравнений Ньютона, используют представление уравнений Лагранжа и Гамильтона). Выбор математического представления в физике во многом аналогичен выбору разных систем координат (декартовой, цилиндрической, сферической и т. п.) в аналитической геометрии. В обоих случаях этот выбор исходит из соображений удобства.

¹⁰ Процедуры приготовления и измерения, изображенные на схеме (1) — идеальные процедуры, отвечающие мысленному эксперименту. Реальные процедуры, отвечающие реальному эксперименту, вносят дополнительные искажения, связанные с возможностями используемых реальных приборов и материалов.

¹¹ Однако при этом в физике используется весьма ограниченное число архетипических моделей (моделей-прообразов). По большому счету используется всего две главных модели: 1) модель локализованной в пространстве частицы и 2) модель нелокализованной в пространстве непрерывной среды. Физика определяется определенным типом моделей, с помощью которых она представляет явления природы, этот тип моделей включает представление о физическом процессе как о переходе физической системы из одного состояния в другое и об использовании при построении моделей физических систем вариаций двух типов моделей — локализованной частицы и непрерывной среды. Модель непрерывной среды лежит в основе механики непрерывных сред (жидких, твердых и газообразных), электродинамики, термодинамики. Она порождает и модель волн. Модель локальной частицы лежит в основе классической механики, молекулярной (статистической) физики. Комбинации этих моделей составляют модели нерелятивистской и релятивистской квантовой механики.

¹² Если использовать понятие «степеней свободы», то в первом случае оно конечно (механическая частица имеет 6 степеней свободы в 3-мерном пространстве: 3 для пространства и 3 для скорости), а во втором — бесконечно.

¹³ Возможна аннигиляция квантовых частиц в релятивистской квантовой механике, но квантовые частиц, как мы увидим, обладают этими волновыми свойствами.

¹⁴ В «старой» квантовой теории акцент делался на дискретность характеристик (энергии, момента количества движения и др.) квантовых объектов (систем), но квантовая система в «новой квантовой теории» может обладать и непрерывными характеристиками.

¹⁵ Возможно, сюда следует добавить свойство взаимодополнительности измеримых величин, выливающееся в «соотношение неопределенностей» Гейзенберга, о котором речь ниже.

¹⁶ И «принципа тождественности» квантовых частиц для многочастичных систем, ведущего, в частности, к «запрету Паули» для многоэлектронных орбит атома.

¹⁷ Можно исходить из постулатов Гейзенберга, которые эквивалентны постулатам Шредингера. Но в представлении (математическом представлении) Шредингера излагать проще.

¹⁸ Значения же этих величин в отдельном акте измерения сопоставить с состоянием системы (если оно не приготовлено в особом «собственном» состоянии) нельзя ни до, ни после этого акта измерения.

¹⁹ Например, компоненту импульса частицы p_x меняют на оператор — ih$\partial /\partial x$

²⁰ А в квантовой теории поля — квантованная волна, обладающая корпускулярными свойствами

²¹ Для полноты описания базовой системы исходных понятий и постулатов квантовой механики к рассмотренным трем постулатам надо добавить принцип тождественности квантовых частиц, который определяет правила сборки многочастичных систем в квантовой механике. Из него следует «принцип Паули» для заполнения орбит электронов в атоме. Из него также следует наличие двух типов частиц — бозонов (фотон) и фермионов (электрон, протон, нейтрон), обладающих разными коллективными свойствами («статистиками»). Это холистский (от слова ‘whole’ — целый) принцип. В противоположность атомизму (или элементаризму), утверждающему, что свойства целого вытекают из свойств его элементов (включая взаимодействие), холизм утверждает, что есть существенные свойства целого, которые не вытекают из свойств его элементов. Из-за него система частиц не сводится к совокупности частиц. Без него нельзя описать явления сверхпроводимости и сверхтекучести (отсутствие сопротивления течению тока или жидкости) при низких температурах и многие другие квантовые эффекты. Ярким примером этого являются введенные в рассмотрение Эйнштейном «перепутанные» состояния двух частиц, корреляция в состоянии которых не меняется при разлете их на сколь угодно большое расстояние (этому есть классический аналог: разность фаз двух лучей света, полученных разделением одного луча полупрозрачным зеркалом и фазовой пластинкой, не будут меняться как бы далеко лучи не ушли друг от друга). Это свойство легло в основу разрабатываемых последние десятилетия проектов квантовой криптографии (шифрования) и квантового компьютера.

²² Появление вероятностного описания не означает, что в квантовой механике появляется место для «свободной воли» и т. п., как думают некоторые нефизики.