Перейти к содержанию

Внутрипредметные связи

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира


Применение геометрии в курсе алгебры

[править]

Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.

Определение «Алгебраизация геометрии».  Алгебраизацией геометрии будем называть применение методов алгебры в решении геометрической задачи.

Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «Геометрия помогает арифметике» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.

Определение «Геометризация алгебры».  Геометризация алгебры есть применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры.

Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен.

Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах.

P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.

Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет повторить и систематизировать знания обоих предметных областей.

Повторение приёмов работы с задачей

[править]

Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.

Приёмы основываются на составлении:

А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами;

Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются;

В) другого способа решения задачи.

Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии.

Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией

[править]
Темы по алгебре и началам анализа Теория по геометрии

Вычисление значения алгебраического[1] выражения

Подобные треугольники

Тригонометрия:

1) формула косинуса разности

2) формула косинуса суммы

3) формула синуса разности

4) формула синуса суммы

5) доказательство тождеств

6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство)

1) векторный метод[2]

2) решение треугольников

3) теорема Птолемея[3]

4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей)

5) решение треугольников

6) решение треугольников

Алгебраические уравнения, неравенства и их системы:

1] решение нелинейных систем уравнений

2] доказательство неравенств

3] решение иррациональных уравнений

1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод

2] векторный метод[4]

3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников”

Сюжетные задачи

подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей

Образцы оформления задач

[править]

Пример 1. Решение уравнения

[править]
Пример
Пример
Пример:

Решить уравнение

Этап I. Выделение структуры задачи

Дано: , где .

Найти: , .

Этап II. Поиск решения, или анализ задачи

Особенности уравнения: оно иррациональное, а также содержит две переменные ( и ).

Решить уравнение сложно, попробуем подойти с геометрической точки зрения.

Этап III. Выбор метода решения задачи

Признаки выбора теории по геометрии: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов[5].

  1. Рассмотрим выражение . Оно равно , или, что то же самое, .
    Итак, имеет место равенство .
  2. Треугольник со сторонами 1, x и углом в 30 градусов.
  3. Рассмотрим выражение . Оно равно , или, что то же самое, .
    Итак, имеет место равенство .
  4. Треугольник со сторонами x, y и углом в 30 градусов.
  5. Рассмотрим выражение . Оно равно , или, что то же самое, .
    Итак, имеет место равенство .
  6. Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов


Теоретическая основа метода:

  • метод „цепочки треугольников”
  • тема: «Решение треугольников»

м

Чертёж 1. Пятиугольник


а

  1. В основной школе под алгебраическим выражением понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.
  2. Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.
  3. Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
  4. В данном случае вектор задаётся координатами.
  5. Формулировка: в треугольнике сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны.