Внутрипредметные связи

Применение геометрии в курсе алгебры

Часто при решении задач курса геометрии составляются уравнения, неравенства и их системы, затем они решаются. Таким образом, происходит так называемая алгебраизация геометрии.

Определение «Алгебраизация геометрии». Алгебраизацией геометрии будем называть применение методов алгебры в решении геометрической задачи.

Проникновение алгебры в геометрию, как правило, происходит на достаточно высоком уровне, т. е. осуществить алгебраизацию легко. А вот применение геометрии в алгебре в этом смысле отстаёт. Хотя ещё в 60-х годах вышла книга «Геометрия помогает арифметике» (Островский А. И., Кордемский Б. А.). Итак, можно также использовать геометрические соображения в задачах по алгебре.

Определение «Геометризация алгебры». Геометризация алгебры есть применение теории по геометрии в решении задач курса алгебры.

Необходимо подчеркнуть, что применяется теория по геометрии только тогда, когда алгебраически решать крайне сложно или план решения задачи не ясен.

Также основные темы по геометрии — это темы, которые изучаются школьниками в 7–9 классах.

P. S. Книги и статьи, посвящённые геометризации, печатались уже в прошлом веке.

Выявление внутрипредметных связей между геометрией и алгеброй, а также их взаимное проникновение друг в друга на уроках позволяет повторить и систематизировать знания обоих предметных областей.

Повторение приёмов работы с задачей

Напомним некоторые приёмы работы после решения сюжетной задачи.

Приёмы основываются на составлении:

А) обратной задачи, т. е. задачи, у которой известные с неизвестными данными меняются местами;

Б) аналогичной задачи, т. е. происходит смена сюжета, но числовые данные не меняются;

В) другого способа решения задачи.

Существуют задачи, которые можно решить и при помощи методов алгебры, и при использовании теории по геометрии.

Таблица внутрипредметных связей алгебры и начала анализа с геометрией


Темы по алгебре и началам анализа	Теория по геометрии
Вычисление значения алгебраического^[1] выражения	Подобные треугольники
Тригонометрия: 1) формула косинуса разности 2) формула косинуса суммы 3) формула синуса разности 4) формула синуса суммы 5) доказательство тождеств 6) арк-функции (задачи на вычисление и доказательство)	1) векторный метод^[2] 2) решение треугольников 3) теорема Птолемея^[3] 4) теорема Птолемея (но быстрее: метод площадей) 5) решение треугольников 6) решение треугольников
Алгебраические уравнения, неравенства и их системы: 1] решение нелинейных систем уравнений 2] доказательство неравенств 3] решение иррациональных уравнений	1] решение треугольников, векторный метод, координатный метод 2] векторный метод^[4] 3] неравенство треугольника, метод „цепочки треугольников”
Сюжетные задачи	подобные треугольники (к теме: «Решение треугольников»), метод площадей

Образцы оформления задач

Пример 1. Решение уравнения

Пример

Пример:

Решить уравнение

{\sqrt {9+x^{2}-3x{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-xy{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {16+y^{2}-4y{\sqrt {3}}}}=5.

Этап I. Выделение структуры задачи

Дано: ${\sqrt {9+x^{2}-3x{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {x^{2}+y^{2}-xy{\sqrt {3}}}}+{\sqrt {16+y^{2}-4y{\sqrt {3}}}}=5$ , где $\left(x,\,y\right)\in \mathbb {R^{2}}$ .

Найти: $x$ , $y$ .

Этап II. Поиск решения, или анализ задачи

Особенности уравнения: оно иррациональное, а также содержит две переменные ( $x$ и $y$ ).

Решить уравнение сложно, попробуем подойти с геометрической точки зрения.

Этап III. Выбор метода решения задачи

Признаки выбора теории по геометрии: подкоренные выражения напоминают теорему косинусов^[5].

Рассмотрим выражение $9+x^{2}-3x{\sqrt {3}}$ . Оно равно $3^{2}+x^{2}-2\cdot 3\cdot x\cdot {\bf {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ , или, что то же самое, $3^{2}+x^{2}-2\cdot 3\cdot x\cdot {\bf {\cos {30^{\circ }}}}$ .
Итак, имеет место равенство $\color {red}{9+x^{2}-3x{\sqrt {3}}=3^{2}+x^{2}-2\cdot 3\cdot x\cdot \cos {30^{\circ }}}$ .

Рассмотрим выражение $x^{2}+y^{2}-xy{\sqrt {3}}$ . Оно равно $x^{2}+y^{2}-2\cdot x\cdot y\cdot {\bf {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ , или, что то же самое, $x^{2}+y^{2}-2\cdot x\cdot y\cdot {\bf {\cos {30^{\circ }}}}$ .
Итак, имеет место равенство $\color {blue}{x^{2}+y^{2}-xy{\sqrt {3}}=x^{2}+y^{2}-2\cdot x\cdot y\cdot \cos {30^{\circ }}}$ .

Рассмотрим выражение $16+y^{2}-4y{\sqrt {3}}$ . Оно равно $4^{2}+y^{2}-2\cdot 4\cdot y\cdot {\bf {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$ , или, что то же самое, $4^{2}+y^{2}-2\cdot 4\cdot y\cdot {\bf {\cos {30^{\circ }}}}$ .
Итак, имеет место равенство $\color {green}{16+y^{2}-4y{\sqrt {3}}=4^{2}+y^{2}-2\cdot 4\cdot y\cdot \cos {30^{\circ }}}$ .

Треугольник со сторонами y, 4 и углом в 30 градусов

Теоретическая основа метода:

метод „цепочки треугольников”
тема: «Решение треугольников»

м

а

↑ В основной школе под алгебраическим выражением понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.
↑ Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.
↑ Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.
↑ В данном случае вектор задаётся координатами.
↑ Формулировка: в треугольнике сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны.

[1] В основной школе под алгебраическим выражением понимается выражение из объединения семейств целых, дробно-рациональных и иррациональных выражений.

[2] Напомним, что вектор имеет две формы записи. Во-первых, вектор может рассматриваться как направленный отрезок (у некоторых авторов вектор отождествляется с параллельным переносом). А во-вторых, вектор может задаваться координатами.

[3] Во вписанном четырёхугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон.

[4] В данном случае вектор задаётся координатами.

[5] Формулировка: в треугольнике сумма квадратов двух сторон без их удвоенного произведения на косинус угла между ними равна квадрату третьей стороны.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]