54 Национальная олимпиада Болгарии по математике

Материал из Викиучебника

Подробнее об олимпиаде читайте в №6,2005 журнала "Потенциал", а также по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200506261939PH7C03J6

[править] Первый день

1. Найдите все тройки натуральных чисел $\left( {x,y,z} \right)$ , для которых $\sqrt{\frac{{2005}}{{x + y}}} + \sqrt{\frac{{2005}}{{x + z}}} + \sqrt{\frac{{2005}}{{y + z}}}$ – натуральное число.

2. Окружности $k 1$ и $k 2$ касаются внешним образом в точке Т. Некоторая прямая пересекает $k 1$ в точках А и В и касается $k 2$ в точке Х. Прямая ХТ пересекает $k 1$ в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY – такая касательная к окружности $k_2 \left( {Y \in k_2 } \right)$ , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I – точка пересечения прямых XY и SC , то

а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;

б) точка I является центром вневписанной окружности $Δ A B C,$ касающейся стороны ВС.

3. Пусть M – множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?

[править] Второй день

4. Пусть $Δ A' B' C'$ получен из $Δ A B C$ поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков $B A', A C, B' C$ соответственно. Найдите $\angle EMF$ , если $AC \ne BC$ и EM = FM.

5. Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.

6. Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что $c\left( {c^2 - c + 1} \right)$ делится на ab и a + b делится на $c 2 + 1.$ Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно $c 2 - c + 1.$

[править] Ответы и указания

1. Одно из чисел равно $2 \cdot 2005,$ два других равны $14 \cdot 2005.$ Докажите, что каждое слагаемое – число, обратное натуральному.

2. а) Покажите, например, что S – середина дуги АВ. Тогда $\angle TCI = \angle TAS = \angle BXT = \angle TYX = \angle TYI.$

б) Из подобия $Δ A X C ˜Δ T A S$ с учётом а) следует $Δ S X I ˜Δ S I T$ , откуда SA = SI. Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI – биссектрисы внешних углов $Δ A B C .$

3. Не существует. Покажите, что для такого множества из $a \in {\rm A}$ следует ${\rm A} \cap \left( {\frac{a}{2};a} \right) = \emptyset .$ Тогда множество A бесконечно и для любого i $a_{i + 1} = \frac{{a_1 }}{{2^i }}.$ Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем $a 1$ , не представимо в указанном виде.

4. $600$ . Докажите вначале, что $Δ A A' C$ – равносторонний.

5. Выигрышными являются игры с $t = 2004 + 2005 \cdot n, n \in N.$

6. Докажите вначале, что если для натуральных чисел x, y, n выполнено неравенство $\frac{{xy}}{{x + y}} > n,$ то $\frac{{xy}}{{x + y}} \ge n + \frac{1}{{n^2 + 2n + 2}}$ причём равенство выполняется при $\left\{ {x,y} \right\} = \left\{ {n + 1,n^2 + n + 1} \right\}.$ По условию $c\left( {c^2 - c + 1} \right) = pab,$ $a + b = q\left( {c^2 + 1} \right).$ Для $x = p q a,$ $y = p q b$ $\frac{{xy}}{{x + y}} > c - 1,$ следовательно, $\frac{{xy}}{{x + y}} \ge c - 1 + \frac{1}{{c^2 + 1}}.$