46-я Международная математическая олимпиада

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Рассказ о том, как проходила олимпиада, и фотографии можно найти по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200507252240PH7C03J7, а также в печатном номере журнала Потенциал — № 7, 2005.

Здесь приводятся условия задач и указания к их решениям.

Условия задач[править]

Задача 1[править]

На сторонах равностороннего треугольника выбраны шесть точек: , на ; , на ; и , на . Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника , стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые , и пересекаются в одной точке.

Задача 2[править]

Пусть , , — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального все остатков от деления чисел на различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.

Задача 3[править]

Пусть , и — положительные числа такие, что . Докажите, что

.

Задача 4[править]

Последовательность определена следующим образом: (). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.

Задача 5[править]

Дан выпуклый четырёхугольник , стороны и которого равны, но не параллельны. Пусть и — внутренние точки отрезков и соответственно такие, что . Прямые и пересекаются в точке , прямые и пересекаются в точке , прямые и пересекаются в точке . Рассмотрим треугольники , получаемые для всех таких точек и . Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от .

Задача 6[править]

На математической олимпиаде участникам были предложены 6 задач. Оказалось, что каждая пара задач была решена более чем от общего числа участников, но никто не решил все 6 задач. Докажите, что найдутся по крайней мере два участника, каждый из которых решил ровно 5 задач.

Указания к решениям задач[править]

Задача 1[править]

Ясно, что сумма векторов нулевая, поэтому сумма векторов также нулевая, следовательно прямые, содержащие векторы образуют правильный треугольник. Отсюда несложно вывести, что вся конфигурация переходит в себя при повороте на вокруг центра треугольника .

Задача 2[править]

Вначале несложно установить, что в последовательности каждое целое число встречается не более одного раза. Далее можно доказать по индукции, что для каждого числа — это последовательных целых чисел, взятых в некотором порядке.

Задача 3[править]

Одно из самых изящных решений принадлежит школьнику Юрию Борейко из команды Молдовы, оно было удостоено специального приза Международной олимпиады. В этом решении используется оценка

.

Сложив три аналогичных неравенства, получаем, что утверждение задачи следует из верного неравенства

Задача 4[править]

Достаточно показать, что для любого простого числа найдётся такой номер , что делится на . Случаи и легко разбираются. При подходит . Это можно доказать, используя малую теорему Ферма: если натуральное не делится на простое , то даёт остаток 1 при делении на .

Задача 5[править]

Искомая точка является второй точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников и . Другое описание той же точки — как центр поворота, переводящего точки , , соответственно в точки , , .

Задача 6[править]

Предположив, что верно противное, добавим участникам решённых задач так, чтобы один из них решил 5 задач, а все остальные — по 4. Далее, суммируя по всем ученикам количество пар решённых задач, и с другой стороны, оценивая эту сумму по всем парам задач, получим противоречие во всех случаях, кроме случая, когда количество участников даёт остаток 2 при делении на 5. Оставшийся случай можно разобрать, прибегнув к подсчёту двумя способами суммарного количества пар решённых задач, содержащих одну фиксированную задачу. При рассмотрении возникает противоречие с остатками при делении на 3.