46-я Международная математическая олимпиада

Материал из Викиучебника

Рассказ о том, как проходила олимпиада, и фотографии можно найти по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200507252240PH7C03J7, а также в печатном номере журнала «Потенциал» — № 7, 2005.

Здесь приводятся условия задач и указания к их решениям.

Содержание 1 Условия задач 1.1 Задача 1 1.2 Задача 2 1.3 Задача 3 1.4 Задача 4 1.5 Задача 5 1.6 Задача 6 2 Указания к решениям задач 2.1 Задача 1 2.2 Задача 2 2.3 Задача 3 2.4 Задача 4 2.5 Задача 5 2.6 Задача 6

[править] Условия задач

[править] Задача 1

На сторонах равностороннего треугольника ABC выбраны шесть точек: A₁, A₂ на BC; B₁, B₂ на CA; и C₁, C₂ на AB. Эти точки являются вершинами выпуклого шестиугольника A₁A₂B₁B₂C₁C₂, стороны которого имеют равные длины. Докажите, что прямые A₁B₂, B₁C₂ и C₁A₂ пересекаются в одной точке.

[править] Задача 2

Пусть a₁, a₂, — последовательность целых чисел, в которой содержится бесконечно много как положительных, так и отрицательных членов. Известно, что для каждого натурального n все n остатков от деления чисел на n различны. Докажите, что каждое целое число встречается в этой последовательности ровно один раз.

[править] Задача 3

Пусть x, y и z — положительные числа такие, что . Докажите, что

.

[править] Задача 4

Последовательность определена следующим образом: a_n = 2ⁿ + 3ⁿ + 6ⁿ − 1 (). Найдите все натуральные числа, которые взаимно просты с каждым членом этой последовательности.

[править] Задача 5

Дан выпуклый четырёхугольник ABCD, стороны BC и AD которого равны, но не параллельны. Пусть E и F — внутренние точки отрезков BC и AD соответственно такие, что BE = DF. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, прямые BD и EF пересекаются в точке Q, прямые EF и AC пересекаются в точке R. Рассмотрим треугольники PQR, получаемые для всех таких точек E и F. Докажите, что окружности, описанные около всех этих треугольников, имеют общую точку, отличную от P.

[править] Задача 6

На математической олимпиаде участникам были предложены 6 задач. Оказалось, что каждая пара задач была решена более чем от общего числа участников, но никто не решил все 6 задач. Докажите, что найдутся по крайней мере два участника, каждый из которых решил ровно 5 задач.

[править] Указания к решениям задач

[править] Задача 1

Ясно, что сумма векторов нулевая, поэтому сумма векторов также нулевая, следовательно прямые, содержащие векторы образуют правильный треугольник. Отсюда несложно вывести, что вся конфигурация переходит в себя при повороте на вокруг центра треугольника ABC.

[править] Задача 2

Вначале несложно установить, что в последовательности каждое целое число встречается не более одного раза. Далее можно доказать по индукции, что для каждого n числа — это n последовательных целых чисел, взятых в некотором порядке.

[править] Задача 3

Одно из самых изящных решений принадлежит школьнику Юрию Борейко из команды Молдовы, оно было удостоено специального приза Международной олимпиады. В этом решении используется оценка

.

Сложив три аналогичных неравенства, получаем, что утверждение задачи следует из верного неравенства

[править] Задача 4

Достаточно показать, что для любого простого числа p найдётся такой номер n, что a_n делится на p. Случаи p = 2 и p = 3 легко разбираются. При p > 3 подходит n = p − 2. Это можно доказать, используя малую теорему Ферма: если натуральное a не делится на простое p, то a^{p − 1} даёт остаток 1 при делении на p.

[править] Задача 5

Искомая точка является второй точкой пересечения окружностей, описанных около треугольников ADP и BCP. Другое описание той же точки — как центр поворота, переводящего точки A, F, D соответственно в точки C, E, B.

[править] Задача 6

Предположив, что верно противное, добавим участникам решённых задач так, чтобы один из них решил 5 задач, а все остальные — по 4. Далее, суммируя по всем ученикам количество пар решённых задач, и с другой стороны, оценивая эту сумму по всем парам задач, получим противоречие во всех случаях, кроме случая, когда количество участников даёт остаток 2 при делении на 5. Оставшийся случай можно разобрать, прибегнув к подсчёту двумя способами суммарного количества пар решённых задач, содержащих одну фиксированную задачу. При рассмотрении возникает противоречие с остатками при делении на 3.