Теория музыки для математиков/Лад

Материал из Викиучебника

Следующим краеугольным камнем музыкальной теории является лад. Ладом (mode, modus) называется последовательность (конечная) натуральных чисел, дающих в сумме 12. Пример: M = (2,3,2,2,3) – один из ладов пентатоники. Такое немудреное определение нуждается в дальнейшей конкретизации, поскольку в таком виде будет неузнаваемо для музыкантов. Для начала интерпретация лада. Пусть M = (m_i), i=1,...,n, а [s] – произвольный звук. Тогда мы можем построить такую тональную последовательность:

S = (s_i), s₁ = s, s_i = s_{i − 1} + m_{i − 1}, i = 2,..,n (7)

Будем называть S – последовательностью, порожденной ладом M, а отдельные s_i

---

ступенями этой последовательности (или самого лада). Ступени обычно обозначаются римскими цифрами: I, II, III, IV, .... Поскольку s_i − s_{i − 1} = m_i, видно, что m_i задают интервалы между соседними звуками последовательности.

Легко заметить, что частичная сумма лада M, обозначим ее S_i(M). (Для i=1 положим S₁(M) = 0.) По определению лада S_n(M) = 12. Если мы воспользуемся (7) для нахождения n+1-го члена последовательности, то получим s_{n + 1} − s₀ = S_n(M) = 12. А значит [s_{n + 1}] = [s₁] = [s], т.е. эти звуки в нашем тональном множестве совпадают. Таким образом, лад порождает «замкнутую» последовательность из n элементов.

Пример. Возьмем такой лад: M = (2, 2, 1, 2, 2, 2, 1). (Позже мы назовем этот лад мажором.) Возьмем за начальный звук s=7 (G по нашим обозначениям). Рассмотрим последовательность, порождаемую мажором с началом в звуке G: (7=G, 7+2=9=A, 9+2=11=H, 11+1=12=0=C, 0+2=2=D, 2+2=4=E, 4+2=6=#F) = (G, A, H, C, D, E, #F)

Шагом лада M = (m_i),i = 1..n называется max(m_i),i = 1..n. В основном нас будут интересовать лады с шагом 2 (такие лады содержат только единицы и двойки, соответственно – тоны и полутоны), иногда – также с шагом 3.

Лемма 4. Существует ровно 21 семиступенных ладов с шагом 2.

Доказательство. Обобщим на случай n элементов лада. Обозначим через x – количество полутоновых элементов лада, а через y – количество тоновых. Из того, что общее количество элементов – n следует, что x + y = n. Сумма же всех элементов составляет по определению лада 12: x + 2y = 12. Получаем такую систему уравнений:

x + 2y = 12

x + y = n (4)

Решая систему относительно x и y, получаем

x = 2n − 12

y = 12 − n (5)

При n = 7 имеем x = 2, y = 5. Т.е. в семиступенном ладу с шагом 2 всегда два полутона и пять целых тонов. Те места в последовательности, где встречаются x полутонов, можно выбрать таким количеством способов: (на остальных местах стоят, соответственно, целые тоны). Подставляя найденный выше x, получаем: (Симметрично можно прийти к этому выводу отталкиваясь от y, а не от x). Для n=7 получаем 21, что и требовалось доказать.

Поскольку x и y в предыдущем доказательстве, очевидно, неотрицательны, получаем такое Следствие. Для диатонического лада мощности n справедливо: Среди всех ладов нас будут больше всего интересовать семиступенные (т.е. с n=7). Возьмем теперь семиступенный лад с шагом 2, и пусть k – место, на котором в ладу стоит первая единица, а l – вторая (всего их по доказанному в точности две). Представим себе также, что лад зациклен, т.е. после 7-го элемента снова стоит первый. Кратчайшее расстояние между k и l назовем диаметром лада. (Иначе можно определить диаметр как разность между k и l по модулю 7.)

Лемма 5. Диаметр семиступенного лада с шагом 2 может принимать лишь значения 1, 2 или 3.

Доказательство. Если представить себе, что от k до l расстояние 4 или больше, то двигаясь от l к k по кругу получим расстояние 3 или меньше. Таким образом все 21 семиступенных лада с шагом 2 можно разбить на три класса по диаметру, в каждом классе по 7 ладов. Эти лады получаются друг из друга циклическим сдвигом.

Наиболее интересны лады с диаметром 3 – они все имеют собственные имена. Для полноты картины приведем другие два класса в приложении. Лады диаметра 3:

ионийский 2 2 1 2 2 2 1

дорийский 2 1 2 2 2 1 2

фригийский 1 2 2 2 1 2 2

лидийский 2 2 2 1 2 2 1

миксолидийский 2 2 1 2 2 1 2

эолийский 2 1 2 2 1 2 2

локрийский 1 2 2 1 2 2 2

Важной харакетеристикой семиступенного ряда является его наклонение. Наклонением лада называется свойство, определяемое расстоянием между I и III ступенями (т.е. m₁ + m₂). Лад, имеющий между I и III ступенью 2 тона (=4) называется мажорным, имеющий 1,5 тона (=3) – минорным. Примеры мажорных ладов: ионийский, лидийский, миксолидийский. Примеры минорных ладов: дорийский, фригийский, эолийский, локрийский. В западно-европейской музыке в свое время стала доминировать мажорно-минорная ладовая система, в которой особую роль стали играть лады мажор (major) – ионийский лад из таблицы выше и минор (minor) – эолийский лад. Кроме классических мажора и минора используются еще такие вариации:

мелодический минор 2 1 2 2 2 2 1

нисходящий минор 2 1 2 2 1 3 1

гармонический минор 2 1 2 2 1 3 1

мелодический мажор 2 2 1 1 2 3 1

гармонический мажор 2 2 1 2 1 3 1

к содержанию