Создание книги (выключить)

Добавить эту страницу в вашу книгу

Показать книгу (0 страниц)

Предлагаемые страницы

Теоретические задачи с XXXV международной физической олимпиады в Корее

Материал из Викиучебника

Перейти к: навигация, поиск

Отчёт об олимпиаде читайте на сайте журнала "Потенциал" по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Phys/ArtDt200501192007PH7C4J1

Содержание

1 Сопротивление "Пинг-понг"
2 Ответ к задаче Сопротивление "Пинг-понг"
3 Поднимающийся шар
4 Ответ к задаче Поднимающийся шар
5 Атомный зондирующий микроскоп
- 5.1 ЧАСТЬ А
- 5.2 ЧАСТЬ B
6 Ответы к задаче Атомный зондирующий микроскоп
- 6.1 Часть А
- 6.2 Часть B

[править] Сопротивление "Пинг-понг"

Конденсатор состоит из двух параллельных пластин в форме кругов радиусом R, расположенных на расстоянии d (d<<R) друг от друга (рис 1.1а). Верхняя пластина присоединена к источнику постоянного напряжения с потенциалом V, а нижняя пластина заземлена. Затем тонкий маленький диск массой m радиусом r (r<<R,d) и пренебрежимо малой толщиной (t<<r) помещают в центр нижней пластины (рис 1.1b). Пластины и диск, изготовленные из хорошо проводящего материала, находятся в вакууме. Всеми электростатическими краевыми эффектами и индуцированными зарядами, а также индуктивностью всей цепи и связанными с ней эффектами можно пренебречь. Диэлектрическая постоянная ε₀ считается известной.

Рисунок 1.1 Схематический чертеж параллельных пластин конденсатора, подключенных к источнику постоянного напряжения, (а) и вид сбоку параллельных пластин с маленьким диском, помещённым внутри конденсатора (b). (Смотри подробное описание в тексте).

(а) [1.2 балла] Рассчитайте электростатическую силу F_p взаимодействия между пластинами, находящимися на расстоянии d, до помещения диска между ними (рис. 1.1а).

(b) [0.8 балла] Когда диск помещён на нижнюю пластину (рис. 1.1b), диск приобретает заряд q, пропорциональный напряжению V на конденсаторе: q = CV. Выразите C через r, d и ε₀.

(c) [0.5 балла] Параллельные пластины конденсатора расположены перпендикулярно гравитационному полю g. Чтобы диск в первый раз поднялся вверх из исходного положения, необходимо приложить напряжение V, превышающее пороговое значение V_th. Выразите V_th через m, g, d и C .

(d) [2.3 балла] При V > V_th диск движется вверх-вниз между пластинами. (Предполагается, что диск движется строго вертикально без качания). Столкновения между диском и пластиной неупругие с коэффициентом восстановления η (V_after /V_before ), где V_before и V_after – скорости диска соответственно до и после столкновения. Пластины закреплены неподвижно. После большого количества столкновений скорость диска сразу после очередного столкновения с нижней пластиной стремится к значению, которое назовём «скоростью в установившемся режиме» V_s. Величина V_s зависит от V по формуле: $\mbox{v}_\mbox{s} = \sqrt {\alpha V^2 + \beta }\$

Выразите коэффициенты α и β через m, g , C , d и η. Предполагается, что диск касается пластины одновременно всей поверхностью, так что полная перезарядка происходит мгновенно при каждом столкновении.

(e) [2.2 балла] В установившемся режиме средний по времени ток I через обкладки конденсатора при условии qV << mgd может быть представлен в виде I = γV². Выразите коэффициент γ через m, C, d и η.

(f) [3 балла] При очень медленном уменьшении приложенного напряжения V существует критическое значение напряжения V_c, ниже которого ток скачком прекращает течь. Выразите V_c и соответствующий ему ток Ic через m, g, C, d и η. Сравнив V_c с пороговым значением Vth , определенным в пункте (с), приближённо изобразите зависимости I от V (на листе ответов) при увеличении и при уменьшении V в пределах от V = 0 до 3V_th.

[править] Ответ к задаче Сопротивление "Пинг-понг"

(a) При подключении к источнику между пластинами возникает однородное электростатическое поле, модуль напряжённости которого $E = \frac{V}{d}$ . Так как это поле создаётся зарядами каждой из пластин и эти заряды равны между собой по модулю, то $E = E_u + E_d \Rightarrow E_u = E_d = \frac{E}{2}= \frac{V}{2d}$ . Поле, создаваемое нижней пластиной, действует на верхнюю с силой $F p = q u E d$ . Заряды пластин $q u = - q d = C V$ , где $C =\frac{\varepsilon _0 S}{d} = \frac{\varepsilon _0 \pi R^2}{d}$ - ёмкость конденсатора, образованного этими пластинами. Сила взаимодействия между пластинами

$F_p = \frac{\varepsilon _0 \pi R^2V^2}{2d^2}$ .

(b) Заряд участка поверхности нижней пластины, на котором находится диск, полностью переходит на диск. Диск приобретает заряд $q = q_d \frac{{r^2}}{{R^2}} = - \frac{{\varepsilon _0 \pi R^2}}{d}V\frac{{r^2}}{{R^2}} = - \frac{{\varepsilon _0 \pi r^2 }}{d}V$ .

$\chi = - \frac{{\varepsilon _0 \pi r^2}}{d}$ .

(c) Диск оторвётся от нижней пластины, если действующая на него со стороны электростатического поля сила превзойдет силу тяжести. Электростатическое поле будет действовать на диск с силой $F_e = \left| q \right|E_u = \left| \chi \right|V\frac{V}{{2d}}= \left| \chi \right|\frac{{V^2}}{{2d}}$ . При пороговом значении приложенного напряжения $F_e = \left| \chi \right|\frac{{V_{th}^2 }}{{2d}} = mg$ . Пороговое значение напряжения

$V_{th}= \sqrt {\frac{{2mgd}}{{\left| \chi \right|}}}$ .

(d) После столкновения с нижней пластиной в установившемся режиме диск приобретает скорость v_s и заряд q. Перед ударом о верхнюю пластину его скорость $v_{before}^{up}$ можно выразить из энергетических соображений: $\frac{{m\left({v_{before}^{up}}\right)^2}}{2}=\frac{{mv_s^2}}{2}- mgd + \left|q\right|V$ .

После удара о верхнюю пластину скорость диска $v_{after}^{up} = \eta v_{before}^{up}$ , а его заряд равен –q. Скорость диска перед очередным ударом о нижнюю пластину $v_{before}^{down}$ : $\frac{{m\left({v_{before}^{down}}\right)^2}}{2}= \frac{{m\left({v_{after}^{up}}\right)^2}}{2} + mgd + \left|q\right|V$ . Скорость диска после удара о нижнюю пластину $v_{after}^{down} = \eta v_{before}^{up} = v_s$ .

Используя приведённые соотношения, выражаем $v_s = \sqrt{\frac{{2\left|\chi\right|}}{m}\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1-\eta ^2}}\cdot V^2 + 2gd\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}}$ .

$\alpha = \frac{{2\left|\chi\right|}}{m}\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1 - \eta ^2}};\beta = 2gd \cdot \frac{{\eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}$ .

(e) Средний по времени ток через обкладки конденсатора $I=\frac{{\Delta q}}{{\Delta t}}$ , где $\Delta q = 2\left|q\right|$ – заряд, который переносит диск за один цикл (вверх – вниз) движения между пластинами, $Δ t = t u p + t d o w n$ – время движения диска от нижней пластины до верхней и обратно. Так как и движение вверх, и движение вниз происходят с постоянными ускорениями, можно выразить средние скорости этих движений: $\overline{v_{up}}=\frac{v_s+ v_{before}^{up}}{2}$ ; $\overline{v_{down}}=\frac{{v_{after}^{up}+ v_{before}^{down}}}{2}$ . Тогда $t_{up}= \frac{{2d}}{{v_s + v_{before}^{up}}}$ и $t_{down} = \frac{{2d}}{{v_{after}^{up} + v_{down}^{before}}}$ .

Среднюю силу тока $I = \frac{{2\left| q \right|}}{{t_{up} + t_{down}}} = \frac{{\left| q \right|}}{d}\left( {\frac{1}{{v_s + v_{before}^{up}}} + \frac{1}{{v_{after}^{up} + v_{down}^{before} }}} \right)^{ - 1}$ найдём, используя выражения для $v_{before}^{up}$ ; $v_{after}^{up}$ ; $v_{before}^{down}$ из части (d). Учитывая, что $\left| q \right| V >> mgd$ , $I = V^2 \sqrt{\frac{1 + \eta}{\left({1 - \eta}\right)}\cdot \frac{\left|\chi\right|^3}{2md^2}}$ .

$\gamma = \sqrt {\frac{{\left( {1 + \eta }\right)}}{{\left( {1 - \eta }\right)}}\cdot\frac{{\left| \chi \right|^3}}{{2md^2}}}$ .

(f) Ток перестаёт течь, если кинетической энергии диска после удара о нижнюю пластину оказывается недостаточно, чтобы долететь до верхней пластины: $\frac{{mv_s^2}}{2}< mgd - \left|q\right|V$ . Используя выражение для V_s, получим условие, которому должно удовлетворять V, чтобы ток прекратился: $V < \sqrt {\frac{{1 - \eta ^2 }}{{1 + \eta ^2 }}\cdot\frac{{mgd}}{{\left|\chi\right|}}}$ . Критическое значение напряжения

$V_c = \sqrt{\frac{{1 - \eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}\cdot\frac{{mgd}}{{\left|\chi\right|}}}<V_{th}$

При таком напряжении скорость диска при подлёте к верхней пластине обращается в нуль. Тогда время движения вверх $t_{up}= \frac{{2d}}{{v_s}}$ , время движения вниз

$t_{down} = \frac{2d}{ \left({v_s}/{\eta}\right) } = \frac{{2\eta d}}{v_s}$ .

Сила тока $I_c = \frac{{2\left| q \right|}}{{2d\left( {1 + \eta}\right)}}v_s =\frac{{\left|\chi \right|V_c }}{{d\left( {1 + \eta } \right)}}\sqrt {\frac{{2\left| \chi \right|}}{m} \cdot \frac{{\eta ^2}}{{1 - \eta ^2}}\cdot V_c^2 + 2gd\cdot\frac{{\eta ^2}}{{1 + \eta ^2}}}$ .

С учётом выражения для V_c ,

$I_c = \frac{{2\eta g}}{{\left({1 + \eta}\right)\left({1 + \eta ^2}\right)}}\sqrt {\left|\chi\right|m\left({1 - \eta ^2}\right)}$ .

График зависимости I от V при увеличении и уменьшении V будет иметь следующий вид:

[править] Поднимающийся шар

Резиновый шар, наполненный гелием, поднимается в небо. Давление и температура атмосферного воздуха уменьшаются с высотой. В дальнейшем будем предполагать, что сферическая форма шара сохраняется, несмотря на прикреплённый к нему груз, и пренебрежём объёмом самой оболочки и груза. Будем также предполагать, что температура гелия внутри шара совпадает с температурой окружающего воздуха, и считать гелий и воздух идеальными газами. Универсальная газовая постоянная R=8,31 Дж/(моль•К); молярные массы гелия M_H и воздуха M_A равны M_H = 4,00 x 10^-3 кг/моль и M_A = 28,9 x 10^-3 кг/моль соответственно. Ускорение свободного падения g=9,8 м/с².

[править] ЧАСТЬ А

(а) [1.5 балла] Предположим, что окружающий воздух имеет давление P и температуру T. Давление внутри шара выше наружного из-за упругих свойств оболочки. Пусть шар содержит n молей гелия и давление внутри него равно P+ΔP. Определите выталкивающую силу F_B, действующую на шар, как функцию от P и ΔP.

(b) [2 балла] В Корее в один из летних дней было найдено, что температура T воздуха на высоте z над уровнем моря задаётся соотношением T(z)=T₀(1 – z/z⁰) в диапазоне 0< z <15 км, где z₀ =49 км и T₀ =303 К. Давление P₀ и плотность воздуха ρ₀ на уровне моря равны P₀=1 атм = 1,01 x 105 Па и ρ₀=1,16 кг/м3 соответственно. В указанном диапазоне высот давление изменяется с высотой по закону $P(z) = P_0 (1 - z/z_0 )^\eta\ (2.1)$ Выразите постоянную η через величины z₀, ρ₀, P₀, и g; определите её значение с точностью до двух значащих цифр. Считайте ускорение свободного падения g постоянным, не зависящим от высоты.

[править] ЧАСТЬ В

Когда резиновый шар (с радиусом r₀ в нерастянутом состоянии) раздувается до сферы радиуса $r( \ge r_0 )$ , его оболочка из-за растяжения приобретает упругую энергию. В упрощённой теории упругая энергия U надутой сферической оболочки при постоянной температуре T описывается выражением $U = 4\pi r_0^2 kRT(2\lambda ^2 + \frac{1}{{\lambda ^4 }} - 3) (2.2)$

где $\lambda \equiv {\rm{r/r}}_{\rm{0}}( \ge 1)$ – коэффициент растяжения (по радиусу), а k – некоторая константа, выраженная в единицах моль/м².

(c) [2 балла] Выразите ΔP через параметры, входящие в выражение (2.2), и изобразите графически (на листе ответов) зависимость ΔP от λ.

(d) [1.5 балла] Постоянная величина k может быть определена через количество молей гелия, необходимых для надувания шара. При T₀ = 303 К и P₀ = 1,0 атм нерастянутый шар (при r = r⁰) содержит n₀ = 12,5 молей гелия. Для раздувания шара до значения λ = 1,5 при неизменных температуре T₀ и внешнем давлении P₀ в нём должно находиться в общей сложности n = 3,6n₀ = 45 молей гелия. Выразите параметр a оболочки, определяемый как отношение a = k/k₀ (где $k_0 \equiv \frac{{r_0 P_0 }}{{4RT_0 }}$ ), через n, n₀ и λ. Вычислите его значение с точностью до двух значащих цифр.

[править] ЧАСТЬ С

Шар накачали на уровне моря как в пункте (d) (коэффициент растяжения по радиусу λ =1,5, число молей гелия внутри n=3,6n₀=45 молей, при температуре T₀=303К и давлении P₀=1,0 атм=1,01x10⁵ Па). Общая масса шара, включая газ, оболочку и груз, равна M_T=1,12 кг. Такой шар начинает подниматься от уровня моря.

(e) [3 балла] Пусть этот шар поднялся до такой высоты z_f , на которой выталкивающая сила уравновешивается суммарной силой тяжести. Определите z_f и коэффициент растяжения λ_f на этой высоте. Рассчитайте их числовые значения с точностью до двух значащих цифр. Утечкой газа и боковым смещением из-за ветра пренебрегите

[править] Ответ к задаче Поднимающийся шар

[править] ЧАСТЬ А

(a) Выталкивающая сила $F B = ρ g V$ , где $\rho = \frac{{pM_A }}{{RT}}$ – плотность окружающего воздуха, $V = \frac{{nRT}}{{\left( {p + \Delta p}\right)}}$ – объём гелия.

$F_B = \frac{p}{{\left( {p + \Delta p} \right)}}nM_A g$ .

(b) Рассмотрим слой воздуха толщиной dz, расположенный на высоте z. Условие равновесия этого слоя $\,\!\rho (z)gdz = - dp$ или $- \frac{{dp}}{{dz}} = \rho \left( z \right)g$ .

$\frac{dp}{dz}= - \frac{\eta p_0}{z_0} \left( 1 - z /z_0 \right)^{\eta - 1}$ ;

$\rho (z)= \frac{p(z)M_A}{RT(z)}= \frac{p_0 M_A}{RT_0}\left( 1 - z /z_0 \right)^{\eta - 1}$ .

Таким образом, $\frac{{\eta p_0 }}{{z_0 }} = \frac{{p_0 M_A }}{{RT_0 }}g$ и

$\eta = \frac{{M_A gz_0 }}{{RT_0 }} \approx 5.5$ .

[править] ЧАСТЬ В

(c) Позволим оболочке бесконечно медленно растягиваться. При увеличении её радиуса на dr силы давления (газа внутри оболочки и окружающего воздуха) совершат работу $\delta A = \Delta p \cdot 4\pi r^2 dr$ . Энергия упругой деформации оболочки при этом возрастёт на $dU=\frac{{dU}}{{dr}}\cdot dr=4\pi r_0^2 kRT\left({\frac{{4r}}{{r_0^2}}-\frac{{4r_0^4}}{{r^5}}} \right)dr$ .

$\delta A = dU \Rightarrow \Delta p = \frac{{4kRT}}{{r_0}}\left({\frac{{r_0}}{r}}\right)^2 \left({\frac{r}{{r_0}} - \frac{{r_0^5}}{{r^5}}} \right)$ . Искомая зависимость имеет вид $\Delta p = \frac{{4kRT}}{{r_0 }}\left({\lambda ^{ - 1} - \lambda ^{- 7}}\right)$ . Эта зависимость имеет максимум при $\lambda = \sqrt[6]{7} \approx 1.38$ . При $λ = 1Δ p = 0$ . При $\lambda\gg 1 \Delta p \sim 1/\lambda$ . Примерный график зависимости $Δ p (λ)$ при $\lambda\ge 1$ приведён на рисунке 2.1.

Рис.2.1.

(d) При $r = r 0$ давление гелия в шаре равно атмосферному $p_0=\frac{{n_0 RT_0}}{{{\textstyle{4\over 3}}\pi r_0^3}}$ . При раздувании шара давление гелия $\left({p_0 + \Delta p}\right)=\frac{{nRT_0}}{{{\textstyle{4\over 3}}\pi r^3}}\Rightarrow \Delta p= \frac{{RT_0}}{{{\textstyle{4 \over 3}}\pi r_0^3}}\left({\frac{n}{{\lambda ^3}} - n_0}\right)$ .

Используя выражение для $\,\!\Delta p$ из пункта (с), выражаем $k =\frac{1}{4}\cdot\frac{r_0} { {4 \over 3} \pi r_0^3} \cdot \frac {\left( n / \lambda^3- n_0 \right)} {\left({\lambda ^{- 1}-\lambda ^{- 7}}\right)}=\frac{r_0 p_0}{4RT_0}\cdot\left(\frac{n/ \left(n_0 \lambda ^3 \right)- 1}{\lambda ^{- 1} - \lambda ^{- 7}}\right)$ .

$a =\frac{n/ \left(n_0 \lambda ^3 \right)- 1}{\lambda ^{- 1} - \lambda ^{- 7}}\approx 0.11$ .

[править] ЧАСТЬ С

(e) Условие равновесия шара на высоте $z f$ : $M_T g = F_B = M_A ng\frac{{p_f}}{{p_f +\left({\Delta p}\right)_f}}$ .

$\frac{{p_f + \left({\Delta p}\right)_f}}{{p_f}}= \frac{{M_A n}}{{M_T}}$ . Так как количество гелия в шаре постоянно, то:

$\frac{{\left({p_0 + \left({\Delta p}\right)_0}\right)\lambda ^3}}{{T_0}} = \frac{{\left({p_f +\left({\Delta p}\right)_f}\right)\lambda _f^3}}{{T_f}}\Rightarrow \left({p_f + \left({\Delta p}\right)_f}\right)= \left({p_0 + \left({\Delta p}\right)_0}\right)\frac{T_f}{T_0}\left(\frac{\lambda}{\lambda _f}\right)^3$ .

$\frac{{p_f + \left({\Delta p}\right)_f}}{{p_f}}$ $= \frac{p_0 + \left(\Delta p \right)_0}{T_0} \cdot\frac{T_f}{p_f}\cdot\left(\frac{\lambda}{\lambda _f}\right)^3$ $= \frac{nM_A}{M_T}$ .

Из п.(c): $\Delta p_f= \frac{{4kRT_f}}{{r_0}}\left({\lambda _f^{- 1}- \lambda _f^{- 7}}\right)$ .

$1+ \frac{{\left({\Delta p}\right)_f}}{{p_f}}= 1 + \frac{{4kRT_f}}{{r_0 p_f}}\left({\lambda _f^{-1}-\lambda _f^{- 7}}\right)=\frac{{nM_A}}{{M_T}}$ .

$\frac{{T_f}}{{p_f}}= \left({\frac{{nM_A}}{{M_T}}- 1}\right)\frac{{r_0}}{{4kR\left({\lambda _f^{-1}-\lambda _f^{- 7}}\right)}}=\frac{{nM_A}}{{M_T}}\cdot\left({\frac{{\lambda _f}}{\lambda}}\right)^3\cdot \frac{{T_0}}{{p_0 + \left({\Delta p} \right)_0}}$ .

Учтём, что $\frac{{4kRT_0}}{{r_0}}= ap_0$ , след., $\left({\lambda _f^2-\lambda _f^{-4}}\right)=\frac{{p_0 + \left({\Delta p}\right)_0}}{{ap_0}}\left({1 - \frac{{M_T}}{{nM_A}}}\right)\lambda ^3$ .

Т.к. $λ f > λ$ ,

где $λ = 1,5$

то $\left({\lambda _f^2 - \lambda _f^{-4}}\right)\approx \lambda _f^2$ .

$\left( {\Delta p} \right)_0 = \frac{{4kRT_0 }}{{r_0}}\left({\lambda ^{ - 1} - \lambda ^{ - 7}} \right) \approx ap_0 \lambda ^{ - 1}$ .

Т.о.,

$\lambda _f \approx \sqrt{\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{\lambda}\right)\left(1-\frac{M_T}{nM_A}\right)\lambda ^3}\approx 2.14$ .

$\frac{{p_f}}{{T_f}} = \frac{{p_0}}{{T_0}}\left({1 - \frac{{z_f}}{{z_0}}}\right)^{\eta- 1}=\frac{{p_0 + \left({\Delta p}\right)_0}}{{T_0}}\left({\frac{\lambda }{{\lambda _f}}}\right)^3 \frac{{M_T}}{{nM_A}}\approx \frac{{p_0}}{{T_0}}\left({1 + \frac{a}{\lambda}}\right)\left({\frac{\lambda}{{\lambda _f}}}\right)^3\frac{{M_T}}{{nM_A}}$ .

Из последнего выражения находим

$z_f \approx 11\;$ км.

[править] Атомный зондирующий микроскоп

Атомный зондирующий микроскоп (АЗМ) является мощным исследовательским инструментом в области нанофизики. Движение датчика АЗМ регистрируется с помощью фотодетектора, принимающего отражённый луч лазера, как показно на рис.3.1. Датчик закреплён на упругой горизонтальной пластинке и может колебаться только в вертикальном направлении. Его смещение z, зависящее от времени t, описывается уравнением $m\frac{{d^2 z}}{{dt^2}} + b\frac{{dz}}{{dt}}+ kz = F$

где m – масса датчика, $k - m\omega _0^2$ - коэффициент упругости пластинки, b – малый коэффициент затухания, удовлетворяющий условию $\omega _0\gg (b/m)>0$ ,

F - внешняя сила, действующая на датчик со стороны пьезоэлемента.

Рис.3.1 Упрощённая схема атомного зондирующего микроскопа (АЗМ). В правом нижнем углу показана упрощённая механическая модель, описывающая принцип работы датчика и его связь с пьезоэлементом.

[править] ЧАСТЬ А

(a) [1.5 балла] Если $F = F 0 sinω t,$ то зависимость z(t), удовлетворяющая уравнению (3.1), имеет вид $z (t) = A sin(ω t - φ)$ , где A>0 и $0\le\phi\le\pi$ . Получите выражения для амплитуды A и тангенса фазы tan _Ф_ через параметры $F 0, m,ω,ω 0, b$ . Найдите значения амплитуды A и фазы _Ф_ на резонансной частоте $ω = ω 0$ .

(b) [1 балл] Электронное устройство, показанное на рис. 3.1, перемножает входной сигнал и опорный сигнал $V R = V R 0 sinω t$ , и выделяет в качестве выходного сигнала только постоянную составляющую произведения обоих сигналов. Допустим, входной сигнал задаётся формулой $V i = V i 0 s i n (ω i t - φ)$ , где $V R 0, V i 0,ω i,$ и $φ$ являются заданными положительными константами. Найдите условие для w (>0), при котором на выходе появляется отличный от нуля сигнал. Получите выражение для величины выходного сигнала (постоянной составляющей произведения) на заданной частоте $ω$ .

(c) [1.5 балла] Пройдя через фазовращатель, опорный сигнал, напряжение которого зависит от времени по закону $V R = V R 0 sinω t$ , приобретает вид $V' R = V R 0 sin(ω t + π / 2)$ . Это напряжение $V' R$ подаётся на пьезоэлемент, который создаёт силу $F = c 1 V' R$ , приложенную к датчику. Затем фотодетектор преобразует смещение датчика _z_ в напряжение $V i = c 2 z$ . В этих соотношениях $c 1$ и $c 2$ - известные константы, $V i$ - входной сигнал. Получите выражение для постоянной составляющей выходного сигнала при частоте опорного сигнала $ω = ω 0$ .

(d) [2 балла] Малое изменение массы датчика $Δ m$ приводит к сдвигу его резонансной частоты на величину $Δω 0$ , в результатае чего фаза входного сигнала _Ф_ на первоначальной резонансной частоте $ω 0$ испытывает сдвиг на величину $Δφ$ . Найдите изменение массы датчика $Δ m$ , при котором сдвиг фазы оказывается равным $Δφ = π / 1800$ , что типично для фазовых измерений. Значения физических параметров датчика следующие: $m = 1.010 - 12$ кг, $k = 1,0 H/_M (b/m) = 1.0 \times 10^3 c^{ - 1}.$ Используйте следующие приближенные формулы:

$(1 + x)^a \approx 1 + ax$ и $\tan(\pi /2 + x)\approx - 1/x$ при $(\left|x\right|<< 1).$

ЧАСТЬ B

Далее рассмотрите поведение устройства, включая все силы, действующие на датчик, описанные в части А, а также дополнительную силу со стороны образца ( рис. 3.1), рассмотренную ниже.

(e) [1.5 балла] Считайте, что дополнительная сила $f (h)$ , действующая на датчик со стороны поверхности образца, зависит только от расстояния $h$ между концом датчика и поверхностью образца. Зная эту силу, можно найти новое положение равновесия датчика $h 0$ . Вблизи этого положения $h 0$ можно приблизительно записать $f(h) \approx f(h_0 ) + c_3 (h - h_0 )$ , где $c 3$ – коэффициент, не зависящий от $h$ . Найдите новую резонансную частоту колебаний датчика $\omega_0^!$ и выразите её через величины $ω 0, m, c 3$ .

(f) [2.5 балла] Остриё датчика, несущее электрический заряд $Q = 6 e$ , движется горизонтально над поверхностью и проходит над электроном с зарядом $q = e$ , расположенным (локализованным в пространстве) на некотором расстоянии под поверхностью образца. В ходе сканирования вблизи электрона максимальный сдвиг резонансной частоты $( = \omega_0^' - \omega _0)$ оказывается значительно меньше $ω 0$ . Получите выражение для расстояния $d 0$ от острия датчика до локализованного электрона, при котором сдвиг частоты будет максимальным. Выразите это расстояние через параметры $m, q, Q,ω 0,Δω 0$ и постоянную закона Кулона $k e$ . Рассчитайте расстояние $d 0$ в нанометрах (1 нм = 1x10^-9 м) для сдвига частоты $Δω = 20 c - 1$ . Параметры датчика следующие: $m = 1.0\cdot 10^{-12}$ кг, $k = 1.0$ Н/м. Любыми поляризационными эффектами как для датчика, так и для образца следует пренебречь. Физические постоянные равны $k_e = 1/4\pi \varepsilon _0 = 9.0\cdot 10^9$ H x м²/Кл², $e = - 1.6\cdot10^{-19}$ Кл.

[править] Ответы к задаче Атомный зондирующий микроскоп

[править] Часть А

(a) $z(t)=A\sin\left({\omega t - \varphi}\right)$

$\frac{{dz}}{{dt}}= A\omega\cos \left({\omega t - \varphi}\right);\frac{{d^2 z}}{{dt^2 }}= -A\omega ^2 \sin \left( {\omega t - \varphi } \right)$

С учётом $\sin \left( {\omega t - \varphi } \right) = \sin \omega t \cdot \cos \varphi - \cos \omega t \cdot \sin \varphi ;\cos \left( {\omega t - \varphi } \right) = \cos \omega t \cdot \cos \varphi + \sin \omega t \cdot \sin \varphi$

$\begin{matrix}\left( { - m\omega ^2 A\cos \varphi + bA\omega \sin \varphi + kA\cos \varphi } \right)\sin \omega t + \\ + \left( {m\omega ^2 A\sin \varphi + bA\omega \cos \varphi - kA\sin\varphi } \right)\cos \omega t = F_0 \sin \omega t \\ \end{matrix}$

$\left\{ {\begin{matrix}{'''{20}c}{ - m\omega ^2 A\cos \varphi + bA\omega \sin \varphi + kA\cos\varphi = F_0 } \\{m\omega ^2 A\sin \varphi + bA\omega \cos \varphi - kA\sin \varphi = 0}\\ \end{matrix}} \right.$

Т.к. $k = m\omega _0^2$ , то

$tg\varphi = \frac{{b\omega }}{{m\left( {\omega _0^2 - \omega ^2 } \right)}}$

и

$A = \frac{{F_0 }}{{\sqrt {b^2 \omega ^2 + m^2 \left({\omega _0^2 - \omega ^2}\right)^2}}}$ .

При $ω = ω 0$ :

$\varphi= \frac{\pi}{2}$

и

$A= \frac{{F_0}}{{b\omega _0}}$ .

(b) $V_i V_R = V_{i0} V_{R0} \sin \left( {\omega _i t - \varphi _i } \right)\sin \omega t = \frac{{V_{i0} V_{R0} }}{2}\left[ {\cos \left( {\left( {\omega - \omega _i } \right)t + \varphi _i } \right) - \cos \left( {\left( {\omega + \omega _i } \right)t - \varphi _i } \right)} \right]$

Постоянная составляющая сигнала будет отлична от нуля только при

$ω = ω i$

и будет равна

$\frac{1}{2}V_{i0} V_{R0} \cos \varphi _i$ .

(c) Используем результаты, полученные в пункте (a) для A и $\varphi$ при $ω = ω 0$ . Учтём также, что $F = c_1 V' _R = c_1 V_{R0} \sin \left( {\omega t + \frac{\pi }{2}} \right)$ . Получим выражение для $V i (t)$ : $V_i = c_2 z = c_2 A\sin \left( wt + \frac{\pi }{2} - \varphi \right) = c_2 \frac{F_0}{b\omega _0 }\sin \left( \omega t + \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{2} \right) = \frac{c_2 c_1 V_{R0}}{b\omega _0 }\sin \omega t$

Откуда $V_{i0} = \frac{{c_1 c_2 V_{R0} }}{{b\omega _0 }}$ и $\varphi _i = 0$ . Т.к. $ω = ω i = ω 0$ , то постоянная составляющая сигнала

$\frac{{c_1 c_2 }}{2}\frac{{V_{R0}^2 }}{{b\omega _0 }}$ .

(d) Резонансная частота $\omega _0 = \sqrt {\frac{k}{m}}$ . При малом изменении массы датчика на $Δ m$ резонансная частота сдвинется на $\Delta \omega _0 = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{m}\sqrt {\frac{k}{m}} \cdot \Delta m = - \frac{1}{2}\frac{{\omega _0 }}{m}\Delta m$ .

$\begin{matrix}tg\varphi = tg\left( {\frac{\pi }{2} + \Delta \varphi } \right) = \frac{{b\omega }}{{m\left( {\omega _0^2 - \omega ^2 } \right)}} = \frac{{b\omega }}{{m\left( {\omega _0 + \omega } \right)\left( {\omega _0 - \omega } \right)}} = \\= \frac{b}{{2m\Delta \omega _0 }} \approx - \frac{1}{{\Delta \varphi }} \Rightarrow \Delta \varphi = - \frac{{2m\Delta \omega _0 }}{b} = \frac{{\omega _0 \Delta m}}{b}. \\\end{matrix}$

$\Delta m = \frac{{b\Delta \varphi }}{{\omega _0 }} =$ $\left( \frac{b}{m} \right)\left( \frac{m}{\sqrt {k / m}} \right)\Delta \varphi \approx 1.75 \cdot 10^{ - 18}$ кг.

[править] Часть B

(e)

$f\left( h \right) \approx f\left( {h_0 } \right) + c_3 \left( {h - h_0 } \right) = f\left( {h_0 } \right) + c_3 z$ .

Теперь уравнение колебаний датчика записывается так: $m\frac{{d^2 z}}{{dt^2 }} + b\frac{{dz}}{{dt}} + kz = F_0 \sin \omega t + f\left( {h_0 } \right) + c_3 z$

Появление постоянной силы $f (h 0)$ приводит только к смещению положения равновесия. А слагаемое $c 3 z$ можно учесть, введя новый коэффициент упругости $k' = \left( {k - c_3 } \right)$ . Тогда новая резонансная частота колебаний датчика

$\omega '_0= \sqrt {\frac{{k'}}{m}}= \sqrt {\omega _0^2 - \frac{{c_3 }}{m}}$ .

(f) Сила взаимодействия датчика с электроном $f = k_e \frac{{qQ}}{{r^2 }}$ , где r – расстояние между датчиком и электроном. Сдвиг частоты будет максимальным, когда датчик проходит над электроном. В этом случае сила f направлена, как показано на рисунке 3.2. При небольшом смещении датчика в направлении оси z от положения равновесия приращение силы $\Delta f = - 2k_e \frac{{qQ}}{{r^3 }}\Delta r = c_3 z$ . Так как $Δ r = z$ , а $r = d 0$ , то $c_3 = - 2k_e \frac{{qQ}}{{d_0^3 }}$ .

$\Delta \omega _0 = \omega '_0 - \omega _0 = \omega _0 \left( {\sqrt {1 - \frac{{c_3 }}{{m\omega _0^2 }}} - 1} \right) \approx - \frac{1}{2}\frac{{c_3 }}{{m\omega _0^{} }} = k_e \frac{{qQ}}{{m\omega _0^{} d_0^3 }}$ .

$d_0 = \sqrt[3]{{\frac{{k_e qQ}}{{m\omega _0 \Delta \omega _0 }}}} \approx 41 \,$ нм.

Источник — «http://ru.wikibooks.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B8_%D1%81_XXXV_%D0%BC%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D1%84%D0%B8%D0%B7%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B9_%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D0%BC%D0%BF%D0%B8%D0%B0%D0%B4%D1%8B_%D0%B2_%D0%9A%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%B5»

Категория: Олимпиады

Просмотры

Личные инструменты

Поиск

Инструменты

Последнее изменение этой страницы: 12:45, 27 сентября 2006.
Текст доступен на условиях лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike, в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Подробнее см. Условия использования.
Политика конфиденциальности
Введение
Отказ от ответственности