Обсуждение:Куммер, Кэлер, Кодайра

• Много материала берётся из замечательной статьи Бургиньона про K3-поверхности. Not knot 05:24, 8 Апр 2005 (UTC)
• К сожалению, wikiformat и ljformat (html + <lj-cut>) — вещи немного разные. Пока что формат оптимизирован для ЖЖ и поэтому выглядит несколько странно. Если из этого текста будет что-то получаться, то в процессе работы определимся с форматом. Not knot 07:31, 8 Апр 2005 (UTC)

Может, пригодится для чего-нибудь :-)

1) В вещественном случае при факторизации мы получаем многообразие с краем -- все эти вклеенные RP^{n-1} оказываются краем. В комплексном случае края не будет. Но инволюция у нас задается одинаково что в C^n, что в его овеществлении. Получается, что в похожих ситуациях в четной размерности имеет смысл в вещественном многообразии вводить локально в окрестности особых точек комплексную структуру и подклеивать не RP^{n-1}, а CP^{n/2-1}.

2) Рассмотрим вначале окрестность нуля в C. Факторизация по инволюции фактически означает отображение C->C, задаваемое формулой z->z^2. При этом и фактормногообразие, и факторотображение у нас аналитические, и особенность у этого отображения только в неподвижной точке.

3) Теперь возьмем окрестность нуля в C^2. Аналитическое отображение, которое задавало бы факторизацию по инволюции, тут уже подобрать не удастся. Поэтому приходится вклеивать CP^1. В окрестности произвольной точки CP^1 в локальных координатах (z_1, w), где w=z_2:z_1, инволюция задается формулой (z_1, w)->(-z_1, w), поэтому факторизацию уже можно задать аналитическим отображением (z_1, w)->((z_1)^2,w), аналогично одномерному случаю. Если перейти к глобальным координатам (z_1, z_2, w), где w \in CP^1, а (z_1, z_2) \in w (w здесь рассматривается как прямая в C^2, а наше раздутие является подмногообразием в (C^2)x(CP^1)), то факторотображение задается формулой (z_1, z_2, w)->((z_1)^2, (z_2)^2, w). В размерностях больше 2 все делается совершенно так же.

4) Обозначим M многообразие, которое получилось после вклейки в E^2 проективных прямых вместо всех плохих точек. У нас есть два отображения f:M->E^2 и g:M->K3, оба аналитические. Поскольку коразмерность вклеек >1, то любой цикл в M можно двигать свободно, не боясь, что он пересечет вклейки. Поэтому вклейки не помешают разложению цикла по четырем "базисным", которые берутся из тора. Теперь нам нужно определить образ этих базисных циклов при проекции M->K3. Вот тут я бы выбрала в качестве базисного такой цикл, который проходит (на торе) через две плохих точки. Поскольку он гладкий, то его поднятие в M продолжается однозначно на каждую из двух вклеек и пересекается с ней ровно по одной точке. Проекция этого цикла в K3 будет отрезком, то есть стягивается. Благодаря специальному выбору цикла нет необходимости рассматривать его окрестность (я вообще эти рассуждения в комментариях не очень поняла).

5) Теперь про форму объема. В локальных координатах около вклеенной CP^1 она записывается как dz_1 \wedge d(wz_1) = (1/2)d(z_1^2) \wedge d(w). А как было сказано в самом начале, (z_1^2, w) -- это как раз координаты в нашем фактормногообразии около вклейки! Поэтому чудесным образом нули из нашей формы исчезают.

Marina 21.04.2005