Линейная алгебра и аналитическая геометрия/Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

---

1. Предварительные понятия
2. Метод координат
3. Алгебраические линии первого и второго порядка
4. Комплексные числа
5. Матрицы и определители
6. Совместное использование точек, векторов и матриц в формулах
7. Системы линейных уравнений
8. Определение векторного пространства
9. Линейно-зависимые системы векторов
10. Подпространства векторного пространства
11. Линейные многообразия
12. Аналитическая геометрия в пространстве
13. Линейные пространства. Линейные преобразования
14. Задачи

В статьях по линейной алгебре могут совместно использоваться понятия точки, вектора и матрицы. Например, при описании нелинейного метода сопряжённых градиентов часто применяются формулы вида

$\mathbf {x} _{new}=\mathbf {x} _{old}+\alpha \mathbf {d} ,$

где $\mathbf {x} _{new}$ и $\mathbf {x} _{old}$ соответствуют точкам в некотором пространстве, $\alpha$ - просто число (скаляр), $\mathbf {d}$ - вектор. Формула описывает, как осуществляется перемещение из точки $\mathbf {x} _{old}$ в некотором пространстве в направлении вектора $\mathbf {d}$, причём длина шага зависит от $\alpha$. Перемещение приводит к новой точке $\mathbf {x} _{new}$:

Операция умножения вектора на скаляр ($\alpha \mathbf {d}$) в математике определена, она даёт в результате вектор другой длины. Но может показаться странным, что точка $\mathbf {x} _{old}$ (абстрактный объект в определённом месте пространства, не имеющий ни объёма, ни площади, ни длины, ни каких-либо других измеримых характеристик) складывается с вектором $\alpha \mathbf {d}$ (направленным отрезком). В математике не определена операция сложения точки с вектором.

Дело в том, что в действительности в приведённой формуле используются матрицы, а не точки и вектора. $\mathbf {x} _{new}$ - это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты точки в Декартовой системе координат:

$\mathbf {x} _{new}={\begin{bmatrix}x_{new1}\\x_{new2}\\\vdots \\x_{newN}\\\end{bmatrix}}$

Случай двух координат $\mathbf {x} _{new}={\begin{bmatrix}x_{new1}\\x_{new2}\\\end{bmatrix}}$ изображён на рисунке, приведённом выше.

$\mathbf {d}$ - это матрица из одного столбца, в которую записаны координаты конца вектора в Декартовой системе координат. При этом начало вектора устанавливается в начало координат. В случае двух координат:

$\mathbf {d} ={\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\\end{bmatrix}}$

Также $d_{1}$ и $d_{2}$ можно рассматривать как длины вектора вдоль соответствующих осей координат. Вектор можно изображать на координатной плоскости в любом месте. Где бы он ни был изображён - это будет один и тот же вектор (если его не поворачивать).

Таким образом, для записи координат точек и векторов используются матрицы-столбцы, и в формулах производятся операции с координатами в матрицах, а не с точками и векторами непосредственно.

Во многих статьях применяется запись координат в матрицах-столбцах, однако в других источниках может применяться запись в матрицах-строках. Это столь же правомерно. При необходимости применяется операция транспонирования. Она меняет в матрице строки на столбцы, переводит матрицу-строку в матрицу-столбец и наоборот:

если $\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{N}\\\end{bmatrix}}$, то $\mathbf {x} ^{\top }=[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}]$.