Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах

Материал из Викиучебника

Содержание

1 Историческая справка
2 Алгебраическая форма комплексного числа
- 2.1 Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме
3 Основные законы действий над комплексными числами
4 Комплексно сопряжённое число
5 Примечания

Комплексные числа — это расширение поля действительных чисел. Обозначается $\C$ . Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, то есть многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней. Это основная теорема алгебры.

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x,\;y)$ с введёнными на них операциями сложения и умножения вида:

$(x_1,\;y_1)+(x_2,\;y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2);$ (Д2.1)

$(x_1,\;y_1)\cdot(x_2,\;y_2)=(x_1x_2-y_1y_2,\;x_1y_2+x_2y_1);$ (Д2.2)

$(x_1,\;y_1)=(x_2,\;y_2)\Leftrightarrow(x_1=x_2\and y_1=y_2).$ (Д2.3)

[править] Историческая справка

Термин «комплексное число» в первые использовал французский математик Л. Карно (1753—1823) в 1803 году, но широкое употребление ему придал К. Ф. Гаусс (1777—1855) в 1831 году.

Впервые же мнимые величины, скорее всего, нашли отражение в известном труде Дж. Кардано (1501—1576) «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), но он счёл их непригодными для использования в математической практике. Применение мнимых величин для решения кубических уравнении нашли в работах Р. Бомбелли (ок. 1526—1572). Он также разработал базовые правила действий с ними.

Хотя выражения вида $a+b\sqrt{-1}$ , появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» ещё в XVI—XVII веках, но всё же для многих крупных ученых XVII века их алгебраическая и геометрическая сущность была не ясна. Долгое время было неясно, можно ли, проводя математические операции над комплексными числами, получить числа какого-то нового типа. Так задача о выражении корней $n$ -ой степени была решена только в начале XVIII века в работах А. де Муавра (1667—1754) и Р. Котса (1682—1716).

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (1745—1818), но зачатки этого представления были сделаны ещё в 1685 году Дж. Валлисом (1616—1703). Современное геометрическое представление, так называемую диаграмму Аргана, предложил в опубликованой в 1806 года работе Ж. Р. Арган (1768—1822), независимо повторявший выводы Весселя.

Символ $i=\sqrt{-1}$ был предложен Л. Эйлером в 1777 году. Это первая буква слова лат. imaginarius — мнимый. Он также распространил области значения всех стандартных функций на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Чуть ранее, в 1747 году, к этому же выводу пришёл и Ж. Л. д'Аламбер (1717—1783), но его доказательство было небезукоризненным. Первое строгое доказательство этого факта было дано Гауссом в 1799 году в его докторской диссертации. В последствие Гаусс даже предложил 4 различных доказательства основной теоремы алгебры.

Непротворечивая модель комплексных чисел была создана в 1837 году У. Р. Гамильтоном (1806—1865). В рамках её комплексные числа рассматривались как упорядоченные пары действительных чисел. Он же в 1843 году предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, получив тем самым гиперкомплексные числа. Позже были получены ещё несколько видов гиперкомплексных чисел, например, числа Кэли.

[править] Алгебраическая форма комплексного числа

Арифметическая модель комплексных чисел как пар действительных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном, хотя и непротиворечива, но не удобна в вычислениях, поэтому для манипуляций с ними используют различные их представления.

В рамках гамильтоновского определения действительные числа имеют вид $(x,\;0)$ . Эта пара обозначается также просто $x$ . В частности, $(0,\;0)=0$ . Пара $(0,\;1)$ имеет особый статус и называется мнимой единицей. Она обозначается как $i$ .

Рассмотрим следующее выражение:

$i^2=i\cdot i=(0,\;1)\cdot(0,\;1).$ (Д2.4)

Применяя формулу (Д2.2), получаем:

$i^2=(0-1,\;0+0)=(-1,\;0)=-1.$ (Д2.5)

Следовательно, число $i$ можно определить также как $i=\sqrt{-1}$ . Так как и сделал Л. Эйлер, но это не вполне корректно, так как арифметический квадратный корень определяется только для неотрицательных чисел. Есть другой путь определения мнимой единицы: мнимой единицей называется решение уравнения

x 2 = - 1,

(Д2.6)

однако и он не безупречен, так как этому уравнению удовлетворяет не только $x=(0,\;1)=i$ , но $x=(0,\;-1)=-1\cdot i=-i$ . Это легко проверить, подставив $x = - i$ в уравнение (Д2.6) и вычислив по формуле (Д2.2). Кроме того, наличие двух корней у уравнения (Д2.6) необходимо следует из основной теоремы алгебры. Здесь имеет смысл говорить о так называемых сопряжённых комплексных числах. С формальной точки зрения, совершенно безразлично, какую пару принимать за определение мнимой единицы — условились, что мниная единица имеет вид $i=(0,\;1)$ , а пара $(0,\;-1)$ является сопряжённой к ней.

Исходя из модели Гамильтона, выведем алгебраическую форму комплексного числа, для этого рассмотрим комплексное число $(x,\;y)$ . Сделаем в нём следующее преобразование:

$(x,\;y)=(x+0,\;y+0).$ (Д2.7)

На основании формулы (Д2.1) можно написать, что

$(x,\;y)=(x+0,\;0+y)=(x,\;0)+(0,\;y).$ (Д2.8)

Во втором слагаемом сделаем ещё одно преобразование:

$(x,\;y)=(x,\;0)+(0,\;y)=(x,\;0)+(y\cdot 0-0\cdot 0,\;y\cdot 1+0\cdot 0).$ (Д2.9)

Воспользовавшись формулой (Д2.2), будем иметь:

$(x,\;y)=(x,\;0)+(y\cdot 0-0\cdot 0,\;y\cdot 1+0\cdot 0)=(x,\;0)+(y,\;0)\cdot(0,\;1).$ (Д2.10)

Теперь, если заменить получившиеся упорядоченные пары их значениями, придём к следующему выражению:

$(x,\;y)=x+y\cdot i.$ (Д2.11)

Это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Если в формуле (Д2.11) положить $x = 0$ , то выражение

$(0,\;y)=y\cdot i.$ (Д2.12)

будет называться чисто мнимым числом, или просто мнимым числом.

Условно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего $z$ , то есть $z=(x,\;y)=x+yi$ .

Первую проекцию^[1] $x$ комплексного числа $z$ называют действительной (вещественной) частью числа $z$ и обозначают $x=\mathrm{Re}\,z$ (от лат. realis — действительный). Вторая проекция $y$ комплексного числа $z$ называется мнимой частью числа $z$ и обозначается $y=\mathrm{Im}\,z$ (от лат. imaginarius — мнимый).

В терминах алгебраической формы можно переформулировать определение равенства комплексных чисел (Д2.3):

$x_1+y_1i=x_2+y_2i\Leftrightarrow(x_1=x_2\and y_1=y_2)$ (Д2.13)

или, если применить условные обозначения:

$z_1=z_2\Leftrightarrow(\mathrm{Re}\,z_1=\mathrm{Re}\,z_2\and\mathrm{Im}\,z_1=\mathrm{Im}\,z_2).$ (Д2.14)

В частности, комплексное число равно нулю, когда его действительная и мнимая части равны нулю:

$x+yi=0\Leftrightarrow(x=0\and y=0)$ или $z=0\Leftrightarrow(\mathrm{Re}\,z=0\and\mathrm{Im}\,z=0).$ (Д2.15)

Аналогичным путём можно получить алгебраическую форму для комплексно сопряжённого числа: $x - y i$ . Подробнее, см. ниже.

[править] Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме

Алгебраическая форма очень удобна для выполнения арифметических действий, так как в рамках её комплексные числа можно рассматривать как линейные двучлены, роль $x$ в которых играет $i$ с дополнительным равенством $i 2 = - 1$ .

Сложение двух комплексных чисел $z 1 = x 1 + y 1 i$ и $z 2 = x 2 + y 2 i$ выполняется по следующему правилу:

z 1 + z 2 = (x 1 + y 1 i) + (x 2 + y 2 i) = (x 1 + x 2) + (y 1 + y 2) i .

(Д2.16)

Оно непосредственно следует из формулы (Д2.1).

Чтобы получить правило вычитания одного комплексного числа из другого, воспользуемся определением: разностью двух комплексных чисел $z 1$ и $z 2$ называется такое $z$ , что верно равенство:

z 2 + z = z 1 .

(Д2.17)

Если рассматривать с формальной точки зрения, то следует записать следующее выражение:

$(x_2,\;y_2)+(x,\;y)=(x_1,\;y_1).$ (Д2.18)

Теперь в левой части применим формулу суммы комплексных числе:

$(x_2+x,\;y_2+y)=(x_1,\;y_1).$ (Д2.19)

По определению сравнения двух комплексных пар будем иметь следующую систему:

$\begin{cases}x_2+x=x_1; \\ y_2+y=y_1,\end{cases}$ (Д2.20)

решением которой являются действительные числа $x = x 1 - x 2$ и $y = y 1 - y 2$ , то есть можно записать, что:

$(x_1,\;y_1)-(x_2,\;y_2)=(x_1-x_2,\;y_1-y_2).$ (Д2.21)

Если применять алгебраическую форму, то вычитание будет более наглядным:

z 1 - z 2 = (x 1 + y 1 i) - (x 2 + y 2 i) = (x 1 - x 2) + (y 1 - y 2) i .

(Д2.22)

Рассмотрим теперь произведение двух комплексных чисел $z 1$ и $z 2$ в алгебраической форме:

$z_1\cdot z_2=(x_1+y_1i)\cdot(x_2+y_2i)=x_1x_2+x_1y_2i+x_2y_1i+y_1y_2i^2=(x_1x_2-y_1y_2)+(x_1y_2+x_2y_1)i.$ (Д2.23)

Деление комплексных чисел, как и деление действительных чисел, является обратной операцией по отношению к произведению. По определению, комплексное число $z$ , отличное от нуля, называется частным от деления комплексного числа $z 1$ на комплексное число $z 2$ , если выполняется равенство:

$z_2\cdot z=z_1.\quad(z\neq 0)$ (Д2.24)

Найдём произведение в левой части:

$(x_2,\;y_2)\cdot(x,\;y)=(x_1,\;y_1);$ (Д2.25)

$(x\cdot x_2-y\cdot y_2,\;x\cdot y_2+x_2\cdot y)=(x_1,\;y_1).$ (Д2.26)

Сравнивая его с числом в правой части, будем иметь систему:

$\begin{cases}x\cdot x_2-y\cdot y_2=x_1; \\ x\cdot y_2+x_2\cdot y=y_1.\end{cases}$ (Д2.27)

Решением будут служить числа:

$\begin{cases}x=\dfrac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}; \\ y=\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}.\end{cases}$ (Д2.28)

Следовательно, можно записать следующее правило:

$\frac{(x_1,\;y_1)}{(x_2,\;y_2)}=\left(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2},\;\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right).$ (Д2.29)

Выведем теперь правила деления комплексных чисел в алгебраической форме:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}.$ (Д2.30)

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателя — $x 2 - y 2 i$ (это возможно, так как по условию знаменатель не обращается в нуль, и соотвественно, это справедливо для его комплексно сопряжённого):

$\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{(x_1+y_1i)(x_2-y_2i)}{(x_2+y_2i)(x_2-y_2i)}.$ (Д2.31)

В числителе раскроим скобки, а в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:

$\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{x_1x_2-x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2i^2}{x_2^2-(y_2i)^2}.$ (Д2.32)

После упрощений и почленного деления окончательно будем иметь:

$\frac{x_1+y_1i}{x_2+y_2i}=\frac{x_1x_2-x_1y_2i+x_2y_1i-y_1y_2i^2}{x_2^2-(y_2i)^2}=\left(\frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)+\left(\frac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}\right)i.$ (Д2.33)

В частности,

$\frac{1}{x+yi}=\frac{1+0\cdot i}{x+yi}=\frac{x}{x^2+y^2}+\frac{-y}{x^2+y^2}i$ (Д2.34)

и

$\frac{1}{i}=-i.$ (Д2.35)

Возведение в целую степень. Прежде чем рассматривать вопрос возведения в степень произвольного комплексного числа $z$ , рассмотрим какие результаты даёт возведение в степень мнимой единицы $i$ . По определению натуральной степенью $z n$ называется $n$ -кратное произведение числа $z$ на самого себя:

$z^n=\underbrace{z\cdot z\cdot\ldots\cdot z}_n;\quad z^0=1.$ (Д2.36)

Для $i$ последовательно будем иметь:

$i^0=1,\quad i^1=i,\quad i^2=-1,\quad i^3=-i,\quad\ldots$ (Д2.37)

Продолжая умножение, можно получить следующее обобщение:

$i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i,$ (Д2.38)

где $k=0,\;1,\;2,\;\ldots$

При возведение в степень числа $z = x + y i$ в натуральную степень $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$z^n=(x+yi)^n=x^n+\binom{1}{n}x^{n-1}(yi)+\binom{2}{n}x^{n-2}(yi)^2+\ldots+(yi)^n.$ (Д2.39)

Теперь, упрощая каждый моном по формулам (Д2.38) и группируя члены, содержащие $i$ и не содержащие, в итоге получим некое комплексное число $X + Y i$ . Таким образом, натуральная степень комплексного числа, у которого действительная часть отлична от нуля, также является комплексным числом. Степень чисто мнимого числа может быть и действительным числом.

Так как, по определению,

$z^{-n}=\frac{1}{z^n},$ (Д2.40)

то нужно сначала возвести в степень $n$ по формуле (Д2.39), а затем найти обратную величину по формуле (Д2.34).

Из выше сказанного следует, что при любом целом, отличном от нуля, показателе степени, для комплексного числа общего вида мы получаем другое комплексное число. Если возводить в целую степень чисто мнимое число, то в результате может получиться либо действительное, либо чисто мнимое число.

Вопрос извлечения корней из комплексных чисел мы рассмотрим на примере извлечения квадратного корня. В дальнейшем будет более подробно показано, что извлечение корня для комплексных чисел всегда осуществимо и многозначно.

Итак, по определению, квадратным корнем из комплексного числа $z = x + y i$ называется такое комплексное число $w = u + v i$ , что имеет место равенство $w 2 = z$ , то есть:

(u + v i) 2 = x + y i

(Д2.41)

или, раскрывая скобки,

(u 2 - v 2) + 2 u v i = x + y i .

(Д2.42)

Сравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, приходим к системе уравнений:

$\begin{cases}u^2-v^2=x; \\ 2uv=y,\end{cases}$ (Д2.43)

решая которую будем иметь:

$u^2=\frac{x+\sqrt{x^2+y^2}}{2},\quad v^2=\frac{-x+\sqrt{x^2+y^2}}{2}.$ (Д2.44)

Выражения $\pm x+\sqrt{x^2+y^2}$ неотрицательны при любых действительных $x$ и $y$ , следовательно, числа $u$ и $v$ всегда можно найти из (Д2.44); при этом они будут действительны. При извлечении арифметических корней в (Д2.44) необходимо учитывать знаки таким образом, чтобы выполнялось соотношение $2 u v = y$ , которое задаёт два различных набора действительных чисел. Соответственно, извлечение корня из $z = x + y i$ даёт два комплексных числа $w 1 = u 1 + v 1 i$ и $w 2 = u 2 + v 2 i$ .

Замечание. Из выражений (Д2.16) и (Д2.23) становится ясным, почему формулы (Д2.1) и (Д2.2) соответственно имеют такой вид. Возникает законный вопрос, почему нельзя в качестве определения сразу принять, что комплексным числом $z$ называется выражение вида $x + y i$ , где $i 2 = - 1$ , или $i=\sqrt{-1}$ , и действия над ним выполняются как над двучленами. К сожалению, этот путь ошибочен, так как в выражении $x + y i$ имеются несколько неопределённых моментов: во-первых, как мы уже видели в начале главы, в рамках действительных чисел не возможно корректно определить мнимую единицу $i$ ; во-вторых, здесь присутствуют неопределённые ещё операции над мнимой единицей, то есть умножение её на действительное число и сложение этого результата с другим действительным числом. Если же выражение $x + y i$ считать единым формальным выражением, где $x$ и $y$ — действительные числа, $i$ — некоторый символ, обладающий свойством $i 2 = - 1$ , то и в этом случае построение модели комплексных чисел будет не полным, так как из этого определения невозможно будет вывести правила действий над комплексными числами и их свойства.

[править] Основные законы действий над комплексными числами

На комплексные числа распространяются все осноные законы действия над действительными числами. Они легко выводятся из определения арифметических операций.

z 1 + z 2 = z 2 + z 1 .

(Д2.45)

z 1 + (z 2 + z 3) = (z 1 + z 2) + z 3 .

(Д2.46)

$z_1\cdot z_2=z_2\cdot z_1.$ (Д2.47)

$z_1\cdot(z_2\cdot z_3)=(z_1\cdot z_2)\cdot z_3.$ (Д2.48)

$z_1\cdot(z_2+z_3)=z_1\cdot z_2+z_1\cdot z_3.$ (Д2.49)

$z^\alpha\cdot z^\beta=z^{\alpha+\beta}.$ (Д2.50)

$\frac{z^\alpha}{z^\beta}=z^{\alpha-\beta}.\quad (z\neq 0)$ (Д2.51)

$(z^\alpha)^\beta=z^{\alpha\cdot\beta}.$ (Д2.52)

$(z_1\cdot z_2)^\alpha=z_1^\alpha\cdot z_2^\alpha.$ (Д2.53)

$\left(\frac{z_1}{z_2}\right)^\alpha=\frac{z_1^\alpha}{z_2^\alpha}.\quad(z_2\neq 0)$ (Д2.54)

$z^1=z,\quad z^0=1,\quad z^{-1}=\frac{1}{z}.\quad(z\neq 0)$ (Д2.55)

Здесь $\alpha,\;\beta\in\C$ . Формулы (Д2.50)—(Д2.54) легко доказываются из определения степени для натуральных показателей. На целые показатели они обобщаются с помощью формул (Д2.55). Свойства при рациональных показателях следуют из определения извлечения корня из комплексного числа. Возведение в действительную и комплексную степень требует введение дополнительных понятий, поэтому оставим этот факт пока без доказательства.

[править] Комплексно сопряжённое число

Как уже было сказано выше, выбор того, какая упорядоченная пара $(0,\;1)$ или $(0,\;-1)$ будет принята за мнимую единицу, совершенно произволен. Условились, что комплексное число $z$ имеет алгебраическую форму $x + y i$ , а комплексное число с алгебраической формой $x - y i$ ( $x$ и $y$ в этих двух формулах одинаковы) называется комплексно сопряжённым и обозначается $\bar z$ или $z *$ .

Переход к комплексному сопряжённому удобно рассматривать как унарную (одноместную) операцию, которая изменяет знак у мнимой части комплескного числа $z = x + y i$ :

$\bar z\colon(x,\;y)\to(x,\;-y).$ (Д2.56)

Рассмотрим основные свойства комплексного сопряжения:

Комплексное сопряжённое от комплексно сопряжённого числа $z$ равно самому комплексному числу $z$ :

$\bar\bar z=z.$ (Д2.57)

Это следует из определения операции.

Сопряжённое к действительному числу $x$ равно самому числу $x$ . В частности, $\bar 0=0$ . Это следует из определения действительного числа в рамках модели комплексных чисел и определения комплексного сопряжения.
Комплексное сопряжение алгебраической суммы равно алгебраической сумме комплексно сопряжённых: