Задачник/Новые задачи
Материал из Викиучебника
На эту страницу добавляются новые задачи. Ежедневно запускется специальный бот, который переносит задачи с этой страницы в базу данных.
Содержание |
[править] Задача
[править] Условие
Имеются три стержня, на один из них надета пирамидка из нескольких колец различного диаметра (меньшее кольцо лежит на большем), два других — пустые. Разрешается перекладывать кольца с одного стержня на другой по одному, так, чтобы большее кольцо никогда не лежало на меньшем. Докажите, что можно переместить всю пирамидку с исходного стержня на один из пустых, если в пирамидке n колец.
[править] Решение
Пока нет решения
[править] Дополнительные данные
- Название: Ханойские башни
- Класс: 6
- Сложность: 4
- Темы: Математическая индукция, рекурсия
- Номер на problems.ru: не помню
- Автор: Эдуард Люка
- Первоначально опубликовано: 1883 год.
[править] Комментарии
Можно давать эту задачу для конкретных небольших n (2, 3, 4, 5) и только потом в общем виде. Хорошая задача для введения в метод мат. индукции.
[править] Задача
[править] Условие
Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство: 
[править] Решение
[править] Через бином Ньютона
,
поскольку 
(один элемент из n можно выбрать n способами).
[править] С помощью математической индукции
1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.
2. Индукционный переход. 
[править] Комментарии
Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.
[править] Дополнительные данные
- Сложность: 4
- Класс: 7
- Предмет: математика
- Темы: математическая индукция, бином Ньютона
[править] Задача
[править] Условие
Докажите, что квадрат любого натурального числа при делении на 4 дает в остатке 0 или 1.
[править] Решение
Если число четно, оно имеет вид 2n, а его квадрат — 4n² и в остатке, очевидно, будет 0. В противном случае, число имеет вид 2n + 1. Возводя в квадрат, получаем 4n2 + 4n + 1 = 4(n2 + n) + 1, что и требовалось доказать.
[править] Дополнительные данные
- Сложность: 2
- Класс: 7
- Предмет: математика
