Задачник/Задача тест

Доказать, что при любом натуральном n и положительном a справедливо неравенство: $(1+a)^n \ge 1+na$

Через бином Ньютона

$(1+a)^n = 1+na+\ldots$ ,

поскольку $C_n^1=n$ (один элемент из n можно выбрать n способами).

1. База индукции. При n=1 утверждение очевидно верно.

2. Индукционный переход. $(1+a)^n=(1+a)^{n-1}\cdot(1+a)\ge (1+(n-1)\cdot a)\cdot(1+a)=1+(n-1)\cdot a+a+(n-1)\cdot a^2\ge1+na$

Комментарии

Хорошая простая «вычислительная» задача на мат. индукцию.