Иррациональные уравнения

Исходный текст статьи опубликован в журнале «Потенциал» №1,2005. Автор статьи - Колесникова Софья Ильинична.

Введение

ВСЕМ НАСРАТЬ!!!

НЕНАВИЖУ АЛГЕБРУ!!!!!!!!! НАСТЯ ГРИБ, Я ЛЮБЛЮ ТЕБЯ <33

НАША ПЕСЕНКА:

КАК УСЛЫШИШЬ ГРОХОТ ШКОЛЫ ГЛАВНОЕ НЕ СПИ ОБНИМИ ПОКРЕПЧЕ БРАТА И ВСЛУХ ПРОИЗНЕСИ: "НАХУЙ ШКОЛУ БЛЯТЬ ФИЗРУК СОСНИ ХУЙЦА" ВЕДЬ ЭТО ВСЕГО НАВСЕГО РУШИТСЯ ОНА.

Уравнения вида ${\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}.$

Пусть задано уравнение ${\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}.$

Запишем ОДЗ: $\left\{{\begin{matrix}f\left(x\right)\geq 0\\g\left(x\right)\geq 0\\\end{matrix}}\right.,$

но решать неравенства (за редким исключением) не надо.

В ОДЗ обе части неотрицательны, и возведение в квадрат дает равносильное уравнение. Поэтому

${\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}\Leftrightarrow f\left(x\right)=g\left(x\right)\quad (2)$

для всех x из ОДЗ.

Теперь видно, что для всех решений $f(x)$ и $g(x)$ имеют одинаковые знаки, поэтому при таком способе решения нет необходимости проверять неотрицательность обеих функций - достаточно проверить неотрицательность одной из них: выбирают ту, для которой неравенство проще проверить.

Можно записать полное условие равносильности, которое включает в себя ОДЗ уравнения:

${\sqrt {f\left(x\right)}}={\sqrt {g\left(x\right)}}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\f\left(x\right)\geq 0\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}f\left(x\right)=g\left(x\right)\\g\left(x\right)\geq 0\end{matrix}}\right.\quad (3)$

Выбирают ту систему, в которой неравенство проще проверить (решать его не надо!).

Пример 8.

Решите уравнение ${\sqrt {x^{2}+x+1}}={\sqrt {x^{4}-4x^{2}+x+7}}.$

Видно, что подкоренное выражение в левой части намного проще, чем в правой, поэтому запишем так полное условие равносильности:

${\sqrt {x^{2}+x+1}}={\sqrt {x^{4}-4x^{2}+x+7}}\Leftrightarrow$

$\left\{{\begin{matrix}x^{2}+x+1>0\Leftrightarrow x\in R\\x^{2}+x+1=x^{4}-4x^{2}+x+7\Leftrightarrow x^{4}-5x^{2}+6=0\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow$

$\left[{\begin{matrix}x^{2}=3\\x^{2}=2\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \left[{\begin{matrix}x=\pm {\sqrt {3}}\\x=\pm {\sqrt {2}}.\\\end{matrix}}\right.$

Ответ: $\pm {\sqrt {2}},\pm {\sqrt {3}}.$

Пример 9. (МФТИ,1984)

Решите уравнение ${\sqrt {6\sin x\cos 2x}}={\sqrt {-7\sin 2x}}.$

Воспользуемся полным условием равносильности (3):

${\sqrt {6\sin x\cos 2x}}={\sqrt {-7\sin 2x}}$

$\Leftrightarrow \left\{{\begin{matrix}\sin 2x\leq 0,\\6\sin x\cos 2x=-7\sin 2x.\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow$

$\left\{{\begin{matrix}\sin 2x\leq 0,\\\sin x\left({6\cos ^{2}x+7\cos x-3}\right)=0.\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow$

$\left[{\begin{matrix}\sin x=0;\\\left\{{\begin{matrix}2\sin x\cos x\leq 0,\\\cos x={\frac {1}{3}}.\\\end{matrix}}\right.\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow$

$\left[{\begin{matrix}x=\pi n,\\\left\{{\begin{matrix}\sin x\leq 0,\\\cos x={\frac {1}{3}}.\\\end{matrix}}\right.\Leftrightarrow \\\end{matrix}}\right.$

$\Leftrightarrow x=-\arccos {\frac {1}{3}}+2\pi n.$

Ответ: $\pi n,$ $-\arccos {\frac {1}{3}}+2\pi n,n\in {\rm {Z}}.$

Применение графического исследования к решению задач ЕГЭ уровня А.

Уметь строить эскизы левой и правой частей уравнения ${\sqrt {ax+b}}=cx+d$ очень полезно. Графическая интерпретация решения такого уравнения помогает быстро решить некоторые задачи ЕГЭ.

Пример 10.

Какое утверждение 1) уравнение имеет два корня одного знака (оба корня или положительны, или оба корня отрицательны); 2) уравнение имеет только один корень, и он отрицателен; 3) уравнение имеет два корня разных знаков; 4) уравнение имеет только один корень, и он положителен верно по отношению к корням уравнения

1. а)${\sqrt {x+4}}=3\left({x+1}\right)$;
2. б)${\sqrt {7-x}}=x+1$;
3. в)$3{\sqrt {10-x}}=12-x$;
4. г)$5{\sqrt {7-x}}=13-x$ ?

Для ответа на поставленный вопрос не обязательно решать уравнение. Часто достаточно аккуратно начертить эскизы левой и правой частей.

а) ${\sqrt {x+4}}=3\left({x+1}\right).$

Рис.3

На чертеже надо отметить точки пересечений полупараболы и прямой с осями координат. Из рисунка ясно, что пересечение происходит на отрицательной полуоси - это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее полупараболы, а ось Oy выше полупараболы.

Ответ: 2).

б) ${\sqrt {7-x}}=x+1.$

Рис.4

Из рисунка (рис. 4) ясно, что пересечение происходит на положительной полуоси. Это обеспечивается тем, что прямая пересекает отрицательную полуось Ox, а ось Oy прямая пересекает ниже полупараболы.

Ответ: 4).

в)$3{\sqrt {10-x}}=12-x.$

Рис.5

Это более трудный пример, т. к. не ясно, прямая пересекается с полупараболой (а тогда дважды), касается или вовсе не имеет общих точек с полупараболой. Надо что-то сделать дополнительно, например , подставить такие значения х, при которых корни извлекаются нацело, или поискать точку (x = 5), в которой ясно, что расположено выше — прямая или полупарабола.

Ответ: 1).

г)$5{\sqrt {7-x}}=13-x?$

Рис.6

Из рисунка ясно, что корней два, и они разных знаков. Это обеспечивается тем, что прямая пересекает ось Ox правее, а ось Oy ниже полупараболы.

Ответ: 3).