Участник:Arbnos/Основы алгебры/Уравнения, содержащие модуль: различия между версиями
Arbnos (обсуждение | вклад) →Пример О.7: дополнение |
Arbnos (обсуждение | вклад) →Свойства: уточнение |
||
Строка 9: | Строка 9: | ||
Геометрически ('''[[#РисунокД1.3|рисунок Д1.3]]''') модуль числа <math>|x_1-x_2|</math> равен расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, <math>|x|</math> — это расстояние от точки [[w:Вещественное число|вещественной прямой]] с координатами <math>x</math> до начала координат <math>O</math>. |
Геометрически ('''[[#РисунокД1.3|рисунок Д1.3]]''') модуль числа <math>|x_1-x_2|</math> равен расстоянию между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, <math>|x|</math> — это расстояние от точки [[w:Вещественное число|вещественной прямой]] с координатами <math>x</math> до начала координат <math>O</math>. |
||
=== Свойства === |
=== Свойства модуля === |
||
* {{Формула|<math>|x|=|-x|</math>}}<ref name="Воднев">{{книга|автор = Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.|часть = |заглавие = Математический словарь высшей школы|ответственный = Под ред. Ю. С. Богданова|издание = 1-е|место = Минск|издательство = Вышэйшая школа|год = 1984|страницы = 9|страниц =529|тираж = 41000}}</ref> |
* {{Формула|<math>|x|=|-x|</math>}}<ref name="Воднев">{{книга|автор = Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф.|часть = |заглавие = Математический словарь высшей школы|ответственный = Под ред. Ю. С. Богданова|издание = 1-е|место = Минск|издательство = Вышэйшая школа|год = 1984|страницы = 9|страниц =529|тираж = 41000}}</ref> |
||
* {{Формула|<math>|x^2|=|x|^2=x^2.</math>}}<ref name="Воднев" /> |
* {{Формула|<math>|x^2|=|x|^2=x^2.</math>}}<ref name="Воднев" /> |
Версия от 17:12, 5 августа 2018
Чаще всего решаются раскрытием модуля по его определению.
Абсолютной величиной, или модулем называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что
- (Д1.52)
Альтернативное определение:
- (Д1.53)
Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа равен расстоянию между точками и , а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами до начала координат .
Свойства модуля
- , причём , тогда и только тогда, когда .(Д1.54)
- (Д1.55)
- (Д1.56)
- Если существует , то
- (Д1.57)
- (Д1.58)
- (Д1.59)
- — неравенство треугольника.(Д1.60)
- Имеет место и более общее свойство:
- или (Д1.61)
- — обратное неравенство треугольника.(Д1.62)
Уравнения, сводящиеся к линейным
Уравнения, содержащие один модуль или любое число равных подмодульных выражений
.
2 пути решения:
1) Здесь мы делаем замену .
Получим .
Получим:
- Ответ
- , если или решений нет иначе.
2)
По определению модуля:
- Ответ
- , если или решений нет иначе.
Пример О.1
.
2 путя решения:
1) Здесь мы делаем замену .
Получим .
Получим:
- Ответ
2) Отправляем 3 в правую сторону уравнения, для того, чтобы можно было возвести в квадрат обе части уравнения.
Получим .
Уравнение при таком пути решения сводится к квадратному.
- Ответ
- При ограничении линейными уранениями, решений нет.
Пример О.2
Согласно опрелению модуля : и одновременно
Поэтому нужно разобрать по определению каждый модуль уравнения: 1)Разбор первого модуля
а)Ограничение . Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.
Согласно опрелению модуля : и одновременно
Поэтому нужно разобрать по определению модуль уравнения:
I)Ограничение . Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.
x < 0, в пункте решений нет.
II)Ограничение x < 0 Это означает, что, если , то в пункте а решений нет.
, в пункте решений нет.
Получим . Возведём в квадрат
Вычислим дискриминант:
Уравнения, содержащие одинаковое подмодульное выражение с неизвестным в знаменателе
Решение ниже для уравнений, представимых в форме .
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ b, то есть x ≠ .
Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
Получим .
Домножаем обе части уравнения на , так как уже зафиксировано ограничение.
Получим .
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
Ограничение срабатывает.
- - ограничение на a.
Получим .
- Ответ
- , если и x ≠ или решений нет иначе.
Пример О.6
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠ .
Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
Получим .
Домножаем обе части уравнения на , так как уже зафиксировано ограничение.
Получим .
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
Ограничение срабатывает.
- Ответ
- Решений нет
Пример О.7
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠ .
Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
Получим .
Домножаем обе части уравнения на , так как уже зафиксировано ограничение.
Получим .
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
Ограничение не срабатывает, решение продолжается.
Так как , получим
Срабатывает ограничение |x| ≠ 4
- Ответ
- Решений нет
Уравнения, сводящиеся к квадратным
Пример О.1
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
Получим .
По формулам Виета, получим:
- Ответ
Пример О.2
. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:
Замена:
- Ответ
- Решений нет
Пример О.3
. Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
, а также
, а также
По определению модуля:
- Ответ
- , а также
Комментарий — это уравнение 4 степени с 3 разными корнями.
Пример О.4
. Ставится ограничение x≠0. Избавляеся от знаменателей.
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
, а также
, а также
По определению модуля и сработавшему ограничению:
- Ответ
Комментарий — это уравнение 4 степени с 2 разными корнями.