Метод дополнительных построений

Одним из эффективных способов решения геометрических задач является метод дополнительных построений. Часто встречаются задачи, при решении которых простой анализ свойств не приводит к решению. Тогда вводятся «дополнительные элементы», а для этого, как правило, выполняются «дополнительные построения», которые позволяют свести задачу к задачам, решения которых хорошо известны или относительно легко могут быть получены.^[1]

Суть метода: чертёж к задаче, на котором трудно заметить связи между данными и искомыми величинами, дополняется новыми (вспомогательными) элементами, после чего эти связи становятся более ощутимыми или даже очевидными.

Таким образом, устанавливается связь между известными и неизвестными элементами геометрической фигуры.

Дополнительные построение составляет основу поиска решения задачи.

Метод дополнительных построений при решении геометрических задач является непростым, так как требуется большой опыт, изобретательность, геометрическая интуиция, чтобы догадаться, какие дополнительные построения провести. Вместе с тем существуют достаточно типичные дополнительные построения, к выполнению которых обучающихся можно подготовить.^[1]

И. Ф. Шарыгин выделил три основных приёма дополнительных построения:

удвоение медианы
проведение прямой, параллельной данной
соединение точек — это либо вершины треугольника, либо построение отрезков в самом треугольнике (медиана, высота, биссектриса, средняя линия, отрезок, делящий сторону в некотором отношении)

Компоненты метода:

Построение вспомогательной окружности. Использование вспомогательной окружности связано с характерными признаками фигуры, рассматриваемой в задаче. Как правило, это условия, при которых многоугольник (в частности, четырёхугольник^[2]) является вписанным или описанным — условия существования окружности.
Проведение параллельной прямой либо параллельных прямых.
Продолжение отрезка (луча либо прямой) на определённое расстояние
Соединение точек отрезком (лучом либо прямой)

Пример

Некоторые теоремы школьного курса геометрии можно доказать разными приёмами дополнительных построений. Приведём способы доказательства свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе (в прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы). Данное свойство можно использовать при обучении дополнительным построениям, показывая на примере различные способы дополнительных построений.

Задача 1. Свойство медианы прямоугольного треугольника.

Формулировка задачи

Доказать, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы

Структура задачи

Условие

$\triangle ABC$ — прямоугольный ( $\angle C=90^{\circ }$ );
$CM$ — медиана.

Требование

Доказать: $CM={\dfrac {1}{2}}AB$ .

Данные

План решения

Решение

Вспомогательная окружность

щ

Примечания

↑ ^а ^б Фирстова Н. И. Дополнительные построения в курсе планиметрии // Научно-методический сборник «Архимед». — 2021. — В. 17. — С. 55―68.
↑ Далее будем рассматривать только четырёхугольники.

[:0-1] а ^б Фирстова Н. И. Дополнительные построения в курсе планиметрии // Научно-методический сборник «Архимед». — 2021. — В. 17. — С. 55―68.

[2] Далее будем рассматривать только четырёхугольники.

[1]

[2]

Способ 1. Проведение прямой, параллельной медиане треугольника.
Доказательство
1	Проведём $AK\parallel CM$ , где $\left(\cdot \right)K={AK}\cap {\left(BC\right)}$ — условия 1 и 2, дополнительное построение.
2	$\left[BC\right]=\left[CK\right]$ — пункт 1, условие 2, теорема Фалеса, определение медианы треугольника.
3	Отрезок $AC$ есть высота и медиана $\triangle ABK$ — пункт 2, условие 1, определение прямоугольного треугольника, определение высоты треугольника, определение медианы треугольника.
4	$\triangle ABK$ является равнобедренным с основанием $BK$ — пункт 3, признак равнобедренного треугольника.
5	$\triangle ABK$ : $AK=BK$ — пункт 4, определение равнобедренного треугольника.
6	Отрезок $CM$ есть средняя линия $\triangle ABK$ — пункт 2, условие 2, определение средней линии треугольника.
7	$CM={\dfrac {1}{2}}AK$ . Обоснование
8	$CM={\dfrac {1}{2}}AB$ . Обоснование
Задача решена.