Чаще всего решаются раскрытием модуля по его определению.
Рисунок Д1.2. График функции
y
=
|
x
|
{\displaystyle \scriptstyle {y=|x|}}
.
Абсолютной величиной , или модулем
|
x
|
{\displaystyle |x|}
называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2 ) такая, что
|
x
|
=
{
x
,
x
⩾
0
;
−
x
,
x
<
0.
{\displaystyle |x|={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}}
(Д1.52)
Альтернативное определение:
|
x
|
=
max
{
x
,
−
x
}
.
{\displaystyle |x|=\max\{x,\;-x\}.}
(Д1.53)
Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.
Геометрически (рисунок Д1.3 ) модуль числа
|
x
1
−
x
2
|
{\displaystyle |x_{1}-x_{2}|}
равен расстоянию между точками
x
1
{\displaystyle x_{1}}
и
x
2
{\displaystyle x_{2}}
, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности,
|
x
|
{\displaystyle |x|}
— это расстояние от точки вещественной прямой с координатами
x
{\displaystyle x}
до начала координат
O
{\displaystyle O}
.
Свойства модуля [ править ]
|
x
|
=
|
−
x
|
{\displaystyle |x|=|-x|}
[1]
|
x
2
|
=
|
x
|
2
=
x
2
.
{\displaystyle |x^{2}|=|x|^{2}=x^{2}.}
[1]
|
x
|
⩾
0
{\displaystyle |x|\geqslant 0}
, причём
|
x
|
=
0
{\displaystyle |x|=0}
, тогда и только тогда, когда
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.(Д1.54)
|
x
⋅
y
|
=
|
x
|
⋅
|
y
|
.
{\displaystyle |x\cdot y|=|x|\cdot |y|.}
(Д1.55)
|
x
y
|
=
|
x
|
|
y
|
,
y
≠
0.
{\displaystyle \left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},\quad y\neq 0.}
(Д1.56)
Если существует
x
α
{\displaystyle x^{\alpha }}
, то
|
x
α
|
=
|
x
|
α
.
{\displaystyle |x^{\alpha }|=|x|^{\alpha }.}
(Д1.57)
x
2
k
2
k
=
|
x
|
.
{\displaystyle {\sqrt[{2k}]{x^{2k}}}=|x|.}
(Д1.58)
−
x
2
k
+
1
=
−
|
x
|
2
k
+
1
.
{\displaystyle {\sqrt[{2k+1}]{-x}}=-{\sqrt[{2k+1}]{|x|}}.}
(Д1.59)
|
x
+
y
|
⩽
|
x
|
+
|
y
|
{\displaystyle |x+y|\leqslant |x|+|y|}
— неравенство треугольника .(Д1.60)
Имеет место и более общее свойство:
|
x
+
y
+
…
+
z
|
⩽
|
x
|
+
|
y
|
+
…
+
|
z
|
{\displaystyle |x+y+\ldots +z|\leqslant |x|+|y|+\ldots +|z|}
или
|
∑
i
=
1
m
x
i
|
⩽
∑
i
=
1
m
|
x
i
|
.
{\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{m}x_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{m}|x_{i}|.}
(Д1.61)
|
|
x
|
−
|
y
|
|
⩽
|
x
−
y
|
{\displaystyle ||x|-|y||\leqslant |x-y|}
— обратное неравенство треугольника.(Д1.62)
Уравнения, содержащие модуль, сводящиеся к линейным [ править ]
Уравнения, содержащие модуль, содержащие один модуль или любое число равных подмодульных выражений [ править ]
a
|
x
|
+
b
=
0
{\displaystyle a|x|+b=0}
.
2 пути решения:
1) Здесь мы делаем замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
a
t
+
b
=
0
{\displaystyle at+b=0}
.
Получим:
t
=
−
b
:
(
a
)
→
|
x
|
=
−
b
:
(
a
)
→
x
=
±
−
b
:
(
a
)
{\displaystyle t=-b:(a)\to |x|=-b:(a)\to x=\pm -b:(a)}
Ответ
x
=
±
−
b
:
(
a
)
{\displaystyle x=\pm -b:(a)}
, если
−
b
:
(
a
)
⩾
0
{\displaystyle -b:(a)\geqslant 0}
или решений нет иначе.
2)
a
|
x
|
+
b
=
0
{\displaystyle a|x|+b=0}
a
|
x
|
=
−
b
{\displaystyle a|x|=-b}
|
x
|
=
−
b
:
(
a
)
{\displaystyle |x|=-b:(a)}
По определению модуля:
Ответ
x
=
±
−
b
:
(
a
)
{\displaystyle x=\pm -b:(a)}
, если
−
b
:
(
a
)
⩾
0
{\displaystyle -b:(a)\geqslant 0}
или решений нет иначе.
2
|
x
|
−
3
=
0
{\displaystyle 2|x|-3=0}
.
2 путя решения:
1) Здесь мы делаем замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
2
t
−
3
=
0
{\displaystyle 2t-3=0}
.
Получим:
t
=
1.5
→
|
x
|
=
1.5
→
x
=
±
1.5
{\displaystyle t=1.5\to |x|=1.5\to x=\pm 1.5}
Ответ
x
=
±
1.5
{\displaystyle x=\pm 1.5}
2) Отправляем 3 в правую сторону уравнения, для того, чтобы можно было возвести в квадрат обе части уравнения.
Получим
2
|
x
|
=
3
{\displaystyle 2|x|=3}
.
4
x
2
=
9
{\displaystyle 4x^{2}=9}
Уравнение при таком пути решения сводится к квадратному.
Ответ
При ограничении линейными уранениями, решений нет.
2
|
x
|
−
3
|
x
+
1
|
=
0
{\displaystyle 2|x|-3|x+1|=0}
Есть два пути решения:
I) Согласно опрелению модуля :
|
x
|
=
x
,
x
⩾
0
{\displaystyle \ |x|=x,x\geqslant 0}
и одновременно
|
x
|
=
−
x
,
x
<
0
{\displaystyle \ |x|=-x,x<0}
Поэтому нужно разобрать по определению каждый модуль уравнения:
1)Разбор первого модуля
а)Ограничение
x
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant 0}
. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.
2
x
−
3
|
x
+
1
|
=
0
{\displaystyle 2x-3|x+1|=0}
Согласно опрелению модуля :
|
x
|
=
x
,
x
⩾
0
{\displaystyle \ |x|=x,x\geqslant 0}
и одновременно
|
x
|
=
−
x
,
x
<
0
{\displaystyle \ |x|=-x,x<0}
Поэтому нужно разобрать по определению модуль уравнения:
I)Ограничение
x
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant 0}
. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.
2
x
−
3
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2x-3x-1=0}
−
x
−
1
=
0
{\displaystyle -x-1=0}
−
x
=
1
{\displaystyle -x=1}
x
=
−
1
{\displaystyle x=-1}
x < 0, в пункте решений нет.
II)Ограничение x < 0 Это означает, что, если
x
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant 0}
, то в пункте а решений нет.
2
x
+
3
x
−
1
=
0
{\displaystyle 2x+3x-1=0}
5
x
=
1
{\displaystyle 5x=1}
x
=
0.2
{\displaystyle x=0.2}
x
⩾
0
{\displaystyle x\geqslant 0}
, в пункте решений нет.
II) Получим
2
|
x
|
=
3
|
x
+
1
|
{\displaystyle 2|x|=3|x+1|}
. Возведём в квадрат
4
x
2
=
9
(
x
2
+
2
x
+
1
)
{\displaystyle 4x^{2}=9(x^{2}+2x+1)}
4
x
2
=
9
x
2
+
18
x
+
9
{\displaystyle 4x^{2}=9x^{2}+18x+9}
5
x
2
+
18
x
+
9
=
0
{\displaystyle 5x^{2}+18x+9=0}
Вычислим дискриминант:
D
=
18
2
−
4
⋅
5
⋅
9
=
324
−
180
=
144
{\displaystyle D=18^{2}-4\cdot 5\cdot 9=324-180=144}
x
1
,
2
=
(
−
18
)
±
D
2
⋅
5
=
(
−
18
)
±
12
10
=
−
3
;
−
0.6
{\displaystyle x_{1,2}={\frac {(-18)\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 5}}={\frac {(-18)\pm 12}{10}}=-3;-0.6}
Уравнения, содержащие модуль, содержащие одинаковое подмодульное выражение с неизвестным в знаменателе [ править ]
Решение ниже для уравнений, представимых в форме
a
+
|
x
|
|
x
|
−
b
=
0
{\displaystyle {\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0}
.
a
+
|
x
|
|
x
|
−
b
=
0
{\displaystyle {\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0}
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ b, то есть x ≠
±
b
{\displaystyle \pm b}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
a
+
t
t
−
b
=
0
{\displaystyle {\frac {a+t}{t-b}}=0}
.
Домножаем обе части уравнения на
t
−
b
{\displaystyle t-b}
, так как уже зафиксировано ограничение.
Получим
a
+
t
=
0
{\displaystyle a+t=0}
.
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
t
=
−
a
{\displaystyle t=-a}
Ограничение
t
⩾
0
{\displaystyle t\geqslant 0}
срабатывает.
−
a
⩾
0
{\displaystyle -a\geqslant 0}
- ограничение на a.
Получим
|
x
|
=
−
a
→
x
=
±
−
a
{\displaystyle |x|=-a\to x=\pm -a}
.
Ответ
x
=
±
−
a
{\displaystyle x=\pm -a}
, если
−
a
⩾
0
{\displaystyle -a\geqslant 0}
и x ≠
±
b
{\displaystyle \pm b}
или решений нет иначе.
3
+
|
x
|
|
x
|
−
4
=
0
{\displaystyle {\frac {3+|x|}{|x|-4}}=0}
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠
±
4
{\displaystyle \pm 4}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
3
+
t
t
−
4
=
0
{\displaystyle {\frac {3+t}{t-4}}=0}
.
Домножаем обе части уравнения на
t
−
4
{\displaystyle t-4}
, так как уже зафиксировано ограничение.
Получим
3
+
t
=
0
{\displaystyle 3+t=0}
.
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
t
=
−
3
{\displaystyle t=-3}
Ограничение
t
⩾
0
{\displaystyle t\geqslant 0}
срабатывает.
Ответ
Решений нет
|
x
|
−
4
|
x
|
−
4
=
0
{\displaystyle {\frac {|x|-4}{|x|-4}}=0}
. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠
±
4
{\displaystyle \pm 4}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
t
−
4
t
−
4
=
0
{\displaystyle {\frac {t-4}{t-4}}=0}
.
Домножаем обе части уравнения на
t
−
4
{\displaystyle t-4}
, так как уже зафиксировано ограничение.
Получим
t
−
4
=
0
{\displaystyle t-4=0}
.
После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:
t
=
4
{\displaystyle t=4}
Ограничение
t
⩾
0
{\displaystyle t\geqslant 0}
не срабатывает, решение продолжается.
Так как
|
x
|
=
t
{\displaystyle |x|=t}
, получим
|
x
|
=
4
{\displaystyle |x|=4}
Срабатывает ограничение |x| ≠ 4
Ответ
Решений нет
Уравнения, содержащие модуль, сводящиеся к квадратным [ править ]
x
2
+
2
|
x
|
−
3
=
0
{\displaystyle x^{2}+2|x|-3=0}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
Получим
t
2
+
2
t
−
3
=
0
{\displaystyle t^{2}+2t-3=0}
.
По формулам Виета , получим:
t
1
=
1
→
|
x
|
=
1
→
x
=
±
1
{\displaystyle t_{1}=1\to |x|=1\to x=\pm 1}
t
2
=
−
3
→
|
x
|
=
−
3
→
x
∈
∅
{\displaystyle t_{2}=-3\to |x|=-3\to x\in \varnothing }
Ответ
±
1
{\displaystyle \pm 1}
x
2
+
4
x
+
|
x
+
2
|
+
5
=
0
{\displaystyle x^{2}+4x+|x+2|+5=0}
. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:
x
2
+
4
x
+
4
+
|
x
+
2
|
−
4
+
5
=
0
{\displaystyle x^{2}+4x+4+|x+2|-4+5=0}
(
x
+
2
)
2
+
|
x
+
2
|
+
1
{\displaystyle (x+2)^{2}+|x+2|+1}
Замена:
|
x
+
2
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x+2|=t,t\geqslant 0}
t
2
+
t
+
1
=
0
{\displaystyle t^{2}+t+1=0}
D
<
0
→
x
∈
∅
{\displaystyle D<0\to x\in \varnothing }
Ответ
Решений нет
|
x
|
=
x
2
{\displaystyle |x|=x^{2}}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
t
=
t
2
{\displaystyle t=t^{2}}
t
−
t
2
=
0
{\displaystyle t-t^{2}=0}
t
(
1
−
t
)
=
0
{\displaystyle t(1-t)=0}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
, а также
t
=
1
{\displaystyle t=1}
|
x
|
=
0
{\displaystyle |x|=0}
, а также
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
По определению модуля:
Ответ
x
=
0
{\displaystyle x=0}
, а также
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
Комментарий — это уравнение 4 степени с 3 разными корнями.
(
|
x
|
)
:
x
=
(
x
2
)
:
x
{\displaystyle (|x|):x=(x^{2}):x}
.
Ставится ограничение x≠0. Избавляеся от знаменателей.
|
x
|
=
x
2
{\displaystyle |x|=x^{2}}
.
Здесь мы можем воспользоваться тем, что
|
x
|
2
=
x
2
{\displaystyle |x|^{2}=x^{2}}
, и сделать замену
|
x
|
=
t
,
t
⩾
0
{\displaystyle |x|=t,t\geqslant 0}
.
t
=
t
2
{\displaystyle t=t^{2}}
t
−
t
2
=
0
{\displaystyle t-t^{2}=0}
t
(
1
−
t
)
=
0
{\displaystyle t(1-t)=0}
t
=
0
{\displaystyle t=0}
, а также
t
=
1
{\displaystyle t=1}
|
x
|
=
0
{\displaystyle |x|=0}
, а также
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
У нас было установлено ограничение x≠0 и оно срабатывает:
|
x
|
=
1
{\displaystyle |x|=1}
По определению модуля и сработавшему ограничению:
Ответ
x
=
±
1
{\displaystyle x=\pm 1}
Комментарий — это уравнение 4 степени с 2 разными корнями.
↑ а б Воднев В. Т., Наумович А. Ф., Наумович Н. Ф. Математический словарь высшей школы / Под ред. Ю. С. Богданова. — 1-е. — Минск: Вышэйшая школа, 1984. — С. 9. — 529 с. — 41000 экз.