Тождества Мак-Вильямс

Весовой энумератор — многочлен, содержащий информацию о спектре линейного кода.

Пусть $C$ — линейный $[n,k,d]$-код ($k$-мерное подпространство в $n$-мерном пространстве над конечным полем $F_{q}$ c кодовым расстоянием $d$) и $A_{r}$ — число кодовых слов веса $r$ в нём.

Тогда энумератор — это однородный многочлен $W_{C}(x;y)=\sum _{r=0}^{n}A_{r}x^{n-r}y^{r}$

Классические тождества Мак-Вильямс показывают связь весового энумератора линейного кода и двойственного к нему.

Существуют многочисленные обобщения данных тождеств.

Литература

• Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. А. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Радио и связь, 1979.