Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение

Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Под этим термином понимается множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:

• ввести относительно простую систему записи музыки;
• строить музыкальные инструменты с конечным набором звуков (например, фортепиано);
• совмещать различные инструменты в ансамбле, сохраняя их гармоничное звучание;
• многое другое.

Выберем точку отсчета, от которой с помощью интервалов будут выстраиваться остальные звуки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор её несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.

Сначала построим звукоряд внутри одной октавы (т.е. найдём звуки с простыми интервалами, между 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.

Пифагорейский музыкальный ряд

Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета (f₀). Второй звук – это квинта (f₁ = 1,5f₀). Для получения третьего звука отложим квинту от второго звука нашего ряда: 1,5f₀ * 1,5 = 2,25f₀. Но интервал получился за пределами октавы (сложный), поэтому поделим его на два (октавный интервал), чем найдем идентичный звук внутри нашей октавы (=1,125f₀). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда.

Повторяем процесс: откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву:

$f_{n}={1,5^{n} \over 2^{m}}f_{0}$

где: $f_{0}$ – исходный (произвольный) звук ряда; $f_{n}$ – n-ный звук ряда; n – порядковый номер интервала; m – натуральное эмпирическое число.

Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.

Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.

Приложения.

Натуральный (чистый) звукоряд

Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:

2^o*3^q*5^t      (1)

Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).

Приложение: таблица для чистого звукоряда.

Темперированный музыкальный ряд

Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это:

12 квинт : 7 октав = 1,5¹² : 2⁷ = 129,7463379 : 128

Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой.

Распределим эту погрешность на все двенадцать интервалов квинты. Для этого найдём такое значение квинты q, двенадцать интервалов которой укладывалось бы ровно в 7 октав:

$q^{12}=128\qquad q={\sqrt[{12}]{128}}=1,498307$

Найденое значение квинты называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.

Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется темперированным музыкальным рядом.

n-ая ступень этого ряда удалена от начала на:

$q^{n}=({\sqrt[{12}]{2^{7}}})^{n}=({\sqrt[{12}]{2}})^{7n}$      (2)

Выражение в скобках показывает интервал между квинтовыми ступенями при перенесении их в одну октаву (2), называется интервальным коэффициентом полутона и имеет абсолютную величину 1,059463. Двойное его значение получило название тона и равно:

$({\sqrt[{12}]{2}})^{2}=1,122462$

Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и, сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз, мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.

Пронаблюдаем ещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:

{0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5}      (3)

Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.

Приложение: Темперированный звукоряд

к содержанию