Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
format
(format)
(format)
==Приложение==
Натуральный (чистый) звукоряд. Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:
<center>2o*3q*5t&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)</center>
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
 
 
Выясним теперь вопрос: на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. ''n''-я ступень получается при откладывание тепмерированной квинты ''n'' раз:
<center>qn = (27/12)n = (21/12)7*n &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)</center>
Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе '''полутоном''', а интервал (21/12)2 = 1,122462 – '''тоном'''. Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
 
Пронаблюдаем еще, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:
Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
{0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5} (3)
 
Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.
Пронаблюдаем ещеещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению ''n'', получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:
<center>{0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5} &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(3)</center>
Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше ''n''. Т.е. ступени, получающиеся из меньших ''n'' более близки «чистому» ряду.
 
Приложение: [[Теория музыки для математиков: Темперированный звукоряд|Темперированный звукоряд]]
379

правок

Навигация