Инволюция (В. А. Мусинов)

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Перейти к навигации Перейти к поиску

Инволю́ция (от лат. involutio — свёртывание, завиток) — нетождественное преобразование, которое является обратным самому себе, то есть своей собственной инверсией. Это унарная операция.

В более конкретном смысле можно говорить про инволюционную функцию или инволюционное преобразование. Формально, функция называется инволюцией, если для всякого из области определения функции . Итак, определение таково:

Scale 1200 (1).png

Иногда пишут: , где обозначает тождественное преобразование. Вместо используют запись: .

Таким образом, двойное применение функции даёт исходное значение.

Свойства[править]

Любая инволюция — это биекция.

Если преобразование инволютивное, то для любого выражения и его образа имеем . В самом деле, .

Критерий инволюции. Функция является инволюцией тогда и только тогда, когда для всякого выражения существует такое выражение , что и . Другими словами, преобразование является инволюцией в том и только в том случае, когда оно меняет местами какие-либо два выражения.


Если — инволюция, то имеют место следующие соотношения:

  • [основное свойство]
  • [критерий]

Примеры[править]

Теперь можно привести несколько примеров инволюции, причем многие из которых будут до боли простыми. Примеры инволюций:

  • , заданная на множестве целых , рациональных или вещественных чисел . Понятно, что последовательное умножение на , например, в поле вещественных чисел, приводит к изначальному результату:
    Scale 1200 (2).png
  • простейшие инволюции на множестве вещественных чисел :
    , , , , , , ;
  • инволюция при и ;
  • дополнение множества, заданная для подмножеств некоторого универсального множества ;
  • логическое отрицание булевой алгебры: двойное применение этого унарного оператора оставляет высказывание "на месте", а значит является инволюцией для элементов булева множества;
    Scale 1200 (6).png
  • симметрии: центральная, осевая, зеркальная;
  • инверсия;
  • комплексное сопряжение;
  • преобразование Лежандра
  • при факторизации обычного тора (точнее, одномерного комплексного тора, ещё точнее, эллиптической кривой) по инволюции вида получается сфера;
  • Если представить, что — нажатие на клавишу бытового накладного выключателя (т. е. включить либо выключить свет), то будет инволюцией.

Задача. Привести примеры:

  1. аналитической инволюции в ;
  2. инволюции в геометрии;
  3. свой пример инволюции (например, из таких дисциплин, как информатика, техника, риторика и т. п., а также личный опыт).

Воможное решение.

  1. производная функции , где ;
  2. поворот полуокружности на :
    Поворот полуокружности.png
    Очевидно, что такая операция является инволюцией, возвращая точку на окружности в исходное положение.
  3. Предложим сразу два варианта ответа на этот пункт.
    1. Явление в лингвистике: любой палиндром (палиндром — это последовательность символов, которая слева-направо и справа-налево пишется одинаково; напр.: «АБА» или «АББ ББА»). Например, написание таких слов, как «доход», «шалаш» и «топот», чисел и , а также предложение «А роза упала на лапу Азора» Афанасия Фета — инволюции.
    2. Повседневный опыт: выворачивание ткани или одежды обратной стороной (по отношению к лицевой) наизнанку. Пример: выворачивание наизнанку панамы.

Упражнение 1. Выполните предыдущую задачу самостоятельно со своими примерами.

Важнейшие факты[править]

Теорема 1.
Композиция двух инволюций и является инволюцией тогда и только тогда, когда они коммутируют: .

Пример 1. Такая композиция есть инволюция.

Аналогично, если и , , — инволюции, то и — инволюция.

Пример 2. , , .

Теорема 2.
Если — монотонно возрастающая функция, то уравнения и , или , равносильны.

Рассмотрим следующую задачу.

Теорема 3.
Функция вида (где — некоторое биективное отображение) будет инволюцией в том и только в том случае, если функция — инволюция.

Замечание. Ясно, что теорема 3 сохраняет свою силу, если , где — биекция.

Пример 3. В положительных числах такая функция будет как раз инволюцией по доказанной выше теореме:

Scale 1200 (3).png

Интересно будет посмотреть на график этой инволюции, чтобы заметить его симметричность относительно прямой :

Scale 1200 (4).png

В более общем случае инволюцией на плоскости является симметричное отражение относительно прямой.

И это не удивительно! Если функция является инволюцией, то она является обратной самой себе. На нашем примере это можно легко показать, если поменять местами x и y:

Scale 1200 (5).png


Следствие.
Пусть — инволюция на множестве . Тогда если — взаимно-однозначное отображение [биекция] множества на с обратной биекцией , то композиция — инволюция на множестве .

Involution4

Теорема 4.
Пусть — инволюция на множестве . Если — такое отображение из в , что , то и — инволюции на .

Пример 4. Функция .

Упражнение 2. Убедитесь, что представленная функция действительно обладает таким свойством.


Схемой, или строением, функции назовём последовательность функций так, что каждая из них является либо элементарной, либо инволюцией и .

Пример 5. Пусть , , . Тогда схемой функции будет .

Теорема 5.
Композиция является инволюцией тогда и только тогда, когда коммутируют: и .

Упражнение 3. Докажите, что если и , то — инволюция.

Фокус[править]

Упражнение 4. Какова разгадка этого фокуса?

Указание. Возьмите за функцию алгоритм приписывания к числу , то есть . Так как результат совпадает с исходным числом , то над числом — это умножение его на 7, 11 и 13. Осталось найти связь и .

Лирическое отступление[править]

Приведём пример композиции двух инволюций, которая не будет уже инволюцией.

Пример. Функция не является инволюцией; её строение таково: , где и у нас — обе инволюции.

Упражнение 5. Докажите: для верно, что .

Замечание. Функция со схемой также не есть инволюция.

Легко видеть, что — инволюция. Делаем вывод, что композиция инволюции и неинволютивной функции может давать инволюцию в результате. Вопрос: в каком случае это происходит?

Перед тем, как ответить на этот вопрос, сперва-наперво выясним, а каким свойством, в принципе, обладает введённая функция .

Вычислим . У нас получится:

Значит, .

Инволюция в алгебре[править]

Перестановка является инволюцией, если , каждая инволюция является произведением непересекающихся транспозиций, например:

.

Число инволюций в группе перестановок порядка определяется по формулам:

  • (рекуррентная формула),
  • ,

(первые значения : 1, {{w:nums|link=nrl|1|2|4|10|26|76|232|764|2620|9496|35696|140152}}[1]).

Свойства инволюции обеспечивают ей широкое применение в различных приложения, например, инволютивные преобразования над пространством булевых векторов используются в различных схемах построения симметричных криптоалгоритмов, таких как сети Фейстеля и подстановочно-перестановочные сети.

Примечания[править]

  1. Шаблон:OEIS long