Аффинные преобразования
- Исходная версия статьи была написана Ворожцовым А. В. как методическое пособие для Физтех-колледжа, Журнал Потенциал
Определение аффинных преобразований
[править]Давайте поговорим о растяжениях и сжатиях плоских фигур.
Если растянуть вдоль какого-то направления круг, то получится лекальная кривая — эллипс.
Если растянуть квадрат в направлении, параллельном одной паре сторон, то получится прямоугольник. Если же квадрат растянуть или сжать в направлении его диагонали, то получится параллелограмм.
Но что такое растяжение и сжатие? Как их строго определить?
Растяжения и сжатия, о которых мы будем говорить, в определенном смысле, равномерные.
Эта равномерность означает, что все кусочки плоскости будут растягиваться (сжиматься) одинаково.
Кроме того, когда мы растягиваем (сжимаем) квадрат, его стороны — отрезки остаются отрезками.
Такие равномерные растяжения (сжатия) называются аффинными преобразованиями.
Определение 1.
Преобразование плоскости называется аффинным, если оно взаимно однозначно и образом любой прямой является прямая. Преобразование называется взаимно однозначным, если оно разные точки переводит в разные, и в каждую точку переходит какая-то точка.
Напомним, что преобразование — это отображение множества на само себя. Отображение называется взаимооднозначным (биективным), если разные элементы переходят в разные, и в каждый элемент, какой-то элемент переходит.
Частным случаем аффинных преобразований являются просто движения (без какого-либо сжатия или растяжения). Движения — это такие преобразования, которые сохраняют расстояние между любыми двумя точками неизменным, а именно параллельные переносы, повороты, различные симметрии и их комбинации.
Другой важный случай аффинных преобразований — это растяжения и сжатия относительно прямой.
На рисунке 1 показаны различные движения плоскости с нарисованным на ней домиком. А на рисунке 2 показаны различные аффинные преобразования этой плоскости.
Рисунок 1. Примеры движений.
Рисунок 2. Примеры аффинных преобразований.
Обозначим множество движений плоскости как , а множество аффинных преобразований как . Тогда верно следующее утверждение.
Определение 2.
Множество движений есть подмножество множества аффинных преобразований.
Доказательство.
Это кажется очевидным. Давайте поймем, что нам собственно нужно доказать. Для этого нужно ещё раз посмотреть на определения движения и аффинных преобразований. Нужно доказать, что любое движение является аффинным. То есть нужно показать, что при движении разные точки переходят в разные, и образ любой прямой есть прямая.
Это интуитивно ясно — при движении фигуры вообще не меняют своей формы и размеров, а меняют лишь своё положение на плоскости. Также и прямые будут сохранять свою форму — оставаться прямыми. Движение можно представлять как перемещение листка бумаги с рисунком по парте. При движении разные точки остаются разными, поскольку расстояния сохраняются. Если точки были «разделены» некоторым расстоянием, то и после движения они будут «разделены» этим же расстоянием.
Конец доказательства.
Растяжения и сжатия
[править]Определение 3. Растяжением плоскости относительно прямой с коэффициентом называется преобразование плоскости, при котором каждая точка переходит в такую точку , что расстояние от прямой до в раз больше, чем до точки , и проекция точек и на прямую совпадают. Если коэффициент положительный, то точки и лежат по одну сторону от прямой , если отрицательный — то по разные.
Рисунок 3. Сжатия и растяжения относительно прямой.
Давайте докажем, что растяжение (сжатие) относительно прямой является аффинным преобразованием. Во-первых, эти преобразование взаимно однозначно. Чтобы доказать это заметим, что для каждого сжатия есть растяжение, которое все точки возвращает на свои места, и наоборот, для каждого растяжения есть возвращающее всё на свои места сжатие. А сейчас воспользуемся теоремой:
Теорема 1
Если преобразование обратно преобразованию , а преобразование обратно преобразованию , то и взаимно однозначные преобразования.
Определение 4.
Преобразование называется обратным к преобразованию , если преобразование , применённое после преобразования , все точки возвращает на свои места. Если преобразование точку переводит в точку , то обратное преобразование точку переводит в точку .
Утверждение 2.
Растяжение (сжатие) относительно прямой есть аффинное преобразования.
Доказательство.
Нам осталось показать, что сжатие и растяжение прямые переводят в прямые. Пусть растяжение осуществляется относительно прямой . Направим вдоль неё ось . Рассмотрим любую прямую . Возможны два случая.
1) Если она пересекается с , то проведем через точку пересечения ось , перпендикулярную . Тогда уравнение прямой будет иметь вид:
При растяжении относительно прямой (оси ) с коэффициентом точка переходит в точку :
Точка прямой перейдёт в точку с координатами . А значит, координаты новых точек будут удовлетворять уравнению
— это уравнение прямой. Итак образы точек прямой лежат на прямой .
2) Если она не пересекается с .
Задача 13.1[9] Случай, когда не пересекается с , рассмотрите самостоятельно.
Решение.
Если не пересекается с , то все точки удалены от прямой на определенное расстояние . После сжатия или растяжения относительно они станут точками, удалёнными от прямой на расстояние и по прежнему будут лежать по одну сторону от прямой . А значит, они будут лежать на прямой.
Конец решения.
Конец доказательства.
Итак, кроме движений плоскости аффинные преобразования содержат еще сжатия и растяжения относительно прямой. Если мы применим растяжение относительно одной прямой, а потом относительно другой прямой, то снова получим аффинное преобразование, так как и первое, и второе растяжение сохраняло прямые и разные точки переводило в разные. Вообще верно
Утверждение 3
Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование:
Мы здесь использовали значок «» композиции. Выражение следует понимать как преобразование плоскости, которое получается после применения преобразования и последующего применения преобразования . Значок «» следует читать как «принадлежит», то есть «содержатся внутри как элемент».
Рисунок 4. При параллельном проектировании с одной плоскости на другую фигура подвергается растяжению (сжатию) относительно прямой пересечения плоскостей.
Задача 2[10]
Докажите, что при параллельной проекции фигуры с одной плоскости на другую, фигура на второй
1) совпадает с тем, что изображено на первой, если плоскости параллельны;
2) является растяжением (сжатием) того, что изображено на первой плоскости,
относительно прямой пересечения плоскостей, если плоскости пересекаются.
Гомотетия
[править]Есть еще важный класс аффинных преобразований — это сжатия и растяжения относительно точки. Они называются преобразованиями подобия или гомотетиями.
Определение 5.
Гомотетия относительно точки с коэффициентом точку переводит в точку , которая удалена от точки в раз сильнее чем точка и лежит на прямой c той же стороны от точки , что и точка , если . Если , то и лежат по разные стороны от точки . Другими словами,
Задача 3[8]
Что такое гомотетия с коэффициентом
a) ; б) ?
Решение
а) Тождественное преобразование (преобразование, которое ничего не преобразует, а все оставляет на своих местах);
б) поворот на вокруг центра гомотетии.
Конец решения
Как вы узнали из задачи 2(ссылка), растяжение (сжатие) относительно прямой можно реализовать как проекцию фигуры с помощью параллельного пучка лучей с одной плоскости на другую плоскость, не параллельную ей. А гомотетия получается при проекции с помощью центрального пучка лучей с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость (рис.5).
Задача 4[8]
Какое преобразование обратно гомотетии с коэффициентом
а) ; б) ?
Решение
Гомотетия с коэффициентом а) б) и тем же центром.
Конец решения
Рисунок 5. Гомотетия как проекция фигуры с одной плоскости на другую, параллельную ей плоскость с помощью центрального пучка лучей.
Обозначения 1
Обозначим как растяжение относительно прямой с коэффициентом (если , то это сжатие). И, в то же время, будет обозначать гомотетию относительно точки с коэффициентом .
Мы уже выяснили, что
'Задача 5[8]
Докажите, что гомотетия относительно точки тоже аффинное преобразование:
Подсказка Это можно сделать, решив следующую задачу. Кроме того, есть простой путь для тех, кто освоился с декартовой системой координат. Поместите начало системы координат в центр гомотетии и определите, что происходит при гомотетии с координатами точки. Как выглядит общее уравнение прямой? Почему прямые при гомотетии остаются прямыми?
задача 6[8]
Докажите, что гомотетию относительно точки можно представить как композицию двух растяжений (сжатий) относительно перпендикулярных прямых и , пересекающихся в точке :
(Эту запись следует читать так: «Для любого вещественного числа и двух перпендикулярных прямых и , пересекающихся в точке , верно равенство ».)
Подсказка Смотрите рисунок 6.
Рисунок 6. Из двух растяжений вдоль перпендикулярных направлений получается гомотетия.
Задача 7[9]
Докажите, что при гомотетии все расстояния увеличиваются (уменьшаются)
Задача 8[9]
Докажите, что при гомотетии окружности переходят в окружности, а правильные треугольники — в правильные треугольники.
Решение
Следует из предыдущей задачи. Отношение расстояний не меняется, потому множество равноудаленных от переходит в множество равноудаленных от точек. Аналогичные рассуждения для двух вершин правильного треугольника, которые равноудалены от третьей.
Задача 9[10]
Докажите, что композиция двух гомотетий есть снова гомотетия, причем центры всех трех гомотетий лежат на одной прямой.
Задача 10[10]
Докажите, что композиция гомотетии с коэффициентом и параллельного переноса есть снова гомотетия с тем же самым коэффициентом, но относительно другой точки.
Что аффинные преобразования сохраняют?
[править]Из определения аффинных преобразований видно, что они сохраняют прямые и свойство различия двух точек:
Эти два свойства можно обозначить так:
Эти два свойства являются определяющими свойствами аффинных преобразований. Непосредственно из этих свойств следуют, как мы уже показали ранее, следующие два важных свойства
Композиция аффинных преобразований есть снова аффинное преобразование.
Преобразование, обратное к аффинному, есть снова аффинное преобразование.
Эти свойства можно обозначить так:
Следующие свойства относятся к классу «законов сохранения», то есть они говорят, какие свойства фигур аффинные преобразования сохраняют (не изменяют).
Примечание Преобразование инверсии сохраняет свойство окружности и углы между кривыми. Другой тип преобразований — движения, они сохраняют расстояния. Движения, аффинные преобразования и инверсию можно грубо определить так:
- Движения сохраняют расстояние.
- Аффинные преобразования сохраняют «прямоту» линий.
- Инверсии сохраняют свойство «круглоты».
Задача 11[9]
Докажите, что при аффинном преобразовании
пересекающиеся прямые переходят в пересекающиеся,
параллельные переходят в параллельные.
Эти свойства можно обозначить так:
Решение
Действительно, прямые переходят в прямые. Предположим, что две прямые пересекаются. Значит, у них есть общая точка . Если после аффинного преобразования они стали параллельными, значит у них не стало общей точки. Получается, что образ точки (точка в которую она перешла при преобразовании) должен лежать как на первой, так и на второй прямой. Но этого быть не может, так как точка имеет только один образ. Точка не может перейти в две разные точки. Значит, пересекающиеся прямые не могли перейти в параллельные. То, что параллельные не могут перейти в пересекающиеся, докажите самостоятельно.
Задача 12[9] На основе предыдущих свойств, докажите следующие два свойства:
параллелограмм переходит в параллелограмм,
трапеция переходит в трапецию:
Рисунок 7. Отношение площадей сохраняется.
Следующее важное свойство касается площади. Посмотрите на рисунок 7. Там нарисована прямоугольная сетка и две фигуры. Площади этих фигур примерно равны (пропорциональна) количеству квадратиков. А отношение площадей двух фигур примерно равно отношению квадратиков внутри этих фигур.
При аффинном преобразовании квадратики переходят в одинаковые параллелограммы, прямоугольная сетка переходит в скособоченную сетку. Но важно, что отношение площадей примерно равно отношению числа этих параллелограммчиков, то есть тому же, чему было равно это отношение до аффинного преобразования. Если нарисовать сетку очень-очень мелкой, точнее сколь угодно мелкой, тогда площадь будет точно выражаться через число квадратиков и параллелограммчиков и наши рассуждения станут строгими.
Таким образом, мы доказали еще одно свойство:
Пусть и — образы фигур и при некотором аффинном преобразованиии, тогда отношения их площадей одинаковы, то есть
Это свойство можно записать так:
Рисунок 8. Отношение длин отрезков на прямой сохраняется.
Задача 13[9]
Докажите, что отношение длин отрезков на одной и то же прямой при аффинном преобразовании сохраняется.
Подсказка На рисунке 8(а) показано два равных отрезка и на прямой . Докажем, что после любого аффинного преобразования образы этих отрезков будут иметь равную длину. Для этого сделаем дополнительные построения: параллельно прямой построим еще один отрезок , равный и . Заметим, что и параллелограммы, так как две их противоположные стороны равны и параллельны. После любого аффинного преобразования они останутся параллелограммами, а значит, для образов будут верны равенства и .
Итак, мы показали, что два равных отрезка на одной прямой после преобразования останутся равными. Теперь предположим, что их длины не равны. Например, первый, , имеет длину , а второй . Но тогда первый мы сможем разделить на единичных отрезков, а второй на единичных отрезков. Все отрезков, как мы только что показали, будут равны друг другу до и после аффинного преобразования. Значит, отношение длин образов отрезков и будет прежним, то есть к .
Заметьте, что любое действительное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным числом. Это свойство математики обозначают так: «множество рациональных чисел всюду плотно». В сколь угодно маленькой окрестности любого числа найдется рациональное число.
Задача 14[9]
Докажите, что отношение длин отрезков на параллельных прямых при аффинном преобразовании сохраняется:
Подсказка Используйте подсказку к предыдущей задаче.
При строгом доказательстве свойств и используется предельный переход и свойство непрерывности аффинных преобразований. Про непрерывность и предельные переходы рассказывают на на первом курсе института. Мы с вами использовали предельный переход на интуитивном уровне.
Задача 15[9]
Докажите, что при аффинном преобразовании выпуклой фигуры получается выпуклая фигура. Фигура называется выпуклой, если любыми двумя точками она содержит и отрезок, их соединяющий. Другими словами, аффинные преобразования сохраняют свойство выпуклости.
Что могут аффинные преобразования?
[править]Итак, мы выяснили, что сохраняют аффинные преобразования. Теперь посмотрим, на что они способны. Можно ли с помощью аффинного преобразования из трапеции сделать квадрат? Или из параллелограмма — квадрат? Из любого ли треугольника можно сделать правильный треугольник? Постараемся выяснить, какими деформирующими способностями обладают аффинные преобразования.
Основываясь на рисунке 9, решите следующие задачи.
Задача 16[8]
Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно одной из сторон из любого треугольника можно сделать равнобедренный.
Задача 17[8]
Покажите, что с помощью сжатия(растяжения) относительно основания из равнобедренного треугольника можно сделать правильный.
Задача 18[8]
Покажите, что с помощью гомотетии относительно центра правильного треугольника из него можно получить правильный треугольник с единичной стороной.
Рисунок 9. Превращение треугольника в правильный.
Задача 19[9]
Основываясь на трех предыдущих задачах, докажите, что с помощью аффинного преобразования из любого треугольника можно сделать любой другой. То есть если нам даны два треугольника и , то существует аффинное преобразование, которое переводит первый треугольник во второй.
Подсказка Обратите внимание на свойство — «обратное к аффинному аффинно», и если мы смогли сделать из равносторонний треугольник, то и из равностороннего можно с помощью аффинного преобразования получить обратно . Теперь из сделаем равносторонний, а из равностороннего — и вспомним про свойство .
Заметьте также, что нам важно следить только за положением вершин. Если вершины перейдут в вершины , то стороны совпадут автоматически, так как аффинные преобразования сохраняют «свойство прямоты».
Задача 20[8]
Докажите, что не из всякого четырехугольника можно сделать квадрат.
Решение. Возьмите четырехугольник с непараллельными сторонами. Они останутся непараллельными.
Задача 21[8]
Докажите, что не из всякого пятиугольника (шестиугольника) можно сделать правильный пятиугольник(шестиугольник).
Задача 22[8]
Докажите, что из круга нельзя сделать квадрат, а из квадрата нельзя сделать треугольник.
Задача 23[11]
Каждая диагональ выпуклого пятиугольника параллельна одной из его сторон. Докажите, что аффинным преобразованием этот пятиугольник можно
Определение 6.
Эллипс — это фигура на плоскости, которая в подходящих декартовых координатах задается уравнением
Определение 7.
Эллипс — это фигура, которую можно получить из круга, применяя аффинное преобразование.
Задача 24[10]
Докажите, что эти два определения эллипса равносильны.
Подсказка Эта задача включает в себя две задачи. Сначала нужно показать, что из первого определения следует утверждение второго определения, потом наоборот. Вторая часть сложнее, так как для неё необходимо иметь представление о всех возможных аффинных преобразованиях.
Задача 25[10]
Докажите, что применяя движения, растяжения и сжатия относительно прямых, можно получить любое аффинное преобразование.
Подсказка Решите сначала следующие три задачи.
Задача 26[10]
Пусть дана прямая и точка на ней. Преобразование — произвольное аффинное преобразование. Докажите, что после аффинного преобразования можно применить движение (параллельный перенос и поворот) так, что в итоге получится преобразование, которое точку оставляет неподвижной и переводит прямую в себя. \end{task}
Задача 27[10]
Пусть даны две пересекающиеся в точке прямые и . Докажите, что после произвольного аффинного преобразования можно применить движение и сжатие (или растяжение) относительно прямой так, что в итоге получится преобразование, которое эти прямые переводит в себя.
Подсказка Первым делом, совместите биссектрисы углов между прямыми , и прямыми , , а также точки их пересечения. Применяйте сжатие (растяжение) вдоль этих биссектрис.
Задача 28[10]
Пусть даны две перпендикулярные прямые и , пересекающиеся в точке . Докажите, что после произвольного аффинного преобразования можно применить движение и несколько сжатий или растяжений относительно прямых так, что в итоге получится преобразование, которое все точки на этих прямых переводит в себя.
Задача 29[10]
Докажите, что если аффинное преобразование сохраняет неподвижными все точки на двух пересекающихся прямых, то это преобразование все остальные точки плоскости тоже оставляет неподвижными.
Задача 30[8]
Докажите, что из любой трапеции афинными преобразованиями можно сделать равнобокую трапецию.
Задача 31[8]
Докажите, что из любого прямоугольника можно сделать квадрат.
Задача 32[8]
Докажите, что из любого треугольника можно сделать прямоугольный треугольник.
Задача 33[8]
Докажите, что из любого параллелограмма можно сделать квадрат.
Определение 8.
Парабола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение
Задача 34[11]
Докажите, что множество всех парабол — это множество всех фигур, которые можно получить из параболы при помощи аффинных преобразований.
Определение 9.
Гипербола — это фигура, которая в подходящих координатах имеет уравнение
Задача 35[11]
Докажите, что множество всех гипербол — это множество все фигур, которые можно получить из гиперболы при помощи аффинных преобразований.
Методы решения задач с помощью аффинных преобразований
[править]Задача 36[9]
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
Решение
Из любого треугольника можно сделать равносторонний. Давайте сделаем. Заметим, что середины сторон перешли в середины сторон и медианы перешли в медианы. В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке в силу симметрии. Значит, в исходном треугольнике они тоже пересекались в одной точке.
Попробуйте обобщить результат задачи 36 на случай не обязательно медиан и не обязательно треугольников.
Следующая задача решается аналогичным образом.
Задача 37[9]
Докажите, что три медианы делят треугольник на равновеликих треугольников.
Обычно, задачу можно решить методом аффинных преобразований, если нужно найти отношение длин, или отношение площадей, или доказать параллельность. Причем в условии задачи не должно быть дано ничего такого, что не сохраняется при аффинных преобразованиях. Например, если в задаче дано точное значение какого-то угла, то, скорее всего, эта задача не решается методом аффинных преобразований.
Задача 38[9]
На сторонах треугольника поставлены точки, которые делят эти стороны в отношении . А именно, на стороне поставлена точка , на — точка , на — точка , и , , . Площадь треугольника равна . Чему равна площадь треугольника ?
Задача 39[10]
Докажите, что медианы треугольника из предыдущей задачи пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника .
Подсказка Превратите треугольник в правильный и используйте поворот вокруг центра на .
Задача 40[10]
Докажите, что медианы треугольника, образованного прямыми , , из предыдущей задачи, пересекаются в той же точке, что и медианы треугольника .
Задача 41[10]
Через каждую вершину треугольника проведены две прямые, делящие противоположную сторону треугольника на три равные части. Докажите, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника, образованного этими прямыми, пересекаются в одной точке.
Задача 42[11]
На сторонах , , параллелограмма взяты точки , , соответственно, делящие эти стороны в одинаковых отношениях. Пусть , , — прямые, проходящие через , , параллельно прямым , , соответственно. Докажите, что прямые , , проходят через одну точку.
