Теория функций действительного переменного/Множества в метрическом пространстве

Теория функций действительного переменного

---

1. Эквивалентные множества
2. Счётные множества
3. Метрическое пространство
4. Множества в метрическом пространстве
5. Сходимость метрического пространства
6. Непрерывные отображения метрического пространства
7. Полные метрические пространства
8. Принцип сжимающихся отображений
9. Применение принципа сжимающихся отображений
10. Линейные пространства
11. Линейные функционалы
12. Выпуклые множества и функционалы
13. Нормированные и евклидовы пространства
14. Непрерывные линейные функционалы
15. Сопряжённое пространство
16. Слабая сходимость
17. Обобщённые функции
18. Линейные операторы
19. Компактные операторы
20. Системы множеств
21. Мера множеств, измеримые функции
22. Интеграл Лебега
23. Теория дифференцирования
24. Пространства суммируемых функций
25. Тригонометрические ряды
26. Ортогональные системы функций
27. Преобразование Фурье

В формулировках многих теорем анализа встречается понятие «окрестность точки». Наличие метрики позволяет ввести понятие окрестности в произвольном пространстве. Кроме того, в метрическом пространстве можно выделить подмножества, аналогичные шару в элементарной геометрии.

Типы множеств в метрическом пространстве

Пусть $R=(M,\rho )$ — метрическое пространство, $a\in R$ произвольная точка этого пространства, а $r>0$ — положительное вещественное число. Дадим некоторые определения.

Множество

$B[a,r]=\left\{x\in M\mid \rho (x,a)\leq r\right\}$,

то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки $a$ не более чем на заданную величину $r$, называется замкнутым шаром радиуса $r$ с центром в точке $a$.

Множество

$B(a,r)=\left\{x\in M\mid \rho (x,a)<r\right\}$,

то есть множество всех точек, удалённых от заданной точки $a$ менее чем на заданную величину $r$, называется открытым шаром радиуса $r$ с центром в $a$.

Открытый шар радиуса $\epsilon$ с центром в точке x называется ε-окрестностью этой точки и обозначается

$~O_{\epsilon }(x)$.

Множество $X\subset M$ называется ограниченным, если существует замкнутый шар, содержащий внутри себя множество $X$, в противном случае множество $X$ называется неограниченным.

Диаметром непустого множества $X\subset M$ называется величина

$d(X)=\sup _{x,y\in X}\rho (x,y)$.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 1. Множество $X\subset M$ является ограниченным тогда и только тогда, когда его диаметр конечен.

Доказательство.

Пусть множество $X\subset M$ является ограниченным, а содержащий его шар — $B[a,r]$. Оценим расстояние между двумя произвольными точками $x,y\in X$ этого множества. В силу аксиомы треугольника для метрики:

$\rho (x,y)\leq \rho (x,a)+\rho (a,y)\leq 2r$,

а следовательно

$d(X)=\sup _{x,y\in X}\rho (x,y)\leq 2r$,

то есть диаметр ограниченного множества конечен. Необходимость доказана.

Докажем теперь достаточность. Пусть диаметр множества $X\subset M$ конечен. Выберем произвольную точку $x_{0}\in X$, тогда для любой другой точки $x\in X$ будет иметь место неравенство

$\rho (x,x_{0})\leq d(X)$,

таким образом, множество $X$ содержится в шаре

$~B[x_{0},d(X)]$,

то есть является ограниченным. Теорема доказана.

Множество называется открытым, если любая точка этого множества принадлежит множеству вместе с некоторой своей окрестностью (то есть с открытым шаром c центром в этой точке).

Множество $X\subset M$ называется замкнутым , если его дополнение $M\setminus X$ есть открытое множество.

Точка $x\in M$ называется точкой прикосновения множеcтва $X\subset M$, если любая её окрестность имеет непустое пересечение с этим множеством.

Замыканием множества $X$ называется совокупность всех точек прикосновения этого множества (обозначается $~[X]$, иногда в литературе используется также обозначение ${\overline {X}}$). Мы будем использовать обозначение $~[X]$, так как черта над символом уже имеет несколько значений(например: комплексно-сопряжённое число, дополнение множества).

Преобразование, ставящее в соответствие множеству его замыкание, называется операцией замыкания. Рассмотрим некоторые свойства операции замыкания.

Свойство 1. Множество целиком содержится в своём замыкании:

$X\subset [X]$.

Данное свойство следует из того факта, что любая точка множества является его точкой прикосновения.

Свойство 2. Повторное применение операции замыкания не меняет результат:

$\left[\left[X\right]\right]=\left[X\right]$.

Доказательство. Пусть $x\in [[X]]$. Тогда в любой её окрестности — шаре $B(x,\epsilon )$ — найдётся точка $x_{1}\in [X]$. Рассмотрим шар $~B(x_{1},\epsilon _{1})$ радиуса $~\epsilon _{1}=\epsilon -\rho (x,x_{1})$. Этот шар лежит внутри шара $B(x,\epsilon )$. Действительно, пусть

$y\in B(x_{1},\epsilon _{1})\Rightarrow \rho (y,x_{1})<\epsilon _{1}$,

а по аксиоме треугольника

$\rho (y,x)\leq \rho (y,x_{1})+\rho (x_{1},x)<\epsilon _{1}+(\epsilon -\epsilon _{1})=\epsilon$.

Так как $x_{1}\in [X]$, то в шаре $B(x_{1},\epsilon _{1})$ найдётся точка $x_{2}\in X$, но тогда

$x_{2}\in B(x,\epsilon )$,

а так как $B(x,\epsilon )$ — произвольная окрестность, содержащая $x$, то $x\in [X]$. Свойство доказано.

Свойство 3. Замыкание подмножества есть подмножество замыкания содержащего его множества:

$X\subset Y\Rightarrow [X]\subset [Y]$.

Доказательство.

Если $x\in [X]$, то в любой окрестности $O_{\epsilon }(x)$ существует такая точка $x_{1}$, что $x_{1}\in X$, но так как $X\subset Y$, то $x_{1}\in Y$, а следовательно $x\in [Y]$, то есть

$x\in [X]\Rightarrow x\in [Y]$,

а это как раз и обозначает, что $[X]\subset [Y]$. Свойство доказано.

Свойство 4. Замыкание объединения множеств совпадает с объединением их замыканий:

$\left[X\cup Y\right]=[X]\cup [Y]$.

Доказательство. По определению объединения множеств

$X\subset X\cup Y,~Y\subset X\cup Y$,

следовательно, по свойству 3:

$[X]\subset [X\cup Y],~[Y]\subset [X\cup Y]$,

а значит

$[X]\cup [Y]\subset [X\cup Y]$.

Докажем теперь обратное включение.

Пусть $x\in [X\cup Y]$, рассмотрим некоторую окрестность $O_{\epsilon }(x)$, по определению замыкания, существует такая точка $x_{1}\in O_{\epsilon }(x)$, что $x_{1}\in X\cup Y$, а значит точка $x$ принадлежит по крайней мере одному из множеств $[X]$ или $[Y]$.

Теорема 2(Критерий замкнутости множества). Множество $X\subset M$ является замкнутым тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим замыканием.

Доказательство.

Пусть множество $X$ является замкнутым, тогда его дополнение

$Y=M\setminus X$

будет открытым множеством. А значит для любой точки $y\in Y$ и любого вещественного числа $\epsilon >0$:

$O_{\epsilon }(y)\subset Y=M\setminus X$,

то есть для любой точки $x\in M$

$x\notin X\Rightarrow x\notin [X]$,

а так как по свойству 1 $X\subset [X]$, то замыкание замкнутого множество есть само это множество.

Пусть теперь $X=[X]$, это означает, что любая окрестность любой точки множества $M\setminus X$ не имеет общих точек с $X$, то есть целиком лежит в $M\setminus X$, таким образом, множество $M\setminus X$ является, по определению, открытым, а $X$ — замкнутым.

Замечание. Иногда эту теорему берут за определение замкнутого множества, а тот факт, что замкнутое множество является дополнением открытого доказывают как теорему.

Из данной теоремы и свойств операции замыкания следует, что замыкание множества — это наименьшее замкнутое множество, содержащее данное.

Теорема 3. Пересечение любого числа и объединение любого конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Доказательство.

Рассмотрим счётную систему множеств

$\{X_{n}\}$

и их пересечение

$X=\bigcap _{n=1}^{\infty }X_{n}$.

Пусть $x$ — произвольная предельная точка множества $X$, тогда любая её окрестность $O_{\epsilon }(x)$ содержит бесконечно много точек из $X$, а по свойству пересечения множеств, любая точка $X$ принадлежит всем $X_{n}$, а так как каждое из этих множеств замкнуто, то им всем принадлежит и сама точка $x$. Таким образом

$x\in X=\bigcap _{n=1}^{\infty }X_{n}$,

а значит множество $X$ является замкнутым.

Рассмотрим теперь множество $Y$, представляющее собой объединение конечного числа замкнутых множеств: $Y=\bigcup _{k=1}^{n}Y_{k}$. Рассмотрим произвольную точку $x\notin Y$ и покажем, что она не может быть предельной точкой множества $Y$. По определению объединения множеств, точка $x$ не принадлежит ни одному из замкнутых множеств $Y_{k}$, а значит не является предельной ни для одного из них. Поэтому для каждого из множеств $Y_{k}$ можно указать такое вещественное число $\epsilon _{k}$, что окрестность $O_{\epsilon _{k}}(x)$ будет содержать лишь конечное число точек из $Y_{k}$. Выбрав из этих окрестностей наименьшую, получим окрестность точки $x$ содержащую не более чем конечное число точек из $Y$. А значит точка $x$, по определению, не может быть предельной для $Y$.

В силу принципа двойственности справедлива следующая теорема.

Теорема 3а. Объединение любого числа и пересечение любого конечного числа открытых множеств суть открытые множества.

Отметим, что существуют множества не открытые и не замкнутые. Существуют и множества, являющиеся и открытыми, и замкнутыми: пустое множество и всё пространство.

Точка метрического пространства $x\in R$ называется предельной точкой множества $M\subset R$, если любая её окрестность содержит бесконечно много точек из $M$. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать $M$. Например, если $M$ — множество рациональных точек отрезка $[0;1]$, то каждая точка этого отрезка является предельной точкой множества $M$.

Точка $x\in X\subset R$ называется изолированной точкой множества $X$, если в достаточно малой её окрестности нет точек из $X$, отличных от $x$.

Точка $x$ называется внутренней точкой множества $X$, если существует окрестность $O_{\epsilon }(x)$, лежащая целиком в $X$.

Теорема 4. Всякая точка прикосновения множества есть либо предельная, либо изолированная точка этого множества.

Доказательство.

Пусть $x$ — произвольная точка прикосновения множества $M\subset R$, а значит любая её окрестность должна пересекаться с множеством $M$. Если эта точка не является предельной, то можно указать окрестность в которой содержится лишь конечное число точек из $M$. Обозначим эти точки $x_{1},...,x_{n}$. Если положить

$r=\min _{1\leq k\leq n}\rho (x,x_{k})$,

то шар $B(x,r)$ не будет содержать ни одну из точек $x_{1},...,x_{n}$. Таким образом, мы указали окрестность точки $x$, которая не содержит других точек множества $M$, то есть если точка не является предельной, то она изолированная.

Наоборот, если предельная точка $x$ не является изолированной, то в любой её окрестности содержится бесконечно много точек множества $M$. Действительно, если бы точек было лишь конечное число, мы могли бы указать окрестность (как это было сделано выше), которая не содержит точек из $M$ кроме самой $x$.

Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что замыкание множества M состоит, в общем случае, из точек трёх типов:

1. Изолированные точки множества M;
2. Предельные точки множества M, принадлежащие M;
3. Предельные точки множества M, не принадлежащие M.

Таким образом, замыкание множества получается присоединением к нему всех его предельных точек.

Плотные подмножества

Пусть $A$ и $B$ — два множества в метрическом пространстве $R$. Множество $A$ называется плотным в множестве $B$, если его замыкание включает множество $B$, то есть

$[A]\supset B$.

Если замыкание множества $A$ совпадает со всем пространством $R$, то говорят, что множество А — всюду плотное (в пространстве R).

Множество $A$ называется нигде не плотным, если оно не плотно ни в одном шаре.

Если в метрическом пространстве имеется счётное всюду плотное множество, то такое пространство называется сепарабельным.

Например, рациональные числа образуют счётное всюду плотное множество на числовой прямой, так как всякой вещественное число — это предел последовательности рациональных чисел.

Пространство изолированных точек является сепарабельным только если оно само счётно, так как в дискретной метрике замыкание любого множества совпадает с ним самим.

Упражнения

Упражнение 1. Доказать, что все точки открытого множества являются внутренними.