Теория функций действительного переменного/Линейные функционалы

Теория функций действительного переменного

Определения

Функционал — это правило, по которому каждому элементу некоторого множества ставится в соответствие некоторое действительное число.

Функционал $f$ , заданный на линейном пространстве $L$ называют аддитивным, если он обладает следующим свойством

f(x+y)=f(x)+f(y)~\forall x,y\in L

.

Функционал называется однородным, если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

f(\alpha x)=\alpha f(x)~\forall x\in L

.

Функционал, заданный на комплексном линейном пространстве, называется сопряжённо-однородным, если если для любого числа $\alpha$ имеет место равенство

f(\alpha x)={\overline {\alpha }}f(x)~\forall x\in L

,

где ${\overline {\alpha }}$ — комплексно-сопряжённое с $\alpha$ число.

Функционал, который является одновременно аддитивным и однородным, называют линейным функционалом. Одновременно аддитивный и сопряжённо-однородный функционал называют сопряженно-линейным или полулинейным.

Примеры

Геометрический смысл линейного функционала

Пусть $f$ — линейный функционал, заданный на линейном пространстве $L$ и не равный тождественно нулю.

Множество точек линейного пространства, обращающих линейный функционал в нуль, является подпространством линейного пространства $L$ , которое называют подпространством нулей или ядром функционала $f$ . Ядро функционала $f$ обозначается через $Ker(f)$ , от английского слова kernel — ядро.

Докажем, что ядро функционала действительно является подпространством. Пусть даны два вектора $x$ и $y$ такие, что:

~f(x)=0

,

~f(y)=0

.

Пусть $a$ , $b$ — произвольные вещественные числа, тогда

~f(ax+by)=af(x)+bf(y)=0

.

Таким образом, линейная комбинация элементов ядра функционала также является элементом его ядра.

Ядро функционала $f$ имеет коразмерность 1. Чтобы доказать этот факт, возьмём какую-либо точку $x_{0}$ не входящую в ядро, то есть такую, что $f(x_{0})\neq 0$ . Такой элемент всегда можно выбрать, так как в противном случае функционал $f$ будет тождественно равен нулю, а это противоречит нашему исходному предположению. Более того, можно считать, что

~f(x_{0})=1

,

так как если это равенство не выполняется, то вместо $x_{0}$ можно было бы взять точку

{\frac {x_{0}}{f(x_{0})}}

,

в этой точке значение функционала будет равно единице, так как, по определению линейного функционала:

f\left({\frac {x_{0}}{f(x_{0})}}\right)={\frac {f(x_{0})}{f(x_{0})}}=1

.

Для каждой точки $x$ определим

~y=x-f(x)x_{0}

.

В точке $y$ выполняется следующее равенство

f(y)=f\left(x-f(x)x_{0}\right)=f(x)-f(x_{0})f(x)=0

,

а значит, по определению ядра линейного функционала:

y\in Ker(f)

.

Представление элемента $x$ в виде

x=\alpha x_{0}+y,~y\in Ker(f)

является единственным (при заданной точке $x_{0}$ ). Доказательство единственности проведём от противного. Пусть существуют два таких представления:

x=\alpha _{1}x_{0}+y_{1},~y_{1}\in Ker(f)

,

x=\alpha _{2}x_{0}+y_{2},~y_{2}\in Ker(f)

.

Вычтем из первого равенства второе:

~(\alpha _{1}-\alpha _{2})x_{0}=y_{2}-y_{1}

.

Если имеет место равенство

~\alpha _{1}=\alpha _{2}

,

то левая часть равенства есть нуль, а следовательно и правая часть равна нулю, то есть

~y_{2}=y_{1}

.

Если же

~\alpha _{1}\neq \alpha _{2}

,

то можно получить следующее выражение для вектора $x_{0}$ :

x_{0}={\frac {y_{2}-y_{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}

.

Вычислим значение функционала в этой точке

f(x_{0})=f\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}\right)={\frac {f(y_{2}-y_{1})}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}={\frac {f(y_{2})-f(y_{1})}{\alpha _{1}-\alpha _{2}}}=0

,

но это противоречит предположению

~f(x_{0})=1

,

а значит представление

x=\alpha x_{0}+y,~y\in Ker(f)

действительно является единственным.

Докажем следующее утверждение: две точки принадлежат одному классу смежности по подпространству $Ker(f)$ тогда и только тогда, когда значения в этих точках равны. Точки $x_{1}$ и $x_{2}$ принадлежат одному классу смежности по $Ker(f)$ , если

x_{1}-x_{2}\in Ker(f)

,

то есть, по определению ядра функционала, если

f(x_{1}-x_{2})=0

.

В силу линейности функционала:

f(x_{1}-x_{2})=f(x_{1})-f(x_{2})

,

откуда и следует исходное утверждение.

Любой класс смежности по подпространству $Ker(f)$ определеятся любым своим представителем. В качестве представителя можно взять элемент вида $\alpha x_{0}$ , откуда и следует, что фактор-пространство $L/Ker(f)$ имеет размерность 1, то есть ядро $Ker(f)$ имеет коразмерность 1 (по определению коразмерности).

Можно доказать, что ядро линейного функционала определяет его с точностью до постоянного множителя. Рассмотрим два функционала $f$ и $g$ с совпадающими ядрами:

~Ker(f)=Ker(g)

.

Если ядро этих функционалов совпадает со всем пространством, то очевидно, что оба функционала тождественно равны нулю в этом пространстве, и утверждение доказано. Будем считать, что функционалы $f$ и $g$ не равны тождественно нулю. Выберем элемент

x_{0}:~f(x_{0})=1

(выше было показано, что такой выбор всегда возможен, если функционал не равен тождественно нулю), тогда существует единственное представление

x=f(x)x_{0}+y,y\in Ker(f)=Ker(g)

.

Вычислим значение функционала $g$ , используя это представление:

g(x)=g\left(f(x)x_{0}+y\right)=f(x)g(x_{0})+g(y)=g(x_{0})f(x)+0=g(x_{0})f(x)

.

Если $g(x_{0})=0$ , то функционал $g$ был бы тождественно равен нулю, что противоречит нашему предположению. Из равенства

~g(x)=g(x_{0})f(x)

вытекает, что эти два функционала пропорциональны друг другу. Утверждение доказано.

Для всякого подпространства $L'\subset L$ , имеющего коразмерность 1, можно построить такой функционал $f$ , что : $Ker(f)=L'$ . Построение осуществляется следующим образом. Выберем произвольную точку

x_{0}\notin L'

и представить каждую точку $x\in L$ исходного пространства в виде

~x=\alpha _{x}x_{0}+y,~y\in L'

.

(индекс у коэффициента разложения подчёркивает тот факт, что он различен для разных точек линейного пространства). Положив

~f(x)=\alpha _{x}

,

получим линейный функционал, ядро которого совпадает с данным подпространством $L'\subset L$ .

Пусть $L'\subset L$ — подпространство коразмерности 1. Всякий класс смежности пространства $L$ по его подпространству $L'$ называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $L'\subset L$ . Само подпространство является гиперплоскостью, содержащей нулевой элемент. Другими словами, гиперплоскость $H$ — это множество, получаемое сдвигом всех элементов некоторого подпространства коразмерности 1 на некоторый вектор $x_{0}\in L$ :

H=\left\{x+x_{0}\mid x\in L'\right\}

.

Если $f$ — линейный функционал, не равный тождественно нулю, определённый на пространстве $L$ , то множество

H_{f}=\left\{x:~f(x)=1\right\}

называется гиперплоскостью, параллельной подпространству $Ker(f)$ .

Если $H$ — гиперплоскость, параллельная подпространству $L'\subset L$ , коразмерность которого равна 1, то можно построить единственный линейный функционал $f$ такой, что

H=\left\{x:~f(x)=1\right\}

.

Это означает, что между линейными функционалами, не равными тождественно нулю, и гиперплоскостями, не проходящими через начало координат, можно установить взаимно-однозначное соответствие. В этом и заключается геометрический смысл линейного функционала.