Начала Волновой оптики

Начала волновой оптики

Как научная дисциплина, оптика эволюционировала от Геометрической или Лучевой оптики (нем. Strahlenoptik), основы которой были заложены ещё в Древнем мире Героном Александрийским и другими философами, развиты в трудах Тихо де Браге(1546 – 1601), затем дополнены представлениями Волновой оптики (Wellenoptik), начавшейся с догадки Христиана Гюйгенса (1629-1695) о волновой природе света, подтверждённой экспериментами Томаса Юнга (1829-1883) и Августина Френеля (1788-1827) и получившей завершение в теории Джеймса Кларка Максвелла(1831– 1879), основанной на представлении о свете как волновом процессе, имеющем место в электромагнитном поле. В рамках этих представлений Альберт Эйнштейн(1879-1955) создал специальную теорию относительности, основанную на утверждении о существовании конечной скорости распространения электромагнитных волн. Наконец, невозможность объяснения закономерностей температурного излучения и фотоэффекта в рамках теории Максвелла , привела Макса Планка(1858-1947) к идее квантования поля, что обусловило появление оптики фотонов, и реанимировало догадку Исаака Ньютона (1643 -1727) о том, что свет представляет собой поток частиц.

Наши знания о природе формируются на базе понятий, получаемых в результате опыта. В ходе познания свойств Природы оказалось, что на своём опыте человек усвоил представления о волне и частице.Но для получения представления об излучении, или, что будет рассматриваться как его синоним -о свете, который есть ни то, ни другое, в своей практической деятельности он не нашёл однозначного выражения. Так возник дуализм "волна-частица", констатирующий и закрепившей на день сегодняшний отсутствие единого описания всех наблюдаемых свойств света.

В оптике, пожалуй даже чаще, чем в остальных разделах физики, придумано множество весьма остроумных моделей, помогающих не только проведению качественного , но и количественного анализа световых явлений, а самое главное - подтверждающихся( в рамках своей применимости), на практике. Виртуозом в этой области был Роберт Вуд.Он и многие не упомянутые здесь учёные, внёсшие свой вклад в развитие оптики и её применение на практике (Прикладная оптика), использовали более или менее удачные математических и описательные модели ad hoc, как и любые модели, имевшие определённые границы, в которых они применимы. Классическим образцом популярной описательной модели является планетарная модель атома Резерфорда.

Поэтому для достижения успеха в проведении оптических расчётов недостаточно знать те или иные принятые в оптике закономерности, но и иметь представление о тех границах, за пределами которых они теряют свою справедливость. Иными словами подняться с уровня знания на уровень понимания.

Корпускулярная теория света достаточно хорошо объясняет квантовые свойства света но не годится для объяснения траектории, по которой распространяется свет, что является основной задачей, решаемой в геометрической оптике. В этом случае неизбежно обращение к закономерностям волновой оптики, рассматривающей распространение световой волны и влияние на него оптической неоднородности среды, обусловленной различной скоростью распространения излучения в различных ее областях. Возникший дуализм в представлениях о поле излучения не отменил возможности объяснения многих оптических явлений путём решения уравнений Максвелла с учётом конкретных граничных условий.

Базовые положения электродинамики

Электрический заряд, независимо от того, движется ли он или неподвижен по отношению к системе отсчёта наблюдателя, создаёт в пустом пространстве электрическое (кулоновское) векторное поле, интенсивность которого, зависящая от расстояния от заряда -источника поля (обычно называемая напряженностью ${\vec {E}}$ ) является вектором, направленным в сторону наиболее быстрого убывания поля.

Зависимость силы взаимодействия двух точечных зарядов от расстояния между ними определяется законом Кулона.Модуль этого вектора и направление определяются выражением: ${\vec {E}}={\vec {F}}/q$ , где ${\vec {F}}$ есть cила, действующей на заряд $q$ , помещенной в это поле. В случае зарядов одноименного знака эта сила стремится удалить заряды друг от друга, в противном случае –сблизить.

В физике сила, независимо от происхождения, всегда проявляет себя только одним образом: в соответствие со Вторым законом Ньютона она является причиной ускорения ${\vec {a}}$ свободного в возможности своего перемещения тела массой $m$ , что может быть записано как: ${\vec {a}}={\vec {F}}/m$ .

Из сказанного следует, что заряд связан с материальным носителем и не существует без него. В материальной среде вследствие возникновения в ней эффектов поляризации её частиц, интенсивность поля отличается от той, которая при тех же источниках поля была бы в вакууме. И вместо напряженности поля принято пользоваться вектором электрического смещения (электрической индукции), ${\vec {D}}$ , связанным с ${\vec {E}}$ соотношением: ${\vec {D}}=\varepsilon {\vec {E}}$ , где $\varepsilon$ - диэлектрическая постоянная среды.

Попутно следует заметить, что в окружаемом мире, если речь не идёт о внутриатомных масштабах, кроме кулоновских сил действуют лишь силы гравитационные, описываемые законом всемирного тяготения. В соответствие с ним ускорение свободного падения ${\vec {g}}$ зависит от силы тяжести ${\vec {P}}$ как: ${\vec {g}}={\vec {P}}/m$ .

Таким образом ускорение свободного падения есть не что иное, как мера интенсивности гравитационного поля или его напряженность, а масса тела представляет собой пробный объект, позволяющий обнаружить и измерить интенсивность поля гравитации в месте расположения этой массы.

Создание единой теории, объединяющей гравитационное и электромагнитное поле в наше время является одним из важнейших направлений теоретической физики.

В системе отсчёта , находящейся в вакууме,по отношению к которой заряд находится в движении, т.е. ведёт себя как электрический ток, возникает магнитное поле, интенсивность которого определяется вектором магнитной индукции ${\vec {B}}$ , лежащим в плоскости, по отношению к которой заряд движется перпендикулярно. Модуль этого вектора также определяется силой, с которой магнитное поле действует на проводник с током в соответствие с законом Био-Савара-Лапласа , устанавливающего зависимость силы взаимодействия двух параллельно протекающих токов от расстояния между ними.

В среде, обладающей магнитными свойствами между вектором магнитной индукции ${\vec {B}}$ и вектором напряжённости магнитного поля ${\vec {H}}$ существует соотношение: ${\vec {B}}=\mu {\vec {H}}$ . Где $\mu$ естьмагнитная проницаемость среды.

Следствия решений уравнений Максвелла

Майкл Фарадей экспериментально установил, что изменение во времени магнитного поля, образованного переменным во времени током, создаёт электродвижущую силу, вызывающую движение зарядов (электрический ток). В свою очередь изменяющееся во времени электрическое поле вызывает появление, даже в изоляторе и вакууме, специфических токов смещения, создающих переменное магнитное поле.

Максвелл составил систему уравнений, объединяющую временну‘ю зависимость упомянутых выше характеристик электромагнитного поля. Важнейшим полученным им результатом в случае рассмотрения гармонического осциллятора, создающего меняющееся по гармоническому закону с круговой частотой $\omega =2\pi \nu =2\pi /T$ ,где: $\nu$ – частота а $T$ - период колебаний) электромагнитное поле, стали уравнения для электрической и магнитной составляющей, соответственно:

${\vec {E}}(z,t)={\vec {E}}(z)cos\phi (z,t)={\vec {E}}(z)cos(\omega t-kz+\phi _{0})$

${\vec {B}}(z,t)={\vec {B}}(z)cos\phi (z,t)={\vec {B}}(z)cos(\omega t-kz+\phi _{0})$ ,

где $\phi (z,t)=\omega t-kz+\phi _{0}$ есть фаза колебаний .

Эти уравнения описывают волну, распространяющуюся в направлении $z$ , в которой напряженности электрического и магнитного полей меняются синхронно во времени. Рисунок представляет собой «замороженную» картину этой волны для некоторого фиксированного момента времени.

Параметр $k=2\pi /(\lambda )$ , представляет собой волновое число, где $(\lambda )$ есть длина волны. Поскольку колебания интенсивности происходят для различных составляющих волны во взаимно перпендикулярных плоскостях, то такая монохроматическая волна является плоско поляризованной и поперечной, так как векторы ${\vec {E}}(z,t)$ и ${\vec {B}}(z,t)$ перпендикулярны направлению распространения волны и (за исключением частного случая явления дихроизма)образуют правую тройку, описываемую векторным произведением: ${\vec {B}}(z,t)$ = ${\vec {v}}$ x ${\vec {E}}(z,t)$ ,где ${\vec {v}}$ есть вектор скорости волны в данной среде, совпадающий с направлением ее распространения .

При этом : $B=vE$ или $H=vE/\mu$ ( 1 )

В волновой оптике рассматриваются, в основном, два типа волн; плоская волна, в которой значения модулей векторов (их магнитуды - меняющейся по мере распространения амплитуды) не зависят от расстояния от источника $z$ , а также волны сферические, для которых магнитуды уменьшаются обратно пропорционально пройденному волной расстоянию,т.е. пропорционально $1/z$

Исторически первым источником электромагнитных волн был диполь Герца, использованный Генрихом Герцем для закончившейся для него триумфом попытке экспериментального опровержения теории Максвелла. Это устройство представляло собой гармонический осциллятор, в наше время реализуемый, например, антенными устройствами радиостанций.

До сего времени моделью осциллятора в оптике является электрон в планетарной атомной модели Резерфорда, вследствие своего вращения вокруг атомного ядра представляющий собой переменный ток, ведущий, по Максвеллу, к образованию поля излучения. Практическая ценность такой модели не страдает от того, что электрон должен, вследствие потерь энергии на излучение, рано или поздно свалиться на ядро. Однако некоторые атомы существуют вечно.

Поскольку уравнения Максвелла линейны по отношению ко входящим в них переменным, любая сумма решений этих уравнений тоже является их решением. В этом находит своё теоретическое обоснование экспериментально наблюдаемый факт независимости электромагнитных волн, которые могут проходить через одну и ту же область пространства, не меняя направления своего распространения, своей частоты, магнитуды, а также плоскости поляризации.

Решениям уравнений Максвелла свойственна также инвариантность по отношению к движению по стреле времени. Из этого, например, следует свойство обратимости хода светового луча, который будет распространяться в обратную сторону по тому же пройденному им ранее пути. Однако имеется возможность с помощью использования эффекта Фарадея обеспечить распространение волны лишь в одном направлении и нарушить эту обратимость хода.

Из решений уравнений Максвелла следует, что в вакууме скорость распространения электромагнитной волны связана с фундаментальными константами электрического и магнитного полей соотношением:

$c$ = $1/{\sqrt {(}}\varepsilon _{0}\mu _{0})$ . Здесь а $\varepsilon _{0}$ - фундаментальная постоянная для электического, а $\mu _{0}$ - фундаментальная постоянная для магнитного поля.

С 1983 года на основании решения 17-го Международного конгресса по метрологии принято считать, что с = $2,99792458$ · $10^{8}$ м/сек.

Из уравнений Максвелла непосредственно следует, что при распространении света в среде, характеризуемой своей диэлектрической постоянной $\varepsilon$ и магнитной проницаемостью $\mu$ происходит замедление света и скорость распространения излучения $v$ становится равной:

$v$ = с $/{\sqrt {(}}\varepsilon \mu )$ = $c/n$ , где $n={\sqrt {(}}\varepsilon \mu )$ есть показатель преломления среды. Поскольку скорость света представляет собой наивысшую скорость, достигаемую в природе, то реальный показатель преломления любого вещества всегда больше единицы.

Существование общепринятого и универсального термина «скорость света» делает излишними претензии педантов на неправомочность использования любых терминов, содержащих слово «свет», для описания характеристик поля электромагнитного излучения за пределами области спектральной чувствительности глаза. Все опасения о возможных ошибках снимаются после упоминания единиц измерения этих характеристик(энергетических или световых).

Существенно, что длина волны зависит от показателя преломления среды, а частота не зависит. По крайней мере, до тех пор, пока интенсивность света не станет настолько высокой, что начнут сказываться нелинейные эффекты. Многие оптические среды (но не все) не обладают магнитными свойствами, Для них $\mu \approx 1$ . И потому $n\approx {\sqrt {\varepsilon }}$

Значительное количество известных оптических эффектов, рассматриваемых в Волновой оптике связано с вектором напряжённости электромагнитного поля. Однако в оптическом диапазоне период его колебаний составляет величину порядка $10^{-}15$ секунды. В то же самое время постоянная времени самых скоростных фотодиодов составляет $10^{-}12$ секунды. К тому же все действия излучения в оптическом диапазоне связаны с его энергией и потому, в отличие от радиодиапазона, мерой интенсивности поля служит квадрат его напряжённости. По этой же причине все сенсорные устройства в оптическом диапазоне называются квадратичными детекторами.

Это обстоятельство приводит к тому, что при рассмотрении энергетики излучения с привлечением положений волновой оптики, уравнения Максвелла перестали бы оставаться линейными, что существенно снизило бы возможность их применения. В результате оптика, как научная дисциплина, существует в виде оптики теоретической, являющейся разделом теоретической физики и оптики прикладной, оперирующей поддающимися количественной оценке параметрами излучения.

Вектор Умова-Пойнтинга для излучения

Плотность энергии электрического поля $w_{e}=\varepsilon$ $E^{2}/2$ , а магнитного - $w_{m}=\mu$ $H^{2}/2$

Подстановка в эти выражения соотношения (1) приводит к тому, что электрическая и магнитная составляющие волны создают в одном и том же месте пространства равные значения плотности энергии: $w_{e}=w_{m}$ .Принимая во внимание, что значительное количество наблюдаемых в оптике эффектов связано с электрическим вектором, целесообразно представить полное значение плотности энергии электромагнитной волны как: $w=w_{e}+w_{m}=\varepsilon$ $E^{2}$ = $EH/v$

Доля энергии $\Delta W$ , переносимой волной электромагнитного излучения через площадку $\Delta A$ , перпендикулярную направлению распространения волны за время $\Delta t$ равна произведению плотности энергии волны $w$ на величину объема $\Delta V$ пространства, пройденного волной со скоростью $v$ за это время: $\Delta W=vw(\delta V)$ ,а плотность мощности $P$ , переносимой через поперечное сечение потока энергии равняется $P=\Delta W/(\Delta A\Delta t)$ = $EH$ . Или $P=\varepsilon v$ x $E^{2}$

Это является выражением для модуля вектора Умова-Пойнтинга: ${\vec {P}}$ = ${\vec {E}}$ x ${\vec {H}}$

Поскольку для данной точки пространства напряжённость поля меняется по закону косинуса, а любой детектор воспринимает только усреднённое по времени значение модуля вектора , то плотность мощности , воспринимаемой приёмником будет равна полной энергии, полученной за время измерения, делённоё на время измерения, т.е.усреднённой за период колебаний мощности:

${\overrightarrow {P(z)}}$ = $\varepsilon$ $v$ $E^{2}(z)$ ${\overrightarrow {\sin ^{2}\phi (z,t)}}/2$ = $\varepsilon$ $v$ $E^{2}(z)/2$

На своем опыте человечество, не сознавая этого, неоднократно встречалась с непосредственным проявлением упомянутого выше явления механического воздействия потока излучения в виде "хвостатых звёзд" - комет, шлейф которых вызван явлением "солнечного ветра"

Принцип Гюйгенса-Френеля

Геометрическое место точек, в которых световое поле имеет равную фазу, носит название волнового фронта

Для объяснения пространственной структуры светового поля общепринято пользоваться этим принципом, суть которого заключена в следующем:

Каждая точка распространяющегося волнового фронта может рассматриваться как вторичный источник элементарной сферической волны, каждая из которых имеет одну и ту же частоту (и, в однородной среде - длину волны), а также ориентацию плоскости поляризации, которые совместно образуют новый волновой фронт, имеющий форму огибающей этих элементарных волн.

Этот принцип столь же убедителен в своей наглядности, пригодности для объяснения структуры светового поля и просто привычности, сколь и мало обоснован. Переход от дифференциального представления (элементарная волна) к результирующему волновому фронту в виде огибающей (интегральное представление) математически неясен. Более того, вызывает недоумение исчезновение упоминания о дальнейшей судьбе элементарных волн после образования ими волнового фронта. Это противоречит фундаментальному положению о независимости волн, которые никак не могут погасить друг друга, пусть даже ценой образования нового волнового фронта.

И, тем не менее, этот принцип, дополненный соображением Френеля о том, что с его помощью можно объяснить картину поля за пределами ограничивающей его преграды, оказался настолько плодотворным, что воспринимается как аксиома без возражений.

Популярным объектом, вызывающим возникновение поля излучения является точечный источник света, генерирующий световую волну. Вопрос о телесном угле, в котором распространяется эта волна (скажем, от автомобильной фары), зависящим от свойств источника обычно отодвигается на второй план, что вовсе не даёт права на его полное игнорирование. Такой источник рассматривается в физическом плане, а не как математическая абстракция. Иными словами источник излучения будет точечным в том случае, если его угловой размер, видимый из точки наблюдения не превзойдёт заранее установленной для каждого конкретного случая величины.

В таком случае справедливо считать, что точечный источник генерирует сферическую волну со всё увеличивающимся по мере распространения радиусом кривизны. Поперечные размеры световой волны в направлении, перпендикулярном её распространения во множестве случаев ограничены размерами объекта, которому адресована эта волна. Для сферической волны таким размером в плоскости, проходящей через линию, соединяющую источник света и этот объект, является хордой, а стрела прогиба - размером, определяющим степень сферичности волны, как меру её приближения к волне плоской. В оптике принято считать, что волна станет плоской, если этот прогиб будет составлять не более заранее установленной доли от длины волны излучения. Обычно это $\lambda /4$ (критерий Рэлея), но в ответственных случаях $\lambda /10$ и меньше.

Литература

F.und L. Pedrotti; Werner Bausch;Hartmut Schmidt Optik: eine Einführung: 1-Aufl.-London; Mexiko; New York; Singapur; Sydney;Toronto: Prentice Hall,1999 ISBN 3-8272-9510-6
D.Kühlke Optik. Grundlagen und Anwendungen:- Verlag Harri Deutsch. Frankfurt am Main.2004.

ISBN 3-8171-1741-8

Dieter Meschede Optik,Licht und Laser: Teubner Verlag_ Wiesbaden 2005 ISBN 3-519-13248-6