Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира

Хорошим модельным объектом для построения разностных схем является линейное уравнение переноса:

Для него известно аналитическое решение (, - произвольная функция), что позволяет сравнивать качество тех или иных методов, разработанных для (вообще говоря) нелинейных систем уравнений.

Для построения простейшей разностной схемы (т.н. схемы "уголок") воспользуемся простейшим шаблоном:

В соответствии с этим шаблоном аппроксимируем наше уравнение. Получим:

или

Если реализовать эту схему для простейшего уравнения и поэкспериментировать, окажется, что при эта схема относительно неплохо работает и, судя по всему, обладает сходимостью к аналитическому решению при

Остаются неясными некоторые вопросы, а именно:

  • Почему мы выбрали именно такой шаблон?
  • С чем связано требование ? И что делать, если, к примеру ?
  • Как оценить точность полученного таким способом решения?
  • Можно ли построить более точный метод?


Попробуем кратко ответить на некоторые из этих вопросов.

Вопрос выбора схемы может быть решен из более-менее бытовых соображений. Смотрите - мы знаем, что аналитическое решение линейного уравнения переноса имеет вид:

Раз так, наша задача - по ограниченной информации о решении на -м временном слое построить решение на -м слое. Нас интересует, например, значение . Исходя из вида аналитического решения, мы понимаем, что . Для получения значения можно, например, применить линейную интерполяцию. Ровно отсюда и следуют ответы на первый и часть второго вопроса - просто, если характеристика, опущенная из точки на -й слой, попадает на другой отрезок, интерполировать надо по нему.

Таким образом, для получим шаблон:

И схему:

О сходимости разностных схем[править]

Введем некоторые более аккуратные определения.

Предположим, что мы хотим найти решение дифференциальной краевой задачи

поставленной в некоторой области с границей . Здесь - некоторый дифференциальный оператор, - функция от и, возможно, . Для этого на компакте выберем дискретное множество точек - сетку, введем нормированное пространство функций, определенных на сетке и установим соответствие между решением и функцией из - таблицей значений функции на сетке. Теперь для приближенного нахождения искомой функции на основе дифференциальной задачи построим разностную:

так, чтобы имела место сходимость:


TODO

Об устойчивости разностных схем[править]

TODO

Реализации[править]

Решение систем гиперболических уравнений/Разностные схемы/Реализация на Fortran-e

Ссылки[править]

  1. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику: Учеб.пособие. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2000 ISBN 5-9221-0047-5
  2. Демьянов А.Ю., Чижиков Д.В. Неявная гибридная монотонная разностная схема второго порядка точности, Электронный журнал «Исследовано в России»