Рассмотрим пространство
![{\displaystyle L_{2}[-\pi ;\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57c5ee61b5991c5a4264f785da3ba48724859d7)
функций с интегрируемым квадратом на отрезке
с мерой Лебега и некоторую функцию
.
В рассматриваемом пространстве функции
![{\displaystyle ~1,~\cos(nx),~\sin(nx),~n=1,2,...}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2d603d6d4eb6c4a89dd86975a6904a1ec4d1c64)
образуют ортогональную систему функций, которую называют тригонометрической.
Ряд вида
![{\displaystyle {a_{0} \over 2}+\sum _{n=1}^{\infty }\left(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/668a8e4c7ea6dc2368089ae202ab225699362eba)
называют (тригонометрическим) рядом Фурье функции
.
Коэффициенты этого ряда определяются по формулам:
,
,
.
Можно считать, что мы рассматриваем не функции, заданные на отрезке
, а о периодических функциях, заданных на всей числовой прямой, так как любую функцию можно периодически продолжить. При этом, без ограничения общности, можно считать, что
,
так как функции, различающиеся значениями в одной точке, являются эквивалентными и не различаются в пространстве
.
Так как функции тригонометрической системы ограничены на всей числовой прямой, то формулы, определяющие коэффициенты ряда Фурье, имеют смысл для любой суммируемой функции. Таким образом, каждой суммируемой функции
можно поставить в соответствие ряд Фурье
.
Ряд Фурье в комплексной форме[править]
С помощью формул Эйлера тригонометрические функции можно выразить через экспоненциальную следующим образом:
,
.
Преобразуем ряд Фурье, используя эти выражения:
.
Перегруппируем слагаемые:
,
где
,
а при
:
,
.
Подставляя интегральные выражения для
и
получим формулы для вычисления коэффициентов
:
.
Выражение
![{\displaystyle \Phi (x)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }c_{n}e^{inx}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a19878a1c04d70e747adf2fcb10edd89f767c648)
называется (тригонометрическим) рядом Фурье в комплексной форме.
Функции
образуют ортогональную систему, так как при
:
.
Экспоненциальные функция оказывается более удобной, чем тригонометрические, так как экспонента удовлетворяет простым
дифференциальным
![{\displaystyle {{de^{ax}} \over dx}=ae^{ax}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f0da3c182267430c2e655fe0684bd523ce0a0d7)
и функциональным уравнениям
.
Из соображений удобства (упрощение выкладок) будем в дальнейшем использовать ряд Фурье в комплексной форме.
Интеграл Дирихле[править]
Рассмотрим частные суммы ряда Фурье:
.
Подставим вместо коэффициентов
их интегральные выражения (изменим переменную интегрирования):
,
получим
.
Сменим порядок суммирования и интегрирования:
.
Сделаем замену
,
так как мы условились считать, что функция
периодически продолжена на всю числовую прямую, то пределы интегрирования можно оставить прежними:
.
Вычислим сумму, стоящую под знаком интеграла, по формуле суммы геометрической прогрессии:
.
Умножив числитель и знаменатель последней дроби на
,
получим
.
Таким образом
.
Данное выражение для частных сумм ряда Фурье называется интегралом Дирихле.
Функция вида
![{\displaystyle D_{n}(x)={1 \over {2\pi }}{{\sin({{2n+1} \over 2}z)} \over {\sin({z \over 2})}}={1 \over {2\pi }}\sum _{k=-n}^{n}e^{-ik(z)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3005b3975a2ef3f58af1899a44ba25b2814ceb66)
называется ядром Дирихле.
По определению ядра Дирихле:
,
.
Используя это равенство, запишем разность функции и частной суммы соответствующего ряда Фурье в виде
.
Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке[править]
Интеграл Дирихле позволяет свести вопрос о сходимости ряда Фурье к вопросу о равенстве нулю интеграла
.
Лемма 1. Если функция
является суммируемой на отрезке
, то
.
Теорема 1. Если
— суммируемая функция и при фиксированном
и некотором
существует интеграл
,
то частичные суммы
ряда Фурье функции
сходятся в точке
к
.
Условие существования интеграла
![{\displaystyle \int \limits _{-\delta }^{\delta }\left|{{f(x+t)-f(x)} \over {t}}\right|dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f693919fb4a7b45aa3ab7f7735a21948f15f037)
для некоторого
называется условием Дини.
Условия равномерной сходимости ряда Фурье[править]
Рассмотрим теперь условия равномерной сходимости ряда Фурье.
Если функция
не является непрерывной (имеет хотя бы один разрыв), то ряд Фурье не может сходится к ней равномерно, так как сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций является непрерывной.
Таким образом, непрерывность функции — это необходимое условие равномерной сходимости её ряда Фурье.
Теорема 2. Если функция
с периодом
абсолютно непрерывна, а её производная
принадлежит пространству
, то ряд Фурье функции
сходится к ней равномерно на всей числовой прямой.
Теорема 3. Если на некотором множестве
суммируемая функция
ограничена, а условие Дини выполняется на
равномерно, то есть для всякого
существует такое
, что неравенство
![{\displaystyle \int \limits _{-\delta }^{\delta }\left|{{f(x+t)-f(x)} \over {t}}\right|dt<\epsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8417c7ae421a616c8b99a98f6423dc39054cb0eb)
одновременно для всех
, то на множестве
ряд Фурье функции
сходится к этой функции равномерно.
Теорема Фейера[править]
Рассмотрим непрерывную на всей числовой прямой функцию
с периодом
и последовательность частных сумм соответствующего ряда Фурье (в комплексной форме):
.
Положим
.
Средние арифметические
частичных сумм ряда Фурье называются суммами Фейера.
Найдём интегральное представление для сумм Фейера, аналогичное интегралу Дирихле.
Используем интегральное представление частичных сумм:
.
Подставим эти выражения в определение сумм Фейера:
.
При выводе интеграла Дирихле, была получена следующая формула:
,
поэтому можно написать:
.
По формуле суммы геометрической прогрессии:
,
.
Так как
,
то
.
Воспользуемся формулами, выражающим тригонометрические функции через экспоненциальные:
,
,
получим:
.
Полученное равенство позволяет записать следующее интегральное выражение для сумм Фейера:
,
это выражение называется интегралом Фейера.
Функция
![{\displaystyle \Phi _{n}(z)={1 \over n}\sum _{k=0}^{n-1}D_{k}(z)={1 \over {2\pi n}}\left({{\sin {{nz} \over 2}} \over {\sin {z \over 2}}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22fa1dac416172fb717dcc4d771c6ffb7b958cff)
называется ядром Фейера. Укажем некоторые свойства ядра Фейера.
Во-первых, ядро Фейера, по определению, не меньше нуля:
.
Во-вторых, имеет место равенство
,
которое следует из определения ядра Фейера и равенства:
.
Данное свойство позволяет записать разность функции и соответствующей суммы Фейера следующим образом
.
Введём для любого вещественного числа
обозначение
,
тогда
.
Для доказательства этого факта заметим, что при
![{\displaystyle \delta <z<\pi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd7c4e92a6bde752894ef780d6079876733ccc3c)
выполняется неравенство
.
Кроме того,
,
а следовательно
.
Таким образом
,
из этой оценки и
следует, что
.
Следующая теорема даёт способ восстановление функции по её ряду Фурье.
Теорема Фейера. Если
— непрерывная функция с периодом
, то последовательность сумм Фейера этой функции
сходится к функции
равномерно на всей числовой оси.
Доказательство.
Так как функция
- непрерывная и периодическая, то она ограничена и равномерно непрерывна на всей числовой прямой, то есть существует такое положительно вещественное число
, что для любой точки числовой прямой
выполняется следующее неравенство
![{\displaystyle |f(x)|\leq M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfc8ec4d3c57aa126bee5459febb9832b99cbcc5)
и для каждого вещественного числа
существует такое вещественное число
, что из неравенства
![{\displaystyle |x_{2}-x_{1}|<\delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5889bec876a1ee0d4fc8fb6ece54d9372040d616)
вытекает неравенство
.
Для доказательства данной теоремы достаточно доказать, что интеграл
![{\displaystyle f(x)-\sigma _{n}(x)=\int \limits _{-\pi }^{\pi }[f(x)-f(x+z)]\Phi _{n}(z)dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d775ea3483605d93b48365b6e0c5864355d30ae1)
сходится при
к нулю равномерно на всей числовой прямой.
Данный интеграл можно представить в виде суммы трёх интегралов
,
где
,
,
.
Оценим эти интегралы:
,
,
.
Так как
, то можно указать такое
, что при
будет выполняться неравенство
,
а следовательно будет справедлива оценка
.
Так как это неравенство выполняется для всех
, а
можно задать произвольно, то
.
Что и требовалось доказать.
Полнота тригонометрической системы[править]
Теорема Фейера в пространстве L1[править]
Теорема Если
— суммируемая на отрезке
функция, то её суммы Фейера сходятся к ней по норме пространства
Доказательство
Выше было доказано, что имеет место равенство
,
где
— ядра Фейера.
Для доказательства утверждения теоремы достаточно показать, что
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }\left|f(x)-\sigma _{n}(x)\right|dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9187f195217aee19a6fc8d0f716c2235458c69a8)
Так как
,
то
.
Интеграл справа можно представить в виде суммы трёх интегралов:
,
где
,
,
.
В силу теоремы Фубини в этих интегралах можно изменить порядок интегрирования.
Поэтому
.
Рассмотрим внутренний интеграл:
,
следовательно
.
Аналогично можно показать, что имеет место оценка
.
Теперь рассмотрим интеграл
. Оценим
, так как
при
, то
.
Поэтому для интеграла
можно указать следующую оценку
.
В силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега, для любого
можно так выбрать
, что
,
следовательно
.
Таким образом
.