Основы алгебры/Уравнения, сводящиеся к квадратным: различия между версиями
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Se0808 (обсуждение | вклад) м переименовал «Уравнения, сводящиеся к квадртаным» в «Уравнения, сводящиеся к квадратным»: опечатка |
Se0808 (обсуждение | вклад) стиль |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
Большинство '''уравнений, сводящихся к квадратным,''' решаются при помощи замены переменной. Ниже приведены несколько примеров. |
|||
==Уравнения, содержащие модуль== |
== Уравнения, содержащие модуль == |
||
===Пример О.1=== |
=== Пример О.1 === |
||
<math>~x^2+2|x|-3=0</math>. Здесь мы можем воспользоваться тем, что <math>|x|^2=x^2</math>, и сделать замену <math>|x|=t,t \geqslant 0</math>. |
<math>~x^2+2|x|-3=0</math>. Здесь мы можем воспользоваться тем, что <math>|x|^2=x^2</math>, и сделать замену <math>|x|=t,t \geqslant 0</math>. |
||
Получим <math>~t^2+2t-3=0</math>. |
Получим <math>~t^2+2t-3=0</math>. |
||
Строка 14: | Строка 15: | ||
Ответ: <math>\pm 1</math> |
Ответ: <math>\pm 1</math> |
||
===Пример О.2=== |
=== Пример О.2 === |
||
<math>~x^2+4x+|x+2| +5=0</math>. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат: |
<math>~x^2+4x+|x+2| +5=0</math>. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат: |
||
Строка 28: | Строка 29: | ||
Ответ: <math>\varnothing</math> |
Ответ: <math>\varnothing</math> |
||
==Биквадратное уравнение== |
== Биквадратное уравнение == |
||
* '''Биквадратным уравнением''' называется [[уравнение]] вида <math>ax^4+bx^2+c, ~a,b,c \in \mathbb R, a \not =0</math> |
* '''Биквадратным уравнением''' называется [[уравнение]] вида <math>ax^4+bx^2+c, ~a,b,c \in \mathbb R, a \not =0</math> |
||
Такое уравнение сводится к квадратному заменой <math>x^2=t,t \geqslant 0</math>. |
Такое уравнение сводится к квадратному заменой <math>x^2=t,t \geqslant 0</math>. |
||
===Пример=== |
=== Пример === |
||
<math>~x^4-3x^2+1=0</math> |
<math>~x^4-3x^2+1=0</math> |
||
Строка 45: | Строка 47: | ||
<math>t_2=\frac {3-\sqrt {5}} {2} >0 \to x_{3,4}=\pm \sqrt {\frac {3-\sqrt {5}} {2}}</math> |
<math>t_2=\frac {3-\sqrt {5}} {2} >0 \to x_{3,4}=\pm \sqrt {\frac {3-\sqrt {5}} {2}}</math> |
||
==Симметрическое уравнение четвёртой степени== |
== Симметрическое уравнение четвёртой степени == |
||
* Симметрическим уравнением называют уравнение вида <math>\pm ax^4\pm bx^3+cx^2\pm bx\pm a=0,</math> где <math> a,b,c \in \mathbb R, a\ne 0</math>. |
* Симметрическим уравнением называют уравнение вида <math>\pm ax^4\pm bx^3+cx^2\pm bx\pm a=0,</math> где <math> a,b,c \in \mathbb R, a\ne 0</math>. |
||
Версия от 15:56, 14 декабря 2010
Большинство уравнений, сводящихся к квадратным, решаются при помощи замены переменной. Ниже приведены несколько примеров.
Уравнения, содержащие модуль
Пример О.1
. Здесь мы можем воспользоваться тем, что , и сделать замену .
Получим .
По теореме Виета, получим
Ответ:
Пример О.2
. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:
Замена:
Ответ:
Биквадратное уравнение
- Биквадратным уравнением называется уравнение вида
Такое уравнение сводится к квадратному заменой .
Пример
Сделаем замену . Получим:
и
Симметрическое уравнение четвёртой степени
- Симметрическим уравнением называют уравнение вида где .
Очевидно, не является корнем этого уравнения. Разделим уравнение на . Получим:
.
Перегруппируем слагаемые: .
Заметим, что .
Сделаем замену: . Тогда .
Получим квадратное уравнение относительно t: .
Чтобы найти x, необходимо подставить найденные значения t в уравнение: .