Микроэлектроника/Резисторы

Типы резисторов

В полупроводниковых интегральных микросхемах используются следующие типы резисторов в зависимости от используемых слоёв:

• диффузионные
• поликремнивые
• эпитаксиальные
• пинч-резисторы.

Для формирования резисторов в биполярной технологии используются области, из которых формируется структура танзистора: базовая, эммитерная и коллекторная области.

В КМОП технологии для резисторов используют области стока и кармана.

Расчёт кольцевых резисторов

Сопротивление трехмерного проводника произвольной формы

Рисунок 1 - Поперечное сечение и объемное изображение проводника произвольной формы

Сопротивление трехмерного проводника произвольной формы можно теоретически вычистить, используя следующую обобщенноу формулу для сопротивления, которая была получена Плонсеем и Колменом [8].

$R=\int \limits _{0}^{l}{\frac {du_{1}}{\int \limits _{byarea}(h_{2}h_{3}/\rho h_{1})du_{2}du_{3}}}$

(5.37)

где u₁,u₂ и u₃ - ортогональные криволинейные координаты, как показано на рис. 1;

h₁, h₂, h₃ - масшатбные множители ((произведение метрических коэффициентов)^1/2) [9], введенные так, что $h_{1}du_{1}$ и так далее есть дифференциальные элементы длины.

Из этого выражения следует, что сопротивление проводника с постоянным удельным сопротивлением является функцией лишь его геометрии. Необходимо подчеркнуть, что в уравнении (5.37) криволинейная координата $u_{1}$ возрастает в направлении, параллельном линиям тока, и перпендикулярна эквипотенциальным поверхностям. Две другие ортогональные криволинейные координаты $u_{2}$ и $u_{3}$ на эквипотенциальной поверхности введены для того, чтобы учесть площадь поперечного сечения элементарной трубки тока [8]. Из определения $u_{1}$ следует, что в случае применения уравнения (5.37) необходимо знать линии тока, т. е. должен быть известен вектор плотности тока $j$. Это в свою очередь предполагает решение уравнения Лапласа, поскольку вектор $j$ может быть получен, если известен градиент скалярного потенциала в проводнике. Решение уравнения Лапласа в простой замкнутой форме обычно можно получить лишь тогда, когда геометрия и границы достаточно элементарны, например являются круговыми или сферическими.

Для облегчения анализа применим, конечно, метод конформных отображений, очень полезный для преобразования сложных геометрических форм в простые. Например, рассмотрим случай, когда желательно найти сопротивление многогранной пластины, у которой контактами служат две или большее число ее граней. Задача может быть решена вычерчиванием многогранника в реальных осях и затем отображением реальных осей в прямоугольные [10]. Однако редко случается, когда решение такого типа оказывается сравнительно простым.

Для иллюстрации применения уравнения (5.37) рассмотрим проводящую пластину, имеющую цилиндрическую геометрию (рис. 5.10). Поскольку ток течет радиально, очевидно, что $u_{1}=r$, $u_{2}=\phi$, $u_{3}=z$, тогда как $h_{1}=h_{3}=1$ и $h_{2}=r$. Повсюду в этом разделе мы считаем, что удельное сопротивление материала постоянно; следовательно, уравнение (5.37) принимает вид

$R=\int \limits _{r_{1}}^{r_{2}}{\frac {dr}{\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{0}^{\theta }(r/\rho )d\phi dz}}={\frac {\rho _{s}}{\theta }}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

(5.38)

где $\rho _{s}=\rho /t$ — поверхностное сопротивление слоя.

Поскольку проводящая пластина имеет цилиндрическую геометрию (рис. 5.10), уравнение (5.37) можно легко решить и тем самым определить сопротивление.

Сопротивление круглого резистора

Рисунок 1 - Тело кольцевого резистора

С целью уменьшения разброса резисторов вследствие изменения их линейных размеров резисторы можно выполнять круглой формой, как показано на рисунке 1. Величина сопротивления кольцевого резистора может быть вычислена с помощью выражения:

$R={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}$

(1)

где $\rho _{\square }$ - поверхностное сопротивление, Ом/$_{\square }$;

$r_{1}$ - радиус внутреннего контакта;

$r_{2}$ - радиус внешнего контакта;

Для резисторов круговой формы имеет место логарифмическая зависимость сопротивления от размеров в отличие от линейной зависимости для резисторов прямоугольной формы.

Эквивалентная ширина (W) и длина (L) резистора равна:

$L=r_{2}-r_{1}$

$W={\frac {2\pi ({r_{2}}-{r_{1}})}{\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}}$

отсюда эквивалентный радиус r_W равен:

$r_{W}={\frac {{r_{2}}-{r_{1}}}{\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}}}$

Пример расчёта

Проведём проверку выражения (1). Для этого решим задачу вычисления значения суммарного сопротивления двух кольцевых резисторов (R=R1+R2), которые имеют один общий радиус:

r₁=r

r₂=2r

r₃=3r

$R={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {r_{3}}{r_{1}}}={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {3r}{r}}$

$R1={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {r_{2}}{r_{1}}}={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {2r}{r}}$

$R2={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {r_{3}}{r_{2}}}={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {3r}{2r}}$

${\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {3r}{r}}={\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {2r}{r}}+{\frac {\rho _{\square }}{2\pi }}\ln {\frac {3r}{2r}}$

$\ln {\frac {3r}{r}}=\ln {\frac {2r}{r}}+\ln {\frac {3r}{2r}}$

$\ln 3=\ln {\frac {2\cdot 3}{2}}$

Из чего следует справедливость выражения (1).

Литература

• Анализ и расчёт интегральных схем. Часть 1. Основы расчета интегральых схем и линейные схемы / Под ред. Д. Линна, Ч. Мейера, Д. Гамельтона и др.. — М.: Мир, 1969. — С. 173, 273. — 370 с.