Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями
м →Темперированный музыкальный ряд: Формула |
м Исправления |
||
Строка 11: | Строка 11: | ||
==Пифагорейский музыкальный ряд== |
==Пифагорейский музыкальный ряд== |
||
Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета (f<sub> |
Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета (f<sub>0</sub>). Второй звук – это квинта (f<sub>1</sub> = 1,5f<sub>0</sub>). Для получения третьего звука отложим квинту от втрого звука нашего ряда: 1,5f<sub>0</sub> * 1,5 = 2,25f<sub>0</sub>. Но интевал получился за пределами октавы (сложный), поэтому поделим его на два (октавный интервал), чем найдем идентичный звук внутри нашей октавы (=1,125f<sub>0</sub>). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда. |
||
Повторяем процесс: откладываем ''n'' квинт вверх и перемещаем их на ''m'' октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву: |
Повторяем процесс: откладываем ''n'' квинт вверх и перемещаем их на ''m'' октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву: |
||
<center> |
<center> |
||
{| |
{| |
||
|<math>f_n = {1,5^ |
|<math>f_n = {1,5^n\over 2^m}f_0</math> |
||
|где: |
|где: |
||
<math> |
<math>f_0</math> – исходный (произвольный) звук ряда; |
||
<math>f_n</math> – n-ный звук ряда; |
<math>f_n</math> – n-ный звук ряда; |
||
Строка 44: | Строка 44: | ||
Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это: |
Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это: |
||
<center>12 квинт : 7 октав = 1,5<sup> |
<center>12 квинт : 7 октав = 1,5<sup>12</sup> : 2<sup>7</sup> = 129,7463379 : 128</center> |
||
Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также '''пифагоровой коммой'''. |
Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также '''пифагоровой коммой'''. |
Версия от 21:25, 5 ноября 2004
Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Под этим термином понимается множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:
- ввести относительно простую систему записи музыки;
- строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано);
- многое другое.
Выберем точку отсчета, от которой с помощью интервалов будут выстраиваться остальные звуки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор её несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.
Сначала построим звукоряд внутри одной октавы (т.е. найдём звуки с простыми интервалами, между 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.
Пифагорейский музыкальный ряд
Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета (f0). Второй звук – это квинта (f1 = 1,5f0). Для получения третьего звука отложим квинту от втрого звука нашего ряда: 1,5f0 * 1,5 = 2,25f0. Но интевал получился за пределами октавы (сложный), поэтому поделим его на два (октавный интервал), чем найдем идентичный звук внутри нашей октавы (=1,125f0). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда.
Повторяем процесс: откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву:
где:
– исходный (произвольный) звук ряда; – n-ный звук ряда; n – порядковый номер звука; m – положительное эмпирическое число. |
Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.
Приложение.
Натуральный (чистый) звукоряд
Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
Приложение: таблица для чистого звукоряда.
Темперированный музыкальный ряд
Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это:
Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой.
Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал q, который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Найденое значение q=1,498307 называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.
Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется темперированным музыкальным рядом.
Выясним теперь вопрос: на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. n-я ступень получается при откладывание тепмерированной квинты n раз:
Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе полутоном, а интервал (21/12)2 = 1,122462 – тоном.
Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
Пронаблюдаем ещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:
Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.
Приложение: Темперированный звукоряд