Физика в конспектах

Этот викиучебник пишется как полноценный, завершённый курс физики для старшеклассников и студентов вузов. Материал лекций основан, по большей части, на статьях Википедии и лекциях лицея №1511 при МИФИ за 10 класс.

Предмет физики

Фи́зика (от греч. φύσις — природа) — область естествознания, наука, изучающая наиболее общие и фундаментальные закономерности, определяющие строение и развитие мира (материального мира, Вселенной).

Это наука о природе в самом общем смысле. Она изучает вещество (материю) и энергию и фундаментальные взаимодействия природы, управляющие движением тех, а также строение Вселенной вообще (космология).

Некоторые свойства общи для всех материальных систем, например, сохранение энергии; такие свойства называют физическими законами. Физику иногда называют фундаментальной, ибо другие естественные науки — биология, геология, химия… — описывают только некоторый класс материальных систем, подчиняющихся законам физики. Например, химия изучает молекулы и образованные из них вещества. Химические же свойства вещества однозначно определяются физическими свойствами атомов и молекул, которых описываются в таких разделах физики, как термодинамика, электромагнетизм и квантовая физика.

Физика тесно связана с математикой: та предоставляет набор понятий, которыми физические законы могут быть точно сформулированы. Физические теории почти всегда формулируются математически, причём используются более сложные разделы математики, чем обычно в других науках. И наоборот, развитие многих областей математики стимулировалось потребностями физических теорий (см. математическая физика).

Механика

Меха́ника (из греческого μηχανική, от μηχανή — «машина, прибор») — это раздел физики, изучающий механическое движение — движение тел в пространстве со временем и причины этого движения. Различают:Механика Ньютона или нерелятивистская механика или классическая механика она изучает не слишком быстрое движение макроскопических тел, т. е. скорости много меньше скорости света и тел, больших размера атома. Механика Эйнштейна или релятивистская механика. Изучает частный случай, когда скорость движения тел становится соизмеримой со скоростью света.

Модели в Физике

Моде́ль — описание предмета, процесса или явления на каком-либо формализованном языке, составленное для изучения его свойств в случаях, когда исследование самого объекта затруднено или невозможно. Чаще всего в качестве модели выступает другой материальный или логически мыслимый объект, замещающий в исследовании объект-оригинал. Соответствие свойств модели исходному объекту характеризуется адекватностью. Процесс создания модели называется моделированием.

Объекты механики называются механическими системами. Механическая система обладает определённым числом $k$ степеней свободы и описывается с помощью обобщённых координат $q_{1},...,q_{k}$. Основная задача механики состоит в описании эволюции во времени механической системы исходя из начальных условий (обобщённых координат и импульсов), внешних и внутренних сил. Обратная задача механики подразумевает нахождение действующих на систему и внутри неё сил по её эволюции.

Понятие степени свободы

Подавляющее большинство физических систем может находиться не в одном, а во многих состояниях. Такие состояния могут быть описаны как непрерывными (например, координаты тела), так и дискретными переменными (например, квантовые числа электрона в атоме). Независимые «направления»; переменные, характеризующие состояния системы, и называются степенями свободы. При математическом описании, $N$ степеням свободы отвечают $N$ независимых переменных, называемых обобщёнными координатами.

Так например самая простая механическая система это материальная точка. В пространстве она обладает только лишь тремя степенями свободы, так как её состояние полностью задано, если известны её три пространственных координаты. Другой пример, — абсолютно твёрдое тело, — обладает уже шестью степенями свободы. Полное описание такой системы потребует от нас задания трех пространственных координат центра масс и три угла, описывающих направление тела.

Классификация моделей

• статические
• динамические
• концептуальные
• топологические
• информационные
• логико-лингвистические
• семантические
• теоретико-множественные...

Модели в механике

Материальная точка

модель тела, размерами которого пренебрегли в условиях данной задачи,т.е размеры тела малы по сравнению с расстоянием,которое оно проходит. Материальная точка обладает массой. Еще: материальная точка — это механическая система, обладающая только поступательными степенями свободы,

Абсолютно твёрдое тело

модель тела, деформацией которого пренебрегли в условиях данной задачи. Еще: абсолютно твёрдое тело — это механическая система, обладающая только поступательными и вращательными степенями свободы. В трёхмерном пространстве и в случае отсутствия связей абсолютно твёрдое тело обладает 6 степенями свободы: три поступательных и три вращательных,

Твёрдость будет означать, что тело не может быть деформировано, то есть телу нельзя передать никакой другой энергии, кроме кинетической энергии поступательного или вращательного движения.

Твердость - это способность тела противостоять деформации. В качестве модели, упрощения некоторых разделов, таких как кинематика или динамика, такая модель может быть использована. Однако далеко не всегда подобное упрощение может быть использовано.

Абсолютно упругое тело

модель тела, которое полностью востанавливает свою форму и размеры после прекращения внешнего воздействия. Еще: абсолютно упругое тело — в механике это частный случай деформируемого тела, которое после прекращения действия причины, вызвавшей его деформацию, полностью восстанавливает исходные размеры и форму, т. е. в нём отсутствует остаточная деформация. Можно сказать, что абсолютно упругое тело — это тело, не обладающее диссипацией,

Деформируемое тело

механическая система, обладающая внутренними степенями свободы (в дополнение к поступательным и вращательным), которые обычно называют колебательными степенями свободы. Деформируемое тело без диссипационных степеней свободы называется абсолютно упругим телом; если же имеется диссипация, то тело называется неупругим,

Векторы

Вектор — это математический объект, характеризующийся величиной, направлением и складывающийся по правилу паралелограмма. Вектор можно переносить параллельно ему в любую точку пространства.

Операции над векторами

Сложение векторов

Сложение двух векторов происходит по правилу параллелограмма (треугольника). Пусть вектор ${\vec {a}}={\vec {AB}}$ и ${\vec {b}}={\vec {BC}}$. Тогда ${\vec {c}}={\vec {AC}}$ называют суммой векторов:

${\vec {c}}={\vec {AC}}={\vec {AB}}+{\vec {BC}}={\vec {a}}+{\vec {b}},$

Умножение вектора на число

Пусть дан не нулевой вектор ${\vec {a}}$ и действительное не равное нулю число $\ n$. Произведением $n\cdot {\vec {a}}$ называют такой вектор ${\overline {b}}$, что

1. модуль вектора $|{\vec {b}}|=n\;|{\vec {a}}|$, если $\ n>0$ и $|{\vec {b}}|=-n\;|{\vec {a}}|$, если $\ n<0$
2. вектора ${\vec {a}}\lVert {\vec {b}}$ коллинеарны ( - лежат на параллельных прямых);
3. вектора ${\vec {a}}\uparrow \uparrow {\vec {b}}$ сонаправлены, если $\ n>0$ и противоположно направлены ${\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}$, если $\ n<0$.

Скалярное произведение

Скалярным произведением $({\vec {a}},{\vec {b}})$ или ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$ ненулевых векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ называют число, равное $|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \varphi$, где $\varphi$ - угол между векторами ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$. Если модуль хотя бы одного вектора в скалярном произведении равен нулю, все произведение равно нулю.

Если для двух векторов a и b определены декартовые прямоугольные координаты

${\vec {a}}=\left\{x_{1},y_{1},z_{1}\right\},$ ${\vec {b}}=\left\{x_{2},y_{2},z_{2}\right\},$

то скалярное произведение этих векторов равно сумме попарных произведений их соответствующих координат, т.е.

${\vec {a}}{\vec {b}}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$

Скалярное произведение векторов a и b не является(!!!) площадью параллелограмма построенного на данных векторах.

Векторное произведение

Векторным произведением двух ненулевых векторов ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ называется вектор ${\vec {c}}$, такой что модуль этого вектора равен прозведению модулей векторов на синус угла между ними:

$|{\vec {c}}|=|[{\vec {a}},{\vec {b}}]|=|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\sin \varphi ,$

где $\varphi$ - угол между векторами ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$. Если модуль хотябы одного вектора в векторном произведении равен нулю, модуль всего произведения равен нулю. Это важное дополнение, так как угол между нулевым и ненулевым вектором мы определить не можем.

Направление вектора выбирается или по правилу правого винта или через правую тройку векторов.

Правило правого винта

Вектор ${\vec {c}}$ перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые вектора, и направлен от нас, если вращение от первого вектора ко второму по кратчайшему растоянию происходит по часовой стрелке, и направлен на нас, если вращение происходит против часовой стрелки. Таким образом: $[{\vec {a}},{\vec {b}}]=-[{\vec {b}},{\vec {a}}],$

Правая тройка векторов

Три вектора называются упорядоченной тройкой (правой или левой), если указано, какой из этих векторов является первым, какой - вторым, а какой - третьим. Тройка некомпланарных векторов ${\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}$ называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Если известны координаты векторов в ортогональной системе координат, то векторное произведение можно найти из определителя третьего порядка.

Определитель

Если два вектора ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$ определены своими прямоугольными координатами:

${\vec {a}}=\left\{x_{1},y_{1},z_{1}\right\}{\vec {b}}=\left\{x_{2},y_{2},z_{2}\right\}$

то их векторное произведение имеет вид

$[{\vec {a}}{\vec {b}}]=\left\{y_{1}z_{2}-y_{2}z_{1},z_{1}x_{2}-z_{2}x_{1},x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\right\}$

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :

$[{\vec {a}}{\vec {b}}]={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\x_{1}&y_{1}&z_{1}\\x_{2}&y_{2}&z_{2}\end{vmatrix}}$

Кинематика

Кинема́тика (от греч. κινέω «двигаю») — это раздел механики, изучающий механическое движение без анализа причин его вызывающих.

Основная задача кинематики: получение зависимости от времени координат (радиус-векторов) ${\vec {r}}(t)$ всех материальных точек исходя из того, что определены их начальные условия и ускорения в любой момент времени ${\vec {a}}(t)$.

Механи́ческое движе́ние — простейшая форма движения тел, заключающаяся в изменении с течением времени положения одних тел относительно других, либо положения частей тела друг относительно друга. При этом тела взаимодействуют по законам механики.

Основные понятия

Тело отсчета

тело, относительно которого рассматривается движение исследуемого тела,

Система отсчета

тело отсчета, связанная с ним система координат и синхронизированные между собой часы. Классическая механика Ньютона применима в особом классе инерциальных систем отсчёта. Все инерциальные системы отсчёта движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно.

Радиус-вектор

вектор, соединяющий начало координат с точкой расположения тела в данный момент времени,

Радиус-вектор и его производные

Радиус-вектор материальной точки указывает на её положение по отношению к точке, связанной с телом отсчета, которая обычно называется началом координат, и обозначается $\ o$. Итак, радиусом-вектором называется вектор ${\vec {r}}$ соединяющий начало координат с телом. В общем случае, материальная точка движется, поэтому ${\vec {r}}$ является функцией от времени (т.е. ${\vec {r}}(t)$). Скорость изменения положения со временем, определяется так:

${\vec {v}}={d{\vec {r}} \over dt}={\dot {\mathbf {r} }}.$

Ускорение, или скорость изменения скорости, это:

${\vec {a}}={d{\vec {v}} \over dt}={d^{2}{\vec {r}} \over dt^{2}}={\ddot {\mathbf {r} }}.$

Вектор ускорения может меняться за счет изменения его направления, величины, или и того и другого. Если скорость уменьшается, иногда пользуются термином «замедление», но вообще, термин «ускорение» относится к любому изменению скорости.

Нам понадобятся еще несколько определений:

Траектория

линия, которую описывает тело (центр масс) в процессе своего движения,

Физическая величина

величина, допускающая количественное описание. Физические величины бывают векторные и скалярные,

Путь

скалярная физическая величина, равная длине траектории, описываемой телом за рассматриваемый промежуток времени. Чаще всего обозначается как $\ S$, и в системе СИ измеряется в метрах,

Перемещение

векторная физическая величина, соединяющая начальное и конечное положение тела за рассматриваемый промежуток времени. Модуль перемещения меньше или равен длине пути,

$|\Delta {\vec {r}}\;|\leq S$

Скорость

Скорость

векторная физическая величина, характеризующая быстроту перемещения частицы по траектории, и направление, в котором движется частица в каждый момент времени.Скорость равна отношению перемещения тела за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

$<{\vec {V}}>={{\vec {r}}(t+\Delta {t})-{\vec {r}}t \over \Delta {t}}={\Delta {\vec {r}} \over \Delta {t}}$

Заметим, что $\ \Delta {t}$ вовсе не должно быть бесконечно малым.

Средняя путевая скорость

скалярная физическая величина, равная отношению пути, пройденного телом за рассматриваемый интервал времени к величине этого интервала. Здесь скорость считается уже от пройденного пути, а не от перемещения.

$V={\Delta {S} \over \Delta {t}}$

Мгновенная скорость

векторная физическая величина, равная пределу средней скорости при неограниченном уменьшении рассматриваемого интервала времени.

${\vec {V}}=\lim _{\Delta \ t\to 0}<{\vec {V}}>=\lim _{\Delta \ t\to 0}{{\Delta {\vec {r}}} \over {\Delta {t}}}={{d{\vec {r}}} \over {d{t}}}={\dot {\mathbf {r} }}$

Мгновенная скорость - первая производная от радиуса-вектора по времени, она всегда направлена по касательной к траектории движения тела в данной точке.

Скорость в координатном представлении:

${\vec {V}}=V_{x}\cdot {\vec {i}}+V_{y}\cdot {\vec {j}}+V_{z}\cdot {\vec {k}}$ $|{\vec {V}}|={\sqrt {V_{x}^{2}+V_{y}^{2}+V_{z}^{2}}}$

Ускорение

Ускорение

векторная физическая величина, равная отношению приращения скорости тела за некоторый промежуток времени к величине этого промежутка.

$<{\vec {a}}>={{\vec {v}}(t+\Delta {t})-{\vec {v}}(t) \over \Delta {t}}={\Delta {\vec {v}} \over \Delta {t}}$

Мгновенное ускорение

векторная физическая величина, равная пределу среднего ускорения при неограниченном уменьшении рассматриваемого интервала времени.

${\vec {a}}=\lim _{\Delta \ t\to 0}<{\vec {a}}>=\lim _{\Delta \ t\to 0}{{\Delta {\vec {v}}} \over {\Delta {t}}}={{d{\vec {v}}} \over {d{t}}}={{d^{2}{\vec {r}}} \over {d{t^{2}}}}={\ddot {\mathbf {r} }}$

Мгновенное ускорение - это вторая производная от радиуса-вектора по времени.

Ускорение в координатном представлении:

${\vec {a}}=a_{x}\cdot {\vec {i}}+a_{y}\cdot {\vec {j}}+a_{z}\cdot {\vec {k}}$ $|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$

Преобразования Галилея

Преобразования Галилея - в классической механике (механике Ньютона)это преобразования координат и времени при переходе от одной системы отсчета к другой.

${\begin{matrix}{\vec {r}}={\vec {r}}_{o}-{\vec {r'}}\;\;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \\({\vec {r}}-\Delta {\vec {r}})=({\vec {r}}_{o}+\Delta {\vec {r}}_{o})-({\vec {r'}}+\Delta {\vec {r'}})\\{\frac {\vec {r}}{\Delta {t}}}={\frac {{\vec {r}}_{o}}{\Delta {t}}}+{\frac {\vec {r'}}{\Delta {t}}}\;\;\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \end{matrix}}{\Bigg \rangle }\quad \Rightarrow \quad <{\vec {V}}>\;=\;<{\vec {V}}_{o}>\;+\;<{\vec {V'}}>$

Где:

• $<{\vec {V}}>$ - средняя скорость тела A относительно системы k' ;
• $<{\vec {V}}'>$ - средняя скорость тела А относительно системы k;
• $<{\vec {V}}_{o}>$ - средняя скорость системы k' относительно системы k.

Если $\Delta t\rightarrow 0$ то средние скорости совпадают с мгновенными:

${\vec {V}}\;=\lim _{\Delta t\rightarrow 0}\;<{\vec {V}}_{o}>+<{\vec {V'}}>={\vec {V}}_{o}+{\vec {V'}}$

Таким образом, скорость тела относительно неподвижной системы координат равна векторной сумме скорости тела относительно движущейся системы координат и скорости системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета. Аналогично можно получить формулу преобразования ускорений при переходе из одной системы координат в другую:

${\vec {a}}={\vec {a'}}+{\vec {a_{o}}}$

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, те $\ a_{o}=o$ то ускорение ${\vec {a}}$ тела относительно обоих систем отсчета одинаково, - принцип относительности Галилея.

Прямолинейное, равноускоренное и равномерное движение

Пусть движение некоторого тела описывается функцией радиус-вектора от времени, меняющейся по следующему закону:

	${\vec {r}}(t)={\vec {A}}+{\vec {B}}t+{\vec {C}}\;{t^{2} \over 2}$
	${\vec {r}}(t+\Delta {t})={\vec {A}}+{\vec {B}}(t+\Delta {t})+{\vec {C}}\;{(t+\Delta {t})^{2} \over 2}$
	${\vec {r}}(t+\Delta {t})-{\vec {r}}(t)={\vec {B}}\Delta {t}+{\vec {C}}\;{1 \over 2}(\Delta {t})(2t+\Delta {t})$
	${\frac {\Delta {\vec {r}}}{\Delta {t}}}={\vec {B}}+{\vec {C}}\;t+{{\vec {C}} \over 2}\Delta {t}=<{\vec {V}}>$

При неограниченном уменьшении промежутка времени $\;\Delta {t}\rightarrow {0}\;$ средняя скорость $<{\vec {V}}>$, которую мы нашли, совпадает с мгновенной скоростью:

	${\vec {V}}=\lim _{\Delta {t}\rightarrow {0}}<{\vec {V}}>={\vec {B}}+{\vec {C}}t$
	${\vec {V}}(t+\Delta {t})={\vec {B}}+{\vec {C}}(t+\Delta {t})$
	${\vec {V}}\Delta {t}={\vec {C}}\Delta {t}\quad \quad \quad {\vec {a}}=\lim _{\Delta {t}\rightarrow {0}}<{\vec {a}}>={\vec {C}}$

Таким образом, рассмотренная зависимость радиус-вектора соответствует механическому движению с постоянным ускорением, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени получают равные приращения. Такое движение называется равноускоренным и описывается в общем виде следующей системой уравнений.

${\begin{matrix}{\vec {r}}={\vec {r}}_{o}+{\vec {V}}_{o}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}\quad \\{\vec {V}}=V_{o}+{\vec {a}}t\;\quad \quad \quad \\{\vec {a}}=const\;\quad \quad \quad \quad \end{matrix}}{\Bigg \rangle }$

Где ${\vec {V}}_{o},{\vec {r}}_{o}$ - начальные условия.

Криволинейное движение

Для описания криволинейного движения введем дополнительный единичный вектор $\ {\vec {\tau }}$, сонаправленный скорости. Тогда скорость в момент $\ t$:

${\vec {V}}(t)=|{\vec {V}}(t)|\cdot {\vec {\tau }}(t)=V(t)\cdot {\vec {\tau }}(t)$

Отсюда,

${\vec {V}}(t+\Delta t)={\vec {V}}+\Delta {\vec {V}}=(V+\Delta V)\cdot ({\vec {\tau }}+\Delta {\vec {\tau }})$

Причем $({\vec {\tau }}+\Delta {\vec {\tau }})$ - все тот же единичный вектор.

Отсюда следует:

$\Delta {\vec {V}}=V{\vec {\tau }}+V\Delta {\vec {\tau }}+\Delta V{\vec {\tau }}+\Delta V\Delta {\vec {\tau }}-V{\vec {\tau }}=$
$=V\Delta {\vec {\tau }}+\Delta V{\vec {\tau }}+\Delta V\Delta {\vec {\tau }},$

Делим на $\Delta {\vec {t}}$

${\Delta {\vec {V}} \over \Delta {t}}={\vec {a}}={V\Delta {\vec {\tau }} \over \Delta {t}}+{\Delta V{\vec {\tau }} \over \Delta {t}}+{\Delta V\Delta {\vec {\tau }} \over \Delta {t}},$

При $\Delta t\to 0$ последний элемент уравнения $\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta V\Delta {\vec {\tau }} \over \Delta {t}}=0$ и тогда все уравнение принимает вид:

${\vec {a}}=V\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta {\vec {\tau }} \over \Delta {t}}+{\vec {\tau }}\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta V \over \Delta {t}},$

Где:

• $a_{n}=V\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta {\vec {\tau }} \over \Delta {t}}=V{d{\vec {\tau }} \over dt}$ - нормальное ускорение (перпендикулярно скорости)
• $a_{\tau }={\vec {\tau }}\lim _{\Delta t\to 0}{\Delta V \over \Delta {t}}={\vec {\tau }}{dV \over dt}$ - тангенциальное ускорение (параллельно скорости)

Тогда:

${\vec {a}}=V{d{\vec {\tau }} \over dt}+{\vec {\tau }}{dV \over dt}=a_{n}+a_{\tau },$

Нормальное ускорение

Теперь давайте найдем формулу для нормального ускорения, т.е. ускорения при движении по кругу.

Динамика

Дина́мика (от греч. δύναμις «сила») — раздел механики, в котором изучаются причины возникновения механического движения. Динамика оперирует такими понятиями, как масса, сила, импульс, энергия.

Масса

скалярная физическая величина, являющаяся количественной мерой инертности тела, а также характеризующая количество вещества,

Сила

векторная физическая величина, являющаяся мерой взаимодействия тел и приводящая к появлению у тела ускорения или к деформации тела. Сила характеризуется величиной, направлением и точкой приложения,

Линия действия силы

линия, вдоль которой действуют силы. Если тело является абсолютно твердым, то точку приложения силы можно перемещать вдоль линии действия силы в пределах тела.

Импульс

векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость: ${\vec {p}}=m{\vec {v}}$,

Энергия

характеристика движения и взаимодействия тел, их способность совершать изменения во внешнем мире. Часто можно встретить упрощённое определение энергии как способности тела совершать работу. Будучи удобным в класической механике, такое определение, тем не менее, не вполне точно, так как не всегда всю энергию можно перевести в механическую работу (см. второе начало термодинамики).

Масса

Под массой в динамике понимают два различных свойства вещества:

• инертная масса, которая характеризует меру инертности тел и участвует во втором законе Ньютона,
• гравитационная масса, которая определяет, с какой силой тело взаимодействует с внешними гравитационными полями (пассивная гравитационная масса) и какое гравитационное поле создаёт само это тело (активная гравитационная масса).

Как установлено экспериментально, эти две массы пропорциональны друг другу. Не было обнаружено никаких отклонений от этого закона, поэтому коэффициент пропорциональности обычно выбирают равным единице и говорят о равенстве инертной и гравитационной масс. Равенство инертной и гравитационной масс составляет содержание слабого принципа эквивалентности — составной части Эйнштейновского принципа эквивалентности, который является одним из основных положений общей теории относительности.

На равенство инертной и гравитационной масс обратил внимание ещё Ньютон, он же впервые проверил этот закон с точностью порядка 10−3. С другой стороны, можно сказать, что первая проверка принципа эквивалентности была выполнена ещё Галилеем, который открыл универсальность свободного падения — как стало понятно позже, независимость ускорения свободного падения от материала, из которого состоит тело, является следствием равенства инертной и гравитационной масс. На сегодняшний день слабый принцип эквивалентности экспериментально проверен с очень высокой степенью точности (3×10−13).

Масса обладает следующими свойствами:

• Масса положительна;
• Аддитивность - масса системы тел равна сумме масс каждого из тел, входящих в систему;
• Инвариантность - Масса не зависит от характера и скорости движения тела (в рамках классической механики);
• Масса замкнутой системы тел сохраняется;

Энергия

Энергия в физике встречается в разных видах:

• Классическая механика
  • кинетическая энергия
  • потенциальная энергия (в более общем случае - энергия взаимодействия тел)
• Термодинамика
  • внутренняя энергия в термодинамике, а также её разновидности свободная энергия, потенциал Гиббса, энтальпия
  • энергия связи
• Теория относительности и Квантовая физика
  • энергия покоя
  • энергия полей, в частности, энергия электромагнитного поля и лучистая энергия, переносимая электромагнитным излучением
  • энергия вакуума в квантовой теории поля
  • тёмная энергия в космологии

Законы Ньютона

Первый закон Ньютона гласит, что в инерциальных системах отсчёта замкнутая система продолжает оставаться в состоянии покоя или прямолинейного равномерного движения. По сути, этот закон постулирует инертность тел и ограничевает область применения механики Ньютона инерциальными системами отсчёта. Это может казаться очевидным сейчас, но это не было очевидно на заре исследований природы. Так, например, Аристотель утверждал, что причиной всякого движения является сила, т. е. у него не было движения по инерции.

Первый закон Ньютона есть следствие принципа относительности. Динамику следует начинать с принципа относительности Галилея и преобразования координат Галилея, а затем формулировать второй и третий законы Ньютона. Так сделано И.Е. Иродовым в его "Механике". Такой подход устраняет неясность повсеместно принятых формулировок законов Ньютона, в которых неявно предполагается, что эти законы формулируется для инерциальных систем отсчета, в то время как самого определения инерциальной системы еще не дано. К тому же восстанавливается не только логика, но и историческая справедливость.

Второй закон Ньютона диктует, на что на самом деле влияет сила: сила, действующая на систему извне, приводит к ускорению системы. Заметим, что если система замкнута, то на неё не действует никаких сил, следовательно, по второму закону Ньютона, её ускорение нуль, а значит, она может двигаться только с постоянной скоростью.

${\vec {F}}=m{\vec {a}}={\Delta {\vec {p}} \over \Delta {t}}$

Третий закон Ньютона объясняет, что происходит с двумя взаимодействующими телами. Возьмём для примера замкнутую систему, состоящую из двух тел. Первое тело может действовать на второе с некоторой силой ${\vec {F}}_{12}$, а второе — на первое с силой ${\vec {F}}_{21}$. Как соотносятся силы? Третий закон Ньютона утверждает: сила действия равна по модулю и противоположна по направлению силе противодействия. Подчеркнём, что эти силы приложены к разным телам, а потому вовсе не компенсируются. Подчеркнем еще, что эти силы имеют одинаковую природу.

${\vec {F}}_{21}=-{\vec {F}}_{12}$

Следствия

Из законов Ньютона сразу же следуют некоторые интересные выводы. Так, третий закон Ньютона говорит, что как бы тела ни взаимодействовали, они не могут изменить свой суммарный импульс: возникает закон сохранения импульса. Далее, оказывается, что многие силы вокруг нас (в частности, поле сил гравитации) обладают свойством потенциальности: работа внешних сил по переносу тела из одной точки в другую не зависит от конкретного пути (на языке математики: ротор силового поля тождественно равен нулю). В этом случае силу (векторную величину) можно представить как градиент некоторой скалярной величины — потенциала. Для того, чтобы третий закон Ньютона автоматически выполнялся, надо потребовать, чтобы потенциал взаимодействия двух тел зависел только от модуля разности координат этих тел U(|r₁-r₂|). Тогда возникает закон сохранения суммарной механической энергии взаимодействующих тел:

${m_{1}{v}_{1}^{2} \over 2}+{m_{2}{v}_{2}^{2} \over 2}+U(|{r}_{1}-{r}_{2}|)=const.$

Силы инерции

Законы Ньютона, строго говоря, справедливы только в инерциальных системах отсчета. Если мы честно запишем уравнение движения тела в неинерциальной системе отсчета, то оно будет по виду отличаться от второго закона Ньютона. Однако часто, для упрощения рассмотрения, вводят некую фиктивную "силу инерции", и тогда эти уравнения движения переписываются в виде, очень похожем на второй закон Ньютона. Математически здесь все корректно, но с точки зрения физики новую фиктивную силу нельзя рассматривать как нечто реальное, как результат некоторого реального взаимодействия. Ещё раз подчеркнем: "сила инерции" — это лишь удобная параметризация того, как отличаются законы движения в инерциальной и неинерциальной системах отсчета.

Комментарии ко второму закону Ньютона

Уравнение F = ma (т.е. второй закон Ньютона) является дифференциальным уравнением второго порядка, поскольку ускорение есть вторая производная от координаты по времени. Это значит, что эволюцию механической системы во времени можно однозначно определить, если задать её начальные координаты и начальные скорости. Заметим, что если бы уравнения, описывающие наш мир, были бы уравнениями первого порядка, то из нашего мира исчезли бы такие явления как инерция, колебания, волны.

Специальная теория относительности

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО), ча́стная тео́рия относи́тельности — теория, заменившая механику Ньютона при описании движения тел со скоростями, близкими к скорости света. При малых скоростях различия между результатами СТО и ньютоновской механикой становятся несущественными.

Создание СТО

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре и А. Эйнштейна. Вопрос приоритета в создании СТО имеет дискуссионный характер: основные положения и полный математический аппарат теории, включая групповые свойства преобразований Лоренца, в абстрактной форме были впервые сформулированы А. Пуанкаре в работе «О динамике электрона» на основе предшествующих результатов Г. А. Лоренца, а явный абстрактный вывод базиса теории — преобразований Лоренца, из минимума исходных постулатов был дан А. Эйнштейном в практически одновременной работе «К электродинамике движущихся сред». По этому поводу в англоязычной Википедии есть отдельная статья.

Постулаты Эйнштейна

СТО полностью выводится на физическом уровне строгости из двух постулатов (положений):

1. Справедлив принцип относительности Эйнштейна — расширение принципа относительности Галилея.
2. Скорость света не зависит от скорости движения источника во всех инерциальных системах отсчёта.

Формулировка второго постулата может быть шире: «Скорость света постоянна во всех инерциальных системах отсчёта», но для вывода СТО достаточно его исходной формулировки Эйнштейном, записанной выше. Приписывание постулатов Эйнштейну правомерно в той степени, что до его работы эти, уже сформулированные отдельно друг от друга (в частности, А. Пуанкаре), утверждения в совокупности явным образом никем не рассматривались.

Иногда в постулаты СТО также добавляют условие синхронизации часов по А. Эйнштейну, но принципиального значения оно не имеет: при других условиях синхронизации лишь усложняется математическое описание экспериментальной ситуации без изменения предсказываемых и измеряемых эффектов.

Экспериментальная проверка постулатов СТО в известной степени затруднена проблемами философского плана: возможностью записи уравнений любой теории в инвариантной форме безотносительно к её физическому содержанию, и сложности интерпретации понятий «длина», «время» и «инерциальная система отсчёта» в условиях релятивистских эффектов.

Тем не менее, опора на достижения экспериментальной физики позволяет утверждать, что в пределах своей области применимости — при пренебрежении эффектами гравитационного взаимодействия тел, СТО является справедливой с очень высокой степенью точности (до 10^-12 и выше). По меткому замечанию Л. Пэйджа «В наш век электричества, вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать».

Сущность СТО

Следствием постулатов СТО являются преобразования Лоренца, заменяющие собой преобразования Галилея для нерелятивистского, «классического» движения. Эти преобразования связывают между собой координаты и времена одних и тех же событий, наблюдаемых из различных инерциальных систем отсчёта.

Именно они описывают такие знаменитые эффекты, как замедление хода времени и сокращение длины быстродвижущихся тел, существование предельной скорости движения тела (коей является скорость света), относительность понятия одновременности (два события происходят одновременно по часам в одной системе отсчета, но в разные моменты времени по часам в другой системе отсчета).

При движении с околосветовыми скоростями видоизменяются также и законы динамики. Так, можно вывести, что второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован при скоростях тел, близких к скорости света. Кроме того, можно показать, что и выражение для импульса и кинетической энергии тела уже имеет более сложную зависимость от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является безусловно верной теорией в своей области применимости. Специальная теория относительности перестает работать в масштабах всей Вселенной, а также в случаях сильных полей тяготения, где её заменяет более общая теория — общая теория относительности. Специальная теория относительности применима и в микромире, её синтезом с квантовой механикой является квантовая теория поля.

Молекулярная физика

Строение вещества

Вещество состоит из молекул, молекулы – из атомов. Слово «атом» переводится c греческого как «неделимый». Принято считать, что первым идею о том, что материя состоит из великого множества мельчайших и потому невидимых частиц, выдвинул древнегреческий философ Демокрит (V век до н. э.). О жизни Демокрита практически ничего неизвестно, и труды этого мыслителя не дошли до наших дней. Логика рассуждений Демокрита была крайне проста. «Представим, — говорил он, — что у нас есть самый острый в мире нож. Берем первый попавшийся под руку материальный объект и разрезаем его пополам, затем одну из получившихся половинок также разрезаем пополам, затем разрезаем пополам одну из получившихся четвертинок и так далее. Рано или поздно, — утверждал он (основываясь, как и все древнегреческие мыслители, прежде всего на философских соображениях), — мы получим частицу столь мелкую, что дальнейшему делению на две она не поддается. Это и будет неделимый атом материи.» По представлениям Демокрита атомы были вечными, неизменными и неделимыми. От древнегреческих представлений об атоме на сегодняшний день сохранилось разве что само слово «атом». Теперь мы знаем, что атом не является «вечным, неизменным и неделимым», он состоит из более фундаментальных частиц (протонов, нейтронов, электронов). Идея об атомном строении материи так и оставалась чисто философским умозаключением вплоть до начала XIX века, когда Академия наук в Париже признала эту идею теорией. К этому времени появились работы таких известных ученых, как Ломоносов, Авогадро, Перрен, Максвелл, Больцман и многих других. Идея атомизма прошла сложный путь развития, выдержала критику древнегреческого мыслителя Аристотеля, средневековой церкви, опровергла различные противоречивые гипотезы некоторых ученых XIX века, и вылилась в стройную теорию в первой половине XX века.

Электродинамика

Электростатическое поле

В пространстве вокруг электрических зарядов возникает электро-статическое поле (заряды не подвижны). Принято считать, что электростатическое поле является объективной реальностью. Обнаружить поле можно с помощью пробного электрического заряда. Пробный положительный точечный заряд должен быть таким, чтобы он не искажал картины иследуемого поля.

Магнитное поле

Движущиеся заряды в окружающем пространстве создают магнитное поле, которое является одной из форм существования материи. В отличие от электростатического поля, магнитное действует только на движущиеся заряды. Проводники с текущими по ним токами в окружающем пространстве создают магнитное поле. Принято различать макро- и микро-токи. Макротоки - это токи, текущие по проводникам. В любом веществе электроны движутся по круговым орбитам. Движение электронов в атоме по круговым орбитам тоже приводит к созданию магнитного поля. Токи, создаваемые в веществах движущимися электронами называют микротоками. Гипотеза Ампера: в каждом веществе за счёт движения электронов возникают микротоки. Для исследования магнитного поля применяют магнитные стрелки (опыт Эстерда). Магнитная стрелка представляет собой магнит, одетый на остриё. При пропускании тока через проводник стрелка испытывает силовое воздействие (устанавливается перпендикулярно проводнику). Другой метод исследования магнитного поля - с помощью плоского контура с током. Форма контура не играет роли.

Необходимо, чтобы размер контура был настолько мал, чтобы не искажал исследуемое поле. Контуры, вносимые в магнитное поле испытывают ориентирующее действие со стороны этого поля. Рамки принято характеризовать положительной нормалью. Положительной называется нормаль, проведённую к центру проводника, удовлетворяющего правилу правого винта по направлению тока. На основании действия сил на рамку делают вывод: магнитное поле - силовое и его надо характеризовать определённым направлением. За направление магнитного поля принимают направление положительной нормали в данном месте расположения контура с током. Определение характеристик магнитного поля связано с определением поведения контура с током в поле. В однородном поле внесён контур тока таким образом, чтобы вдоль линий поля была направлена плоскость.

Пара сил создаёт вращающий момент M. Опыт показывает, что вращ. момент зависит от некот. силовой хар-ки поля и от силы тока в рамке (M~B; |M|~|I|). Для всех рамок вводится хар-ка, связанная с размерами рамок и силой тока, текущей в них. Pm - магнитный момент. Pm=I•S [А•м2]. Магн. момент явл. вектором. Pm=n•I•S, где n - орт полож. нормали, т.е. Pm || n. Опыт показ., что M=[Pm , B] - механический вращ. момент равен векторному произведению магнитного момента рамки на вектор индукции магн. поля. M=Pm•B•sin (=Pm^B). Из этой ф-лы видно, что M=max, если =90° (положение I на рис.) Mmax=Pm•B(1). M=0 при =0 (полож II). Полож. II соответствует устойчивому равновесию рамки.

Электромагнитная индукция

Явление электромагнитной индукции обнаружено в 1831 г. Майклом Фарадеем. Оно выражает взаимосвязь электрических и магнитных явлений.

Электромагнитная индукция – явление возникновения ЭДС в контуре при изменении магнитного потока, пронизывающего контур.

Индукционный ток — ток, возникающий в контуре при изменении магнитного потока. Если контур замкнут, то ЭДС индукции проявляется в возникновении индукционного электрического тока

$I={E_{i} \over R}$ , где R — сопротивление контура, $'''E_{i}'''$ — ЭДС индукции.

Если контур разомкнут, то на концах проводника возникает разность потенциалов, равная $E_{i}$ .

Закон электромагнитной индукции: ЭДС электромагнитной индукции пропорциональна скорости изменения магнитного потока Ф через площадь, ограниченную контуром, т.е.:

$E_{i}=-{{d\Phi } \over dt}$

Если контур содержит N витков, то

$E_{i}={-N{{d\Phi } \over dt}}$

Знак минус в данном выражении ставится в соответствии с правилом Ленца

Индуктивность – это физическая величина, численно равная ЭДС самоиндукции $E_{ci}$ , возникающей в контуре при изменении силы тока на один ампер за одну секунду:

$E_{ci}=-{{\Delta \Phi } \over {\Delta t}}=-L{\Delta I \over \Delta t}$

Единицу индуктивности называют генри (Гн):

Гн = В·А^-1·с = кг·м²·с^-2·А^-2

Единица названа в честь американского учёного Джозефа Генри.

Переменный электрический ток

Переме́нный ток — электрический ток, меняющийся во времени своё направление, обычно периодически.

Под переменным током также подразумевают ток в обычных одно- и трёхфазных сетях. В этом случае параметры переменного тока изменяются по гармоническому закону.

Поскольку переменный ток изменяет своё направление во времени, простые способы решения задач, пригодные для цепей постоянного тока, здесь непосредственно неприменимы. При очень высоких частотах заряды могут совершать колебательное движение — перетекать из одних мест цепи в другие и обратно. При этом, в отличие от цепей постоянного тока, токи в последовательно соединённых проводниках могут оказаться неодинаковыми. Ёмкости, присутствующие в цепях переменного тока, усиливают этот эффект. Кроме того, при изменении тока сказываются эффекты самоиндукции, которые становятся существенными даже при низких частотах, если используются катушки с большой индуктивностью. При сравнительно низких частотах цепи переменного тока можно по-прежнему рассчитывать с помощью правил Кирхгофа, которые, однако, необходимо соответствующим образом модифицировать.

Цепь, в которую входят разные резисторы, катушки индуктивности и конденсаторы, можно рассматривать, как если бы она состояла из обобщённых резистора, конденсатора и катушки индуктивности, соединённых последовательно. Рассмотрим свойства такой цепи, подключённой к генератору синусоидального переменного тока. Чтобы сформулировать правила, позволяющие рассчитывать цепи переменного тока, нужно найти соотношение между падением напряжения и током для каждого из компонентов такой цепи.

Конденсатор играет совершенно разные роли в цепях переменного и постоянного токов. Если, например, к цепи подключить электрохимический элемент, то конденсатор начнёт заряжаться, пока напряжение на нём не станет равным ЭДС элемента. Затем зарядка прекратится и ток упадёт до нуля. Если же цепь подключена к генератору переменного тока, то в один полупериод электроны будут вытекать из левой обкладки конденсатора и накапливаться на правой, а в другой — наоборот. Эти перемещающиеся электроны и представляют собой переменный ток, сила которого одинакова по обе стороны конденсатора. Пока частота переменного тока не очень велика, ток через резистор и катушку индуктивности также одинаков.

В устройствах-потребителях переменного тока переменный ток часто выпрямляется выпрямителями для получения постоянного тока.

Оптика

Свет — электромагнитная волна

Что такое свет? Странный вопрос, подумаете Вы, этот термин настолько очевиден, что дать точное определение становится очень сложно. Но давайте всё-таки попробуем это сделать. Свет сопровождает нас везде, без света невозможна жизнь в такой форме, какая она сейчас. Основной источник света на Земле это, безусловно, Солнце. Но давайте подумаем, какова природа света, каковы его свойства. Чтобы исследовать свойства света, нужно обратиться к собственным наблюдениям и опытам. Самый доступный прибор для исследования свойств света - это наш основной орган восприятия окружающего мира – глаз. Если дать определение света исходя из ощущений, которые он вызывает, то определение будет следующим. СВЕТ – это зрительное ощущение и излучение, вызывающее такое ощущение. Но ощущения субъективны, и такое определение, конечно, нестрогое. К тому же от древних греков и индусов дошли утверждения о том, что зрение есть нечто исходящее из глаза и как бы ощупывающее предметы. Но тогда возникает вопрос: почему мы не видим в темноте? Итак, понятно, что, исследуя свойства света только с помощью глаза, можно прийти к заблуждению. С помощью глаза мы достоверно можем определить лишь наличие или отсутствие света. Чтобы достоверно изучить свойства света, нам необходимо применить какие-то другие приборы. Если мы в солнечный день встанем спиной к солнцу, то увидим на земле свою тень. Если мы в одной из стенок коробки сделаем маленькое отверстие, а противоположную от отверстия стенку заменим белой матовой бумагой и направим полученное устройство отверстием на ярко освещенный предмет, то мы увидим на белой бумаге перевернутое изображение этого предмета. Таким образом мы получили камеру обскуры. Эти опыты говорят нам о том, что свет распространяется прямолинейно, и если на его пути поставить преграду, то свет за эту преграду не попадет. Эта модель распространения света является основой геометрической оптики. Но если мы на пути белого луча света поставим стеклянную призму, то увидим, что за призмой белого луча нет, а на экране появилась радуга. Эта радуга называется спектром. Этот опыт показывает, что белый свет состоит из нескольких цветов. Этот факт был известен еще Исааку Ньютону. Опыт с призмой называется опыт Ньютона. Но есть еще ряд свойств света, которые расходятся с представлениями геометрической оптики. Чтобы доказать это утверждение, нам потребуется специальный источник света – лазер. Если теперь мы осветим лучом лазера небольшое отверстие, то на экране мы получим не однородно освещенное пятно, как в случае белого света, а чередование темных и светлых колец (в случае круглого отверстия). Такую картину распределения света невозможно описать с точки зрения геометрической оптики, но легко объясняется с точки зрения волновой оптики. Эта картина называется картиной интерференции. Таким образом, на основании этих двух опытов можно сделать вывод, что свет обладает свойствами волны. Свет – это волна. Если же обратиться к теории Джеймса Максвелла, то убедимся, что скорость распространения электромагнитных волн совпадает со скоростью света. Откуда следует вывод, что свет – это электромагнитная волна.

Волновые свойства света

Дисперсия

Дисперсия света — разложение света в спектр, явление характеризующее зависимость показатель преломления вещества от длины волны.

При попытки усовершенствовать телескоп, Ньютон обратился к исследованию цветов, наблюдаемых при преломлении света. Стремясь получить линзы лучшего качества, Ньютон убедился, что главным недостатком изображений является наличие окрашенных краёв. Исследуя окрашивание при преломлении, Ньютон сделал величайшие оптические открытия (например, явление дисперсии).

Свет от источника падает на узкое отверстие, при помощи линзы изображение щели получается на экране в виде узкого белого прямоугольника.

Файл:Image001.png
Поместив на пути пучка света призму, Ньютон обнаружил, что изображение щели сместится и превратится в окрашенную полоску (подобное явление мы наблюдаем в радуге). Это радужное изображение Ньютон условно разбил на 7 цветов.

В основных опытах Ньютона заключались следующие открытия:

1. Свет различного цвета характеризуется различными показателями преломления в веществе.

2. Показатель преломления вещества зависит от длины световой волны.

3. Белый свет есть совокупность простых цветов.

Дифракция

Дифракция — это одно из физических явлений, в котором проявляется волновая природа света.

Явление дифракции можно наблюдать с помощью дифракционной решетки.

Дифракционная решётка — оптический прибор, представляющий собой совокупность большого числа параллельных, равноотстоящих друг от друга штрихов одинаковой формы, нанесённых на плоскую или вогнутую оптическую поверхность. Таким образом, дифракционная решетка представляет собой периодическую структуру: штрихи с определённым и постоянным для данной решётки профилем повторяются через строго одинаковый промежуток d, называемый периодом дифракционной решетки. Если штрихи нанесены на плоскую поверхность, то дифракционные решетки называются плоскими, если на вогнутую (обычно сферическую) поверхность — вогнутыми. Различают отражательные и прозрачные дифракционные решетки. У отражательных штрихи наносятся на зеркальную (обычно металлическую) поверхность и наблюдение ведётся в отражённом свете. У прозрачных штрихи наносятся на поверхность прозрачной (обычно стеклянной) пластинки (или вырезаются в виде узких щелей в непрозрачном экране) и наблюдение ведётся в проходящем свете. В современных спектральных приборах применяются главным образом отражательные дифракционные решетки.

Виды дифракционных решеток:

1. Зонная решетка Френеля (пластинка)

2. Амплитудная синусоидальная решетка

3. Фазовая решетка

Интерференция

Интерференция света — это явление сложения световых волн, при котором обычно наблюдается распределение интенсивности света в виде чередующихся светлых и темных полос. Явление взаимного усиления (ослабления) света, при наложении двух его волн, которые имеют одинаковые частоты колебаний.

Это явление наблюдались еще Ньютоном, но он не мог объяснить его с точки зрения его корпускулярной теории. Объяснить интерференцию света как волновое явление смогли начале 19 в. Т. Юнг и О. Френель

Свет, испускаемый разными источниками, строго монохроматическим не бывает. Поэтому для наблюдения интерференции свет от одного источника нужно разделить на два пучка. Для деления волнового фронта пучок света пропускается, например, через два близко расположенных отверстия в непрозрачном экране.

Квантовая физика

Квантовая физика

Прорыв в простоте понимания здесь был достигнут благодаря подходу обратной задачи. См. книгу "Послушная квантовая механика. Новый статус теории", которая является не имеющим аналогов в мировой литературе курсом по квантовой интуиции. Ее можно бесплатно скачать в интернете на страничке

http://theor.jinr.ru/~zakharev

а также получить ее усовершенствованную английскую версию по электронной почте zakahrev@theor.jinr/ru.

Символы

Чтобы не искать их по всей Википедии... Формулы подобраны и составлены так, чтобы наилучшим образом отразить правила их построения:

${\vec {\alpha }}+{\vec {\beta }}=180^{o}-{\vec {\gamma }}$,

${a \over \sin {\alpha }}={b \over \sin {\beta }}={c \over \sin {\gamma }}$,

$\mathbf {v} ={\vec {v}}=\lim _{\Delta \ t\to 0}{\Delta {\overline {r}} \over \Delta t}={d{\overline {r}} \over dt}.$ $\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{b}x^{2}dx={1 \over 3}x^{3}|_{a}^{b}={1 \over 3}(b^{3}-a^{3})$,

${\vec {p}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}{\vec {v}}_{i}}{\sqrt {1-v_{i}^{2}/c^{2}}}}$

• Как вводить формулы тут, рассказано на w:Википедия:Формулы