Высшая математика. Первый семестр/Функции и их графики

Основные определения

Функция

Пусть $A$ и $B$ — два произвольных множества. Функцией $f$ из $A$ в $B$ называется соответствие между элементами множества $A$ и множества $B$, при котором каждому элементу $x\in A$ сопоставляется какой-либо один элемент ${y\in B}$. При этом $y$ называется значением функции $f$ на элементе $x$, что записывается как ${y=f(x)}$ или $f:x\mapsto y$. Тот факт, что функция $f$ переводит элементы $x\in A$ в элементы $y\in B$, записывается так: $f:A\to B$. Множество $A$ называется областью определения функции $f$ и обозначается ${\mathcal {D}}(f)$.

Множество $A$ отображается функцией $f$ в множество $B$

Пример: Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров ${A=\{1;2;\dots ;20\}}$ и множество $B$ — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие $f$, сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция $f:n\mapsto F$, где $n$ — номер студента в группе (от 1 до 20) и $F$ — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение $f(n)$ определено для всех $n\in A$. Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества $B$ — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов $\in B$ не будет значением $f(n)$ ни при каком $n\in A$. Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах $n_{1}\in A$ и $n_{2}\in A$ элемент Петров $\in B$ будет значением функции $f$, то есть $f(n_{1})=Petrov$ и $f(n_{2})=Petrov$.

На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции

$\displaystyle {\mathcal {E}}(f)=\{y\in B:\ y=f(x),\ x\in A\}$

не обязано совпадать со всем множеством $B$, а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие $x_{1},x_{2}\in {\mathcal {D}}(f)$, что $x_{1}\neq x_{2}$, но $f(x_{1})=f(x_{2})$. В таком случае часто говорят, что элементы $x_{1}$ и $x_{2}$ склеиваются при отображении $f$.

Отображение функции

Если ${\mathcal {E}}(f)=B$, то есть для любого элемента $y\in B$ найдётся элемент $x\in A$ такой, что $f(x)=y$, то функция $f$ называется отображением $A$ на $B$ (напомним, что в общем случае $f$ — это отображение из $A$ в $B$). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.

Если для любых двух разных элементов $x_{1},x_{2}\in A$ ($x_{1}\neq x_{2}$) значения $f(x_{1}),f(x_{2})\in B$ тоже разные ($f(x_{1})\neq f(x_{2})$), то отображение $f$ называется вложением множества $A$ в множество $B$, или инъективным отображением (инъекцией).

Пример 1: Пусть $A=\mathbb {R} ,B=[-1;1]$ и отображение $f$ для $x\in A$ задано формулой $f(x)=\sin x$. Тогда $f$ — сюръекция, так как любое число $y$ из отрезка $[-1;1]$ равно значению $\sin x$ при некотором $x$.

Все числа $y\in [-1;1]$ — это значения функции $\sin x$

Пример 2: Пусть $A=\mathbb {R} ,B=\mathbb {R}$ и отображение $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ задано при $x\in \mathbb {R}$ формулой $f(x)=x^{3}$. Тогда отображение $f$ одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как 1) любое значение $y\in \mathbb {R}$ есть значение $x^{3}$ при некотором $x$ (а именно, при $x={\sqrt[{3}]{y}}$); 2) никакие два разных значения $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ не могут дать одинаковых значений $x_{1}^{3}=x_{2}^{3}$, так как из неравенства $x_{1}<x_{2}$ следует неравенство $x_{1}^{3}<x_{2}^{3}$.

Кубы разных чисел не совпадают

Взаимно-однозначное соответствие

Отображение $f:A\to B$, которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между $A$ и $B$, или биекцией. Это означает, что каждому элементу $x\in A$ сопоставляется ровно один элемент $y\in B$, причём для каждого элемента $y\in B$ имеется такой элемент $x\in A$, который сопоставлен этому $y$.

Замечание: Если отображение $f:A\to B$ — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества $A$ и множеством значений функции ${\mathcal {E}}(f)$, то есть частью множества $B$. Пусть ${\mathcal {E}}(f)=B'$. Тогда функция $f$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами $A$ и $B'$. (Более формально: функция $f_{1}:A\to B'$, совпадающая с $f$ при всех $x\in A$, — это биекция. В таких ситуациях, когда функции $f$ и $f_{1}$ имеют одну и ту же область определения $A$ и их значения совпадают при всех $x\in A$, мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой $f$.)

Множество ${\mathcal {D}}(f)$ взаимно-однозначно отображается на множество ${\mathcal {E}}(f)$

Пример 1: При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто $p$ соответствует ровно один выданный номерок $n$. Таким образом, между множеством $P$ сданных пальто и множеством выданных номерков $N'$ ($N'$ — это подмножество множества $N$ всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция $f:p\mapsto n$ ($p\in P$, $n\in N'$).

Обратная функция

Если $f:A\to B$ — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому $y\in B$ тот элемент $x\in A$, который переходит в этот самый $y$ при отображении $f$, называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению $f$ и обозначается $f^{-1}$. Таким образом, $f^{-1}:B\to A$, и $f^{-1}(y)=x$ тогда и только тогда, когда $f(x)=y$ ($x\in A$, $y\in B$).

Пример 1: В условиях примера 1.4 отображение $f:P\to N'$ — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков $n\in N'$ находят соответствующее номерку пальто $p\in P$. Соответствие $g:N'\to P$, $n\mapsto p$ ($n\in N'$, $p\in P$) — это обратная функция к функции $f:P\to N'$, $p\mapsto n$, то есть $g=f^{-1}$.

Очевидно, что в случае, если $f:A\to B$ — биекция и $f^{-1}$ — обратная к $f$ функция, то $f^{-1}(f(x))=x$ для всех $x\in A$ и $f(f^{-1}(y))=y$ для всех $y\in B$. Последнее равенство показывает, что $(f^{-1})^{-1}=f$ и что функции $f$ и $f^{-1}$ взаимно обратны. (То есть если $g$ — функция, обратная к $f$, то $f$ — функция, обратная к $g$.)

Функции $f$ и $f^{-1}$ взаимно обратны

Итак, для того чтобы функция $f:A\to B$ имела обратную функцию $f^{-1}:B\to A$, функция $f$ должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между $A$ и $B$. Тогда обратная функция $f^{-1}$ устанавливает взаимно-однозначное соответствие между $B$ и $A$.

Пример 2: Функция $f:[0;+\infty )\to [0;+\infty )$, заданная формулой $y=f(x)=x^{2}$, — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: $x=f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$.

Функции $y=x^{2}$ и $x={\sqrt {y}}$ — взаимно обратны

В математическом анализе основную роль играют такие функции $f$, у которых значениями служат вещественные числа, то есть ${\mathcal {E}}(f)\subset \mathbb {R}$. Такие функции $f$ называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.

А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.

Пример 3: Пусть $A$ — множество всевозможных отрезков $CD$, расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки $C$ и $D$) не совпадают. Пусть соответствие $f$ сопоставляет каждому такому отрезку $CD$ его длину $f(CD)=\vert CD\vert$. Так как длина отрезка — число, то $f$ — числовая функция, $f:A\to \mathbb {R}$. Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: ${\mathcal {E}}(f)=\{y\in \mathbb {R} :y>0\}$.

Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями $f$, область определения которых ${\mathcal {D}}(f)$ также является подмножеством числовой прямой $\mathbb {R}$, то есть такими функциями $f:A\to B$, где $A\subset \mathbb {R}$ и $B\subset \mathbb {R}$. Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве $\mathbb {R} ^{n}$, равном прямому произведению $n$ экземпляров множества $\mathbb {R}$ (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).

График функции

Графиком функции $f:A\to B$называется множество пар $(x;y)$элементов $x\in A$и $y\in B$, такое, что в каждой паре $(x;y)$второй элемент $y$— это значение функции $f(x)$, соответствующее первому элементу пары, то есть $x$.

Рассмотрим множество всевозможных пар $(x;y)$, где $x\in A$, $y\in B$. Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества $A$на множество $B$и обозначается $A\times B$.

Ясно, что график ${\Gamma }_{f}$функции $f$— это подмножество прямого произведения $A\times B$ :

${\Gamma }_{f}=\{(x;y)\in A\times B:y=f(x)\}\subset A\times B.$

В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в $\mathbb {R} \times [-1;1]$ ; график примера 1.3 — подмножество в $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}$ ; оба графика примера 1.6 — подмножества в $\mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}=\mathbb {R} _{+}^{2}$(здесь мы ввели обозначение $\mathbb {R} _{+}=[0;+\infty )$, которого будем придерживаться и далее).

Пример 1: Пусть $A$— круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости $\mathbb {R} ^{2}$с координатами $x_{1}$и $x_{2}$, с центром в точке $O(0;0)$. Функцию $f$в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки $(x_{1};x_{2})$до центра. Таким образом, $f(x)={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}$, где $x=(x_{1};x_{2})\in A\subset R^{2}$.

Графиком ${\Gamma }_{f}$этой функции является подмножество прямого произведения $A\times \mathbb {R}$. Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве $\mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}$. Обозначим координаты точек в $\mathbb {R} ^{3}$через $x_{1},x_{2},y$. Тогда графику ${\Gamma }_{f}$принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения $y={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}}$и $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\leqslant 1$.

Множество $G_{f}$представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке $(0;0;0)$, с высотой 1 и радиусом основания 1.

График расстояния до точки $O$— это конус

Как мы видим, в случае, когда $A$— подмножество плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, график числовой функции $f:A\to \mathbb {R}$— это подмножество точек пространства $\mathbb {R} ^{3}$. Если же $A$— подмножество точек пространства $\mathbb {R} ^{3}$, то графиком числовой функции $f:A\to \mathbb {R}$будет подмножество ${\Gamma }_{f}$четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества $A\times \mathbb {R} \subset \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{4}$. В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график ${\Gamma }_{f}$описать каким-то иным способом.

Пример 2: Пусть $A=\mathbb {R} ^{3}$и для каждой точки $x=(x_{1};x_{2};x_{3})\in \mathbb {R} ^{3}$значение функции $f$в этой точке — это квадрат расстояния от $x$до точки $O(0;0;0)$, то есть $f(x)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=\vert x\vert ^{2}$. Тогда график ${\Gamma }_{f}$— это подмножество в $\mathbb {R} ^{4}$ :

${\Gamma }_{f}=\{(x_{1},x_{2},x_{3},y)\in \mathbb {R} ^{4}:y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\}.$

Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула $y=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}$позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью $\{(x_{1},x_{2},x_{3},y)\in \mathbb {R} ^{4}:x_{2}=0,x_{3}=0\}$— это парабола $y=x_{1}^{2}$в плоскости $x_{1}Oy$, а сечение трёхмерным пространством $\{(x_{1},x_{2},x_{3},y)\in \mathbb {R} ^{4}:y=0\}$— это одна точка $(0;0;0;0)$.

Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.

Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида ${y=f(x)}$. Способ задания функции $f:A\to B$зависит от того, какова природа множеств $A$и $B$и как по заданному $x\in A$определяется ${y=f(x)\in B}$. Выделим основные из этих способов.

Способы описания функций

Табличный

Если множество $A={\mathcal {D}}(f)$ конечно и состоит из $N$ элементов $x_{1},x_{2},\dots ,x_{N}$, то функцию можно задать перечислением, указав, какие значения она принимает на каждом элементе $x\in A$. Часто это делают в виде таблицы:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$\dots$	$x_{N}$
$y$	$y_{1}$	$y_{2}$	$\dots$	$y_{N}$

В верхней строке таблицы перечисляются все $N$элементов конечного множества $A$, а в нижней — соответствующие им значения функции. Разумеется, таблицу можно расположить и в два столбца вместо двух строк.

С помощью формулы

Если множество $A={\mathcal {D}}(f)$ бесконечно, то способ перечисления значений уже не годится. В этом случае функция $f:x\mapsto y$ может быть задана некоторой формулой, позволяющей по каждому значению аргумента $x$ найти соответствующее ему значение $y$, например:

• $f(x)=\arcsin x,$ при ${\mathcal {D}}(f)=[-1;1];$
• $f(x)={\sqrt[{4}]{x}},$при ${\mathcal {D}}(f)=[0;+\infty );$
• $f(x)=\ln(1-x),$при ${\mathcal {D}}(f)=(-\infty ;1);$
• $f(x)=\ln x_{1}x_{2},$при ${\mathcal {D}}(f)=\{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} ^{2}:x_{1}x_{2}>0\}\subset \mathbb {R} ^{2}.$

Замечание: Функции, заданные одной и той же формулой, но на разных множествах $A$, считаются различными. Так, функция $f(x)=\arcsin x$при $x\in [0;1]$и функция $g(x)=\arcsin x$при $x\in [-1;1]$— это две разные функции, так как функция $f$устанавливает соответствие между точками множества $[0;1]$и некоторыми точками числовой прямой, а функция $g$— между точками другого множества $[-1;1]$и точками числовой прямой. Конечно, две эти функции — «близкие родственники», так как ${f(x)=g(x)}$при всех ${x\in [0;1]}$.

Ограничение функции

Если дана функция $f:A\to B$, и $A\subset A$, то мы можем получить новую функцию, рассматривая значения функции $f$только на элементах $x\in A$. Эта функция $f:A\to B$определена равенством $f(x)=f(x)$при $x\in A$. Функция $f$называется ограничением функции $f$на подмножество $A\subset A$её области определения $A={\mathcal {D}}(f)$и обозначается $f\vert _{A}$, то есть $f=f\vert _{A}$.

Пример 1: Пусть $A=\mathbb {R} ^{2}=\{(x;y):x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}$— числовая плоскость и функция $f$задана формулой

$f(x;y)=x^{2}+2xy-y^{2}.$

Рассмотрим на плоскости $A$подмножество — прямую линию $L$, заданную уравнением $x+y=1$. Тогда мы можем рассмотреть в качестве аргументов функции $f\vert _{L}$точки только прямой $L$. Ограничение $f\vert _{L}(x;y)$определено только при $x+y=1$, поэтому его, кроме исходной формулы

$f\vert _{L}(x;y)=x^{2}+2xy-y^{2},\quad x+y=1,$

можно задать такими формулами:

$f\vert _{L}(x;y)=x^{2}+2x(1-x)-(1-x)^{2}=-2x^{2}+4x-1,\quad x+y=1$(1.1)

(так как $y=1-x$на прямой $L$ ), или

$f\vert _{L}(x;y)=(1-y)^{2}+2(1-y)y-y^{2}=-2y^{2}+1,\quad x+y=1$(1.2)

(так как $x=1-y$на прямой $L$ ). Во всех точках $(x;y)$прямой $L$все три формулы дают одно и то же значение функции $f\vert _{L}$. Мы видим, что формула (1.1) даёт для $f\vert _{L}$те же значения, что функция одного переменного $x$ : $f_{1}(x)=-2x^{2}+4x-1$, а формула (1.2) — те же значения, что функция одного переменного $y$ : $f_{2}(y)=-2y^{2}+1$.

Две последние функции называются параметризациями ограничения $f\vert _{L}$.

Пример 2: Пусть $f(x)=x_{1}^{2}+2x_{1}+3x_{2}-x_{2}^{2}$— функция, заданная во всех точках плоскости $\mathbb {R} ^{2}={\mathcal {D}}(f)=\{(x_{1},x_{2})=x\}$. Пусть $A=l$— прямая $x_{2}=1$на плоскости $\mathbb {R} ^{2}$. Тогда функция $f(x)=f\vert _{l}(x)$равна $x_{1}^{2}+2x_{1}^{+}3\cdot 1-1^{2}=x_{1}^{2}+2x_{1}+2$. Формально ограничение зависит от точек $(x_{1},x_{2})$плоскости $\mathbb {R} ^{2}$, но только таких, что $x_{2}=1$. Поэтому задание этого ограничения $f(x_{1},x_{2})$эквивалентно заданию числовой функции одного переменного $g(x_{1})=x_{1}^{2}+2x_{1}+2$. Функция $g$— это одна из возможных параметризаций функции $f\vert _{l}$.

Замечание: Во многих учебных примерах при задании функции $f$при помощи формулы не указывают область определения ${\mathcal {D}}(f)$. При этом по умолчанию предполагается, что область определения ${\mathcal {D}}(f)$— максимально допустимая, то есть она состоит из всех таких значений аргумента $x$, для которых задающее функцию $f$выражение $f(x)$имеет смысл. При этом могут возникнуть трудности с выяснением того, какова же именно область ${\mathcal {D}}(f)$, если в этом возникнет необходимость.

Пример 3: Пусть функция $f$задана формулой

$f(x)={\sqrt {x^{6}+2x^{3}-5x^{2}+3x+7}},\quad {\mathcal {D}}(f)\subset \mathbb {R} .$

По умолчанию считается, что области ${\mathcal {D}}(f)$принадлежат все те точки $x\in \mathbb {R}$, что ${x^{6}+2x^{3}-5x^{2}+3x+7\geqslant 0}$. Разумеется, для каждой заданной точки $x_{0}$проверить это условие несложно, однако описать множество ${\mathcal {D}}(f)$в виде объединения промежутков числовой оси мы не сможем ввиду того, что затрудняемся решить «в явном виде» данное неравенство.

Если ${\mathcal {D}}(f)$— это множество натуральных чисел $\mathbb {N}$, то функция $f:\mathbb {N} \to B$называется последовательностью. Так как $\mathbb {N}$содержит бесконечное множество чисел $1,2,3,\dots$, то задать $f$в виде таблицы значений $y_{n}=f(n)$, где $n\in \mathbb {N}$, вообще говоря, нельзя. Однако если функция $f(n)$легко угадывается по своим значениям $y_{n}$при небольших $n$, её часто задают, выписывая таблицу нескольких первых значений.

Пример 4: Пусть $y_{1}=f(1)=1,y_{2}=f(2)=4,y_{3}=f(3)=9,\dots$. Тогда, скорее всего, имеется в виду, что $f(n)=n^{2}$при любом $n\in \mathbb {N}$. Эта формула не противоречит выписанным значениям $f_{1},f_{2},f_{3}$и очень проста. По-видимому, именно её и имели в виду при выписывании первых членов последовательности. Однако можно подобрать и другие формулы, то есть указать другие функции, для которых получаются те же первые значения $f_{1},f_{2},f_{3}$, но, быть может, другие значения $f_{4}=f(4),f_{5}=f(5),\dots$.

Пример 5: Последовательность чисел Фибоначчи $f_{n}$задаётся так: два первых члена полагают равными единице ($f_{1}=1,f_{2}=1$ ), а при $n\geqslant 3$вычисляют $f_{n}$по формуле $f_{n}=f_{n-1}+f_{n-2}$. Таким образом, $f_{3}=1+1=2,f_{4}=2+1=3,f_{5}=3+2=5,f_{6}=5+3=8$и т. д.1