Пусть и — два произвольных множества. Функцией из в называется соответствие между элементами множества и множества , при котором каждому элементу сопоставляется какой-либо один элемент . При этом называется значением функции на элементе , что записывается как или . Тот факт, что функция переводит элементы в элементы , записывается так: . Множество называется областью определения функции и обозначается .
Пример: Пусть в группе 20 студентов. Рассмотрим множество номеров и множество — множество фамилий, записанных русским алфавитом. Тогда соответствие , сопоставляющее каждому из номеров студентов в списке группы фамилию этого студента, — это функция , где — номер студента в группе (от 1 до 20) и — фамилия этого студента. Поскольку фамилию имеет каждый студент, значение определено для всех . Очевидно, однако, что далеко не все элементы множества — множества всевозможных фамилий — присутствуют в списке группы. Например, если в группе нет студента по фамилии Иванов, то элемент Иванов не будет значением ни при каком . Если же в группе есть однофамильцы по фамилии Петров, то при разных номерах и элемент Петров будет значением функции , то есть и .
На этом примере видно, что, во-первых, множество значений функции
не обязано совпадать со всем множеством , а может оказаться лишь его частью. Во-вторых, могут найтись такие , что , но . В таком случае часто говорят, что элементы и склеиваются при отображении .
Отображение функции
Если , то есть для любого элемента найдётся элемент такой, что , то функция называется отображением на (напомним, что в общем случае — это отображение из в ). Отображение «на» также называют сюръективным отображением или сюръекцией.
Если для любых двух разных элементов () значения тоже разные (), то отображение называется вложением множества в множество , или инъективным отображением (инъекцией).
Пример 1: Пусть и отображение для задано формулой . Тогда — сюръекция, так как любое число из отрезка равно значению при некотором .
Пример 2: Пусть и отображение задано при формулой . Тогда отображение одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, так как
1) любое значение есть значение при некотором (а именно, при );
2) никакие два разных значения не могут дать одинаковых значений , так как из неравенства следует неравенство .
Взаимно-однозначное соответствие
Отображение , которое одновременно является и сюръекцией, и инъекцией, называется взаимно-однозначным соответствием между и , или биекцией. Это означает, что каждому элементу сопоставляется ровно один элемент , причём для каждого элемента имеется такой элемент , который сопоставлен этому .
Замечание: Если отображение — вложение, то мы можем рассмотреть соответствие, которое устанавливает эта функция между элементами множества и множеством значений функции , то есть частью множества . Пусть . Тогда функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между множествами и . (Более формально: функция , совпадающая с при всех , — это биекция. В таких ситуациях, когда функции и имеют одну и ту же область определения и их значения совпадают при всех , мы в дальнейшем будем их обозначать одинаково, в данном случае — буквой .)
Пример 1: При сдаче пальто в гардероб каждому сданному пальто соответствует ровно один выданный номерок . Таким образом, между множеством сданных пальто и множеством выданных номерков ( — это подмножество множества всех номерков в гардеробе) устанавливается биекция (, ).
Обратная функция
Если — биекция, то отображение, сопоставляющее каждому тот элемент , который переходит в этот самый при отображении , называется обратным отображением (или обратной функцией) к отображению и обозначается . Таким образом, , и тогда и только тогда, когда (, ).
Пример 1: В условиях примера 1.4 отображение — биекция. При выдаче пальто из гардероба по каждому из выданных номерков находят соответствующее номерку пальто . Соответствие , (, ) — это обратная функция к функции , , то есть .
Очевидно, что в случае, если — биекция и — обратная к функция, то для всех и для всех . Последнее равенство показывает, что и что функции и взаимно обратны. (То есть если — функция, обратная к , то — функция, обратная к .)
Итак, для того чтобы функция имела обратную функцию , функция должна быть биекцией, то есть устанавливать взаимно-однозначное соответствие между и . Тогда обратная функция устанавливает взаимно-однозначное соответствие между и .
Пример 2: Функция , заданная формулой , — это биекция. Обратная к ней функция — это квадратный корень: .
В математическом анализе основную роль играют такие функции , у которых значениями служат вещественные числа, то есть . Такие функции называются числовыми. Функции примеров 1.2, 1.3, 1.6 — числовые. Функции примеров 1.1, 1.4 числовыми не являются.
А вот пример числовой функции, область определения которой, в отличие от предыдущих примеров числовых функций, не лежит на числовой прямой.
Пример 3: Пусть — множество всевозможных отрезков , расположенных в (трёхмерном) пространстве, концы которых (точки и ) не совпадают. Пусть соответствие сопоставляет каждому такому отрезку его длину . Так как длина отрезка — число, то — числовая функция, . Легко видеть, что область её значений состоит из всех положительных чисел: .
Замечание: В первых главах учебника мы ограничимся в основном такими числовыми функциями , область определения которых также является подмножеством числовой прямой , то есть такими функциями , где и . Такие функции называются числовыми функциями одного переменного. В дальнейшем (во втором семестре) мы будем также изучать функции, зависящие от нескольких вещественных переменных, то есть функции, область определения которых — подмножество в пространстве , равном прямому произведению экземпляров множества (определение прямого произведения нескольких множеств мы дадим ниже).
График функции
Графиком функции называется множество пар элементов и , такое, что в каждой паре второй элемент — это значение функции , соответствующее первому элементу пары, то есть .
Рассмотрим множество всевозможных пар , где , . Это множество всевозможных пар называется прямым произведением множества на множество и обозначается .
Ясно, что график функции — это подмножество прямого произведения :
В некоторых из рассмотренных выше примеров функций были приведены на рисунках графики этих функций. График примера 1.2 — подмножество в ; график примера 1.3 — подмножество в ; оба графика примера 1.6 — подмножества в (здесь мы ввели обозначение , которого будем придерживаться и далее).
Пример 1: Пусть — круг радиуса 1 (включая окружность радиуса 1 — границу круга) на числовой плоскости с координатами и , с центром в точке . Функцию в любой точке круга зададим как расстояние от этой точки до центра. Таким образом, , где .
Графиком этой функции является подмножество прямого произведения . Это прямое произведение — бесконечный цилиндр с круговым сечением, находящийся в пространстве . Обозначим координаты точек в через . Тогда графику принадлежат те точки, для которых выполнены соотношения и .
Множество представляет собой кусок конической поверхности с вершиной в точке , с высотой 1 и радиусом основания 1.
Как мы видим, в случае, когда — подмножество плоскости , график числовой функции — это подмножество точек пространства . Если же — подмножество точек пространства , то графиком числовой функции будет подмножество четырёхмерного пространства, точнее, его подмножества . В связи с этим, изобразить график такой функции на чертеже не представляется возможным, хотя, конечно, можно постараться как-то этот график описать каким-то иным способом.
Пример 2: Пусть и для каждой точки значение функции в этой точке — это квадрат расстояния от до точки , то есть . Тогда график — это подмножество в :
Изобразить этот график, то есть нарисовать трёхмерную поверхность, расположенную в четырёхмерном пространстве, мы уже не в состоянии, однако формула позволяет изучать этот график. Например, можно заметить, что двумерное сечение этого графика плоскостью — это парабола в плоскости , а сечение трёхмерным пространством — это одна точка .
Наибольший интерес с точки зрения наглядности представляют графики числовых функций одного переменного. Изучению поведения таких функций и построению их графиков будет уделено основное внимание в следующих главах.
Как мы видим из приведённых выше примеров, способы эти могут быть самые разные, от словесно-описательного до задания функции формулой вида . Способ задания функции зависит от того, какова природа множеств и и как по заданному определяется . Выделим основные из этих способов.