Участник:Arbnos/Основы алгебры/Уравнения, содержащие модуль

Чаще всего решаются раскрытием модуля по его определению.

Рисунок Д1.2. График функции $\scriptstyle {y=|x|}$.

Абсолютной величиной, или модулем $|x|$ называется вещественнозначная непрерывная кусочно-линейная функция (рисунок Д1.2) такая, что

$|x|={\begin{cases}x,&x\geqslant 0;\\-x,&x<0.\end{cases}}$(Д1.52)

Альтернативное определение:

$|x|=\max\{x,\;-x\}.$(Д1.53)

Рисунок Д1.3. Геометрическая интерпретация модуля.

Геометрически (рисунок Д1.3) модуль числа $|x_{1}-x_{2}|$ равен расстоянию между точками $x_{1}$ и $x_{2}$, а, следовательно, характеризует близость одной величины к другой. В частности, $|x|$ — это расстояние от точки вещественной прямой с координатами $x$ до начала координат $O$.

Свойства модуля

$|x|=|-x|$

$|x^{2}|=|x|^{2}=x^{2}.$

$|x|\geqslant 0$, причём $|x|=0$, тогда и только тогда, когда $x=0$.(Д1.54)

$|x\cdot y|=|x|\cdot |y|.$(Д1.55)

$\left|{\frac {x}{y}}\right|={\frac {|x|}{|y|}},\quad y\neq 0.$(Д1.56)

• Если существует $x^{\alpha }$, то

$|x^{\alpha }|=|x|^{\alpha }.$(Д1.57)

${\sqrt[{2k}]{x^{2k}}}=|x|.$(Д1.58)

${\sqrt[{2k+1}]{-x}}=-{\sqrt[{2k+1}]{|x|}}.$(Д1.59)

$|x+y|\leqslant |x|+|y|$ — неравенство треугольника.(Д1.60)

Имеет место и более общее свойство:

$|x+y+\ldots +z|\leqslant |x|+|y|+\ldots +|z|$ или $\left|\sum _{i=1}^{m}x_{i}\right|\leqslant \sum _{i=1}^{m}|x_{i}|.$(Д1.61)

$||x|-|y||\leqslant |x-y|$ — обратное неравенство треугольника.(Д1.62)

Уравнения, содержащие модуль, сводящиеся к линейным

Уравнения, содержащие модуль, содержащие один модуль или любое число равных подмодульных выражений

$a|x|+b=0$.

2 пути решения:

1) Здесь мы делаем замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $at+b=0$.

Получим:

$t=-b:(a)\to |x|=-b:(a)\to x=\pm -b:(a)$

Ответ

$x=\pm -b:(a)$, если $-b:(a)\geqslant 0$ или решений нет иначе.

2)$a|x|+b=0$

$a|x|=-b$

$|x|=-b:(a)$

По определению модуля:

Ответ

$x=\pm -b:(a)$, если $-b:(a)\geqslant 0$ или решений нет иначе.

Пример О.1

$2|x|-3=0$.

2 путя решения:

1) Здесь мы делаем замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $2t-3=0$.

Получим:

$t=1.5\to |x|=1.5\to x=\pm 1.5$

Ответ

$x=\pm 1.5$

2) Отправляем 3 в правую сторону уравнения, для того, чтобы можно было возвести в квадрат обе части уравнения.

Получим $2|x|=3$.

$4x^{2}=9$

Уравнение при таком пути решения сводится к квадратному.

Ответ

При ограничении линейными уранениями, решений нет.

Пример О.2

$2|x|-3|x+1|=0$

Согласно опрелению модуля : $\ |x|=x,x\geqslant 0$ и одновременно $\ |x|=-x,x<0$

Поэтому нужно разобрать по определению каждый модуль уравнения: 1)Разбор первого модуля

а)Ограничение $x\geqslant 0$. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.

$2x-3|x+1|=0$

Согласно опрелению модуля : $\ |x|=x,x\geqslant 0$ и одновременно $\ |x|=-x,x<0$

Поэтому нужно разобрать по определению модуль уравнения:

I)Ограничение $x\geqslant 0$. Это означает, что, если x < 0, то в пункте а решений нет.

$2x-3x-1=0$

$-x-1=0$

$-x=1$

$x=-1$

x < 0, в пункте решений нет.

II)Ограничение x < 0 Это означает, что, если $x\geqslant 0$, то в пункте а решений нет.

$2x+3x-1=0$

$5x=1$

$x=0.2$

$x\geqslant 0$, в пункте решений нет.

Получим $2|x|=3|x+1|$. Возведём в квадрат

$4x^{2}=9(x^{2}+2x+1)$

$4x^{2}=9x^{2}+18x+9$

$5x^{2}+18x+9=0$

Вычислим дискриминант:

$D=18^{2}-4\cdot 5\cdot 9=324-180=144$

$x_{1,2}={\frac {(-18)\pm {\sqrt {D}}}{2\cdot 5}}={\frac {(-18)\pm 12}{10}}=-3;-0.6$

Уравнения, содержащие модуль, содержащие одинаковое подмодульное выражение с неизвестным в знаменателе

Решение ниже для уравнений, представимых в форме ${\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0$.

${\frac {a+|x|}{|x|-b}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ b, то есть x ≠ $\pm b$.

Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим ${\frac {a+t}{t-b}}=0$.

Домножаем обе части уравнения на $t-b$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $a+t=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$t=-a$

Ограничение $t\geqslant 0$ срабатывает.

$-a\geqslant 0$ - ограничение на a.

Получим $|x|=-a\to x=\pm -a$.

Ответ

$x=\pm -a$, если $-a\geqslant 0$ и x ≠ $\pm b$ или решений нет иначе.

Пример О.6

${\frac {3+|x|}{|x|-4}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠ $\pm 4$.

Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим ${\frac {3+t}{t-4}}=0$.

Домножаем обе части уравнения на $t-4$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $3+t=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$t=-3$

Ограничение $t\geqslant 0$ срабатывает.

Ответ

Решений нет

Пример О.7

${\frac {|x|-4}{|x|-4}}=0$. Делить на 0 нельзя, так что сразу получаем ограничение |x| ≠ 4, то есть x ≠ $\pm 4$.

Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим ${\frac {t-4}{t-4}}=0$.

Домножаем обе части уравнения на $t-4$, так как уже зафиксировано ограничение.

Получим $t-4=0$.

После переноса всех иксов и чисел в разные стороны и приведения подобных слагаемых получим уравнение:

$t=4$

Ограничение $t\geqslant 0$ не срабатывает, решение продолжается.

Так как $|x|=t$, получим $|x|=4$

Срабатывает ограничение |x| ≠ 4

Ответ

Решений нет

Уравнения, содержащие модуль, сводящиеся к квадратным

Пример О.1

$x^{2}+2|x|-3=0$.

Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$.

Получим $t^{2}+2t-3=0$.

По формулам Виета, получим:

$t_{1}=1\to |x|=1\to x=\pm 1$

$t_{2}=-3\to |x|=-3\to x\in \varnothing$

Ответ

$\pm 1$

Пример О.2

$x^{2}+4x+|x+2|+5=0$. Чтобы можно было сделать замену надо получить полный квадрат:

$x^{2}+4x+4+|x+2|-4+5=0$

$(x+2)^{2}+|x+2|+1$

Замена: $|x+2|=t,t\geqslant 0$

$t^{2}+t+1=0$

$D<0\to x\in \varnothing$

Ответ

Решений нет

Пример О.3

$|x|=x^{2}$. Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$. $t=t^{2}$

$t-t^{2}=0$

$t(1-t)=0$

$t=0$, а также $t=1$

$|x|=0$, а также $|x|=1$

По определению модуля:

Ответ

$x=0$, а также $x=\pm 1$

Комментарий — это уравнение 4 степени с 3 разными корнями.

Пример О.4

$(|x|):x=(x^{2}):x$. Ставится ограничение x≠0. Избавляеся от знаменателей.

$|x|=x^{2}$.

Здесь мы можем воспользоваться тем, что $|x|^{2}=x^{2}$, и сделать замену $|x|=t,t\geqslant 0$. $t=t^{2}$

$t-t^{2}=0$

$t(1-t)=0$

$t=0$, а также $t=1$

$|x|=0$, а также $|x|=1$

По определению модуля и сработавшему ограничению:

Ответ

$x=\pm 1$

Комментарий — это уравнение 4 степени с 2 разными корнями.