Интегральное исчисление/Краткие сведения о комплексных числах

← Некоторые часто используемые формулы | Краткие сведения о комплексных числах

---

Комплексные числа — это расширение поля действительных чисел. Обозначается $\mathbb {C}$. Комплексные числа образуют алгебраически замкнутое поле, то есть многочлен степени $n$ с комплексными коэффициентами имеет ровно $n$ комплексных корней. Это основная теорема алгебры.

Формально, комплексное число $z$ — это упорядоченная пара вещественных чисел $(x,\;y)$ с введёнными на них операциями сложения и умножения вида:

$(x_{1},\;y_{1})+(x_{2},\;y_{2})=(x_{1}+x_{2},\;y_{1}+y_{2}),$(Д2.1)

$(x_{1},\;y_{1})\cdot (x_{2},\;y_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2},\;x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})$(Д2.2)

и операцией приравнивания

$(x_{1},\;y_{1})=(x_{2},\;y_{2})\Leftrightarrow (x_{1}=x_{2}\land y_{1}=y_{2}).$(Д2.3)

Историческая справка

Термин «комплексное число» впервые использовал французский математик Л. Карно (1753—1823) в 1803 году, но широкое употребление ему придал К. Ф. Гаусс (1777—1855) в 1831 году.

Впервые же мнимые величины, скорее всего, нашли отражение в известном труде Дж. Кардано (1501—1576) «Великое искусство, или об алгебраических правилах» (1545), но он счёл их непригодными для использования в математической практике. Применение мнимых величин для решения кубических уравнений нашли в работах Р. Бомбелли (ок. 1526—1572). Он также разработал базовые правила действий с ними.

Хотя выражения вида $a+b{\sqrt {-1}}$, появляющиеся при решении квадратных и кубических уравнений, стали называть «мнимыми» ещё в XVI—XVII веках, но всё же для многих крупных ученых XVII века их алгебраическая и геометрическая сущность была не ясна. Долгое время было неясно, можно ли, проводя математические операции над комплексными числами, получить числа какого-то нового типа. Так задача о выражении корней $n$-ой степени была решена только в начале XVIII века в работах А. де Муавра (1667—1754) и Р. Котса (1682—1716).

Геометрическое истолкование комплексных чисел и действий над ними появилось впервые в работе К. Весселя (1745—1818), но зачатки этого представления были сделаны ещё в 1685 году Дж. Валлисом (1616—1703). Современное геометрическое представление, так называемую диаграмму Аргана, предложил в опубликованной в 1806 года работе Ж. Р. Арган (1768—1822), независимо повторивший выводы Весселя.

Символ $i={\sqrt {-1}}$ был предложен Л. Эйлером в 1777 году. Это первая буква слова лат. imaginarius — мнимый. Он также распространил области значения всех стандартных функций на комплексную область. Эйлер также высказал в 1751 году мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел. Чуть ранее, в 1747 году, к этому же выводу пришёл и Ж. Л. Д’Аламбер (1717—1783), но его доказательство было не безукоризненным. Первое строгое доказательство этого факта было дано Гауссом в 1799 году в его докторской диссертации. В последствие Гаусс даже предложил 4 различных доказательства основной теоремы алгебры.

Непротиворечивая модель комплексных чисел была создана в 1837 году У. Р. Гамильтоном (1806—1865). В рамках неё комплексные числа рассматривались как упорядоченные пары действительных чисел. Он же в 1843 году предложил и обобщение комплексных чисел — кватернионы, получив тем самым гиперкомплексные числа. Позже были получены ещё несколько видов гиперкомплексных чисел, например, числа Кэли.

Алгебраическая форма комплексного числа

Арифметическая модель комплексных чисел как пар действительных чисел, предложенная У. Р. Гамильтоном, хотя и непротиворечива, но не удобна в вычислениях, поэтому для манипуляций с ними используют различные их представления.

В рамках гамильтоновского определения действительные числа имеют вид $(x,\;0)$. Эта пара обозначается также просто $x$. В частности, $(0,\;0)=0$. Пара $(0,\;1)$ имеет особый статус и называется мнимой единицей. Она обозначается как $i$.

Рассмотрим следующее выражение:

$i^{2}=i\cdot i=(0,\;1)\cdot (0,\;1).$(Д2.4)

Применяя формулу (Д2.2), получаем:

$i^{2}=(0-1,\;0+0)=(-1,\;0)=-1.$(Д2.5)

Следовательно, число $i$ можно определить также как $i={\sqrt {-1}}$. Так как и сделал Л. Эйлер, но это не вполне корректно, так как арифметический квадратный корень определяется только для неотрицательных чисел. Есть другой путь определения мнимой единицы: мнимой единицей называется решение уравнения

$x^{2}=-1,$(Д2.6)

однако и он не безупречен, так как этому уравнению удовлетворяет не только $x=(0,\;1)=i$, но $x=(0,\;-1)=-1\cdot i=-i$. Это легко проверить, подставив $x=-i$ в уравнение (Д2.6) и вычислив по формуле (Д2.2). Кроме того, наличие двух корней у уравнения (Д2.6) необходимо следует из основной теоремы алгебры. Здесь имеет смысл говорить о так называемых сопряжённых комплексных числах. С формальной точки зрения, совершенно безразлично, какую пару принимать за определение мнимой единицы — условились, что мнимая единица имеет вид $i=(0,\;1)$, а пара $(0,\;-1)$ является сопряжённой к ней.

Исходя из модели Гамильтона, выведем алгебраическую форму комплексного числа, для этого рассмотрим комплексное число $(x,\;y)$. Сделаем в нём следующее преобразование:

$(x,\;y)=(x+0,\;y+0).$(Д2.7)

На основании формулы (Д2.1) можно написать, что

$(x,\;y)=(x+0,\;0+y)=(x,\;0)+(0,\;y).$(Д2.8)

Во втором слагаемом сделаем ещё одно преобразование:

$(x,\;y)=(x,\;0)+(0,\;y)=(x,\;0)+(y\cdot 0-0\cdot 0,\;y\cdot 1+0\cdot 0).$(Д2.9)

Воспользовавшись формулой (Д2.2), будем иметь:

$(x,\;y)=(x,\;0)+(y\cdot 0-0\cdot 0,\;y\cdot 1+0\cdot 0)=(x,\;0)+(y,\;0)\cdot (0,\;1).$(Д2.10)

Теперь, если заменить получившиеся упорядоченные пары их значениями, придём к следующему выражению:

$(x,\;y)=x+y\cdot i.$(Д2.11)

Это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Если в формуле (Д2.11) положить $x=0$, то выражение

$(0,\;y)=y\cdot i.$(Д2.12)

будет называться чисто мнимым числом, или просто мнимым числом.

Условно комплексное число обозначают одной буквой, чаще всего $z$, то есть $z=(x,\;y)=x+yi$.

Первую проекцию $x$ комплексного числа $z$ называют действительной (вещественной) частью числа $z$ и обозначают $x=\mathrm {Re} \,z$ (от лат. realis — действительный). Вторая проекция $y$ комплексного числа $z$ называется мнимой частью числа $z$ и обозначается $y=\mathrm {Im} \,z$ (от лат. imaginarius — мнимый). В иностранной литературе действительную и мнимую части часто обозначают, используя заглавные готические буквы, соответственно $\Re (z)$ и $\Im (z)$.

В терминах алгебраической формы можно переформулировать определение равенства комплексных чисел (Д2.3):

$x_{1}+y_{1}i=x_{2}+y_{2}i\Leftrightarrow (x_{1}=x_{2}\land y_{1}=y_{2})$(Д2.13)

или, если применить условные обозначения:

$z_{1}=z_{2}\Leftrightarrow (\mathrm {Re} \,z_{1}=\mathrm {Re} \,z_{2}\land \mathrm {Im} \,z_{1}=\mathrm {Im} \,z_{2}).$(Д2.14)

В частности, комплексное число равно нулю, когда его действительная и мнимая части равны нулю:

$x+yi=0\Leftrightarrow (x=0\land y=0)$ или $z=0\Leftrightarrow (\mathrm {Re} \,z=0\land \mathrm {Im} \,z=0).$(Д2.15)

Аналогичным путём можно получить алгебраическую форму для комплексно сопряжённого числа: $x-yi$. Подробнее, см. ниже.

Арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме

Алгебраическая форма очень удобна для выполнения арифметических действий, так как в рамках её комплексные числа можно рассматривать как линейные двучлены, роль $x$ в которых играет $i$ с дополнительным равенством $i^{2}=-1$.

Сложение двух комплексных чисел $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ и $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$ выполняется по следующему правилу:

$z_{1}+z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)+(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}+x_{2})+(y_{1}+y_{2})i.$(Д2.16)

Оно непосредственно следует из формулы (Д2.1).

Чтобы получить правило вычитания одного комплексного числа из другого, воспользуемся определением: разностью двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ называется такое $z$, что верно равенство:

$z_{2}+z=z_{1}.$(Д2.17)

Если рассматривать с формальной точки зрения, то следует записать следующее выражение:

$(x_{2},\;y_{2})+(x,\;y)=(x_{1},\;y_{1}).$(Д2.18)

Теперь в левой части применим формулу суммы комплексных чисел:

$(x_{2}+x,\;y_{2}+y)=(x_{1},\;y_{1}).$(Д2.19)

По определению сравнения двух комплексных пар будем иметь следующую систему:

${\begin{cases}x_{2}+x=x_{1};\\y_{2}+y=y_{1},\end{cases}}$(Д2.20)

решением которой являются действительные числа $x=x_{1}-x_{2}$ и $y=y_{1}-y_{2}$, то есть можно записать, что:

$(x_{1},\;y_{1})-(x_{2},\;y_{2})=(x_{1}-x_{2},\;y_{1}-y_{2}).$(Д2.21)

Если применять алгебраическую форму, то вычитание будет более наглядным:

$z_{1}-z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)-(x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i.$(Д2.22)

Рассмотрим теперь произведение двух комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ в алгебраической форме:

$z_{1}\cdot z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)=x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i.$(Д2.23)

Деление комплексных чисел, как и деление действительных чисел, является обратной операцией по отношению к произведению. По определению, комплексное число $z$, отличное от нуля, называется частным от деления комплексного числа $z_{1}$ на комплексное число $z_{2}$, если выполняется равенство:

$z_{2}\cdot z=z_{1}.\quad (z\neq 0)$(Д2.24)

Найдём произведение в левой части:

$(x_{2},\;y_{2})\cdot (x,\;y)=(x_{1},\;y_{1});$(Д2.25)

$(x\cdot x_{2}-y\cdot y_{2},\;x\cdot y_{2}+x_{2}\cdot y)=(x_{1},\;y_{1}).$(Д2.26)

Сравнивая его с числом в правой части, будем иметь систему:

${\begin{cases}x\cdot x_{2}-y\cdot y_{2}=x_{1};\\x\cdot y_{2}+x_{2}\cdot y=y_{1}.\end{cases}}$(Д2.27)

Решением будут служить числа:

${\begin{cases}x={\dfrac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}};\\y={\dfrac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}.\end{cases}}$(Д2.28)

Следовательно, можно записать следующее правило:

${\frac {(x_{1},\;y_{1})}{(x_{2},\;y_{2})}}=\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}},\;{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right).$(Д2.29)

Выведем теперь правила деления комплексных чисел в алгебраической форме:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}.$(Д2.30)

Домножим числитель и знаменатель дроби на комплексно сопряжённое знаменателя — $x_{2}-y_{2}i$ (это возможно, так как по условию знаменатель не обращается в нуль, и соответственно, это справедливо для его комплексно сопряжённого):

${\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {(x_{1}+y_{1}i)(x_{2}-y_{2}i)}{(x_{2}+y_{2}i)(x_{2}-y_{2}i)}}.$(Д2.31)

В числителе раскроем скобки, а в знаменателе воспользуемся формулой разности квадратов:

${\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}-(y_{2}i)^{2}}}.$(Д2.32)

После упрощений и почленного деления окончательно будем иметь:

${\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}-(y_{2}i)^{2}}}=\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)+\left({\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)i.$(Д2.33)

В частности,

${\frac {1}{x+yi}}={\frac {1+0\cdot i}{x+yi}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}+{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}i$(Д2.34)

и

${\frac {1}{i}}=-i.$(Д2.35)

Возведение в целую степень. Прежде чем рассматривать вопрос возведения в степень произвольного комплексного числа $z$, рассмотрим какие результаты даёт возведение в степень мнимой единицы $i$. По определению натуральной степенью $z^{n}$ называется $n$-кратное произведение числа $z$ на самого себя:

$z^{n}=\underbrace {z\cdot z\cdot \ldots \cdot z} _{n};\quad z^{0}=1.$(Д2.36)

Для $i$ последовательно будем иметь:

$i^{0}=1,\quad i^{1}=i,\quad i^{2}=-1,\quad i^{3}=-i,\quad \ldots$(Д2.37)

Продолжая умножение, можно получить следующее обобщение:

$i^{4k}=1,\quad i^{4k+1}=i,\quad i^{4k+2}=-1,\quad i^{4k+3}=-i,$(Д2.38)

где $k=0,\;1,\;2,\;\ldots$

При возведение в степень числа $z=x+yi$ в натуральную степень $n$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$z^{n}=(x+yi)^{n}=x^{n}+{\binom {1}{n}}x^{n-1}(yi)+{\binom {2}{n}}x^{n-2}(yi)^{2}+\ldots +(yi)^{n}.$(Д2.39)

Теперь, упрощая каждый моном по формулам (Д2.38) и группируя члены, содержащие и не содержащие $i$, в итоге получим некое комплексное число $X+Yi$. Таким образом, натуральная степень комплексного числа, у которого действительная часть отлична от нуля, также является комплексным числом. Степень чисто мнимого числа может быть и действительным числом.

Так как, по определению,

$z^{-n}={\frac {1}{z^{n}}},$(Д2.40)

то нужно сначала возвести в степень $n$ по формуле (Д2.39), а затем найти обратную величину по формуле (Д2.34).

Из выше сказанного следует, что при любом целом, отличном от нуля, показателе степени, для комплексного числа общего вида мы получаем другое комплексное число. Если возводить в целую степень чисто мнимое число, то в результате может получиться либо действительное, либо чисто мнимое число.

Вопрос извлечения корней из комплексных чисел мы рассмотрим на примере извлечения квадратного корня. В дальнейшем будет более подробно показано, что извлечение корня для комплексных чисел всегда осуществимо и многозначно.

Итак, по определению, квадратным корнем из комплексного числа $z=x+yi$ называется такое комплексное число $w=u+vi$, что имеет место равенство $w^{2}=z$, то есть:

$(u+vi)^{2}=x+yi$(Д2.41)

или, раскрывая скобки,

$(u^{2}-v^{2})+2uvi=x+yi.$(Д2.42)

Сравнивая действительные и мнимые части комплексных чисел, приходим к системе уравнений:

${\begin{cases}u^{2}-v^{2}=x;\\2uv=y,\end{cases}}$(Д2.43)

решая которую будем иметь:

$u^{2}={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{2}},\quad v^{2}={\frac {-x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}{2}}.$(Д2.44)

Выражения $\pm x+{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ неотрицательны при любых действительных $x$ и $y$, следовательно, числа $u$ и $v$ всегда можно найти из (Д2.44); при этом они будут действительны. При извлечении арифметических корней в (Д2.44) необходимо учитывать знаки таким образом, чтобы выполнялось соотношение $2uv=y$, которое задаёт два различных набора действительных чисел. Соответственно, извлечение корня из $z=x+yi$ даёт два комплексных числа $w_{1}=u_{1}+v_{1}i$ и $w_{2}=u_{2}+v_{2}i$.

Замечание. Из выражений (Д2.16) и (Д2.23) становится ясным, почему формулы (Д2.1) и (Д2.2) соответственно имеют такой вид. Возникает законный вопрос, почему нельзя в качестве определения сразу принять, что комплексным числом $z$ называется выражение вида $x+yi$, где $i^{2}=-1$, или $i={\sqrt {-1}}$, и действия над ним выполняются как над двучленами. К сожалению, этот путь ошибочен, так как в выражении $x+yi$ имеются несколько неопределённых моментов: во-первых, как мы уже видели в начале главы, в рамках действительных чисел не возможно корректно определить мнимую единицу $i$; во-вторых, здесь присутствуют неопределённые ещё операции над мнимой единицей, то есть умножение её на действительное число и сложение этого результата с другим действительным числом. Если же выражение $x+yi$ считать единым формальным выражением, где $x$ и $y$ — действительные числа, $i$ — некоторый символ, обладающий свойством $i^{2}=-1$, то и в этом случае построение модели комплексных чисел будет не полным, так как из этого определения невозможно будет вывести правила действий над комплексными числами и их свойства.

Основные законы действий над комплексными числами

На комплексные числа распространяются все основные законы действия над действительными числами. Они легко выводятся из определения арифметических операций.

$z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}.$(Д2.45)

$z_{1}+(z_{2}+z_{3})=(z_{1}+z_{2})+z_{3}.$(Д2.46)

$z_{1}\cdot z_{2}=z_{2}\cdot z_{1}.$(Д2.47)

$z_{1}\cdot (z_{2}\cdot z_{3})=(z_{1}\cdot z_{2})\cdot z_{3}.$(Д2.48)

$z_{1}\cdot (z_{2}+z_{3})=z_{1}\cdot z_{2}+z_{1}\cdot z_{3}.$(Д2.49)

$z^{\alpha }\cdot z^{\beta }=z^{\alpha +\beta }.$(Д2.50)

${\frac {z^{\alpha }}{z^{\beta }}}=z^{\alpha -\beta }.\quad (z\neq 0)$(Д2.51)

$(z^{\alpha })^{\beta }=z^{\alpha \cdot \beta }.$(Д2.52)

$(z_{1}\cdot z_{2})^{\alpha }=z_{1}^{\alpha }\cdot z_{2}^{\alpha }.$(Д2.53)

$\left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)^{\alpha }={\frac {z_{1}^{\alpha }}{z_{2}^{\alpha }}}.\quad (z_{2}\neq 0)$(Д2.54)

$z^{1}=z,\quad z^{0}=1,\quad z^{-1}={\frac {1}{z}}.\quad (z\neq 0)$(Д2.55)

Здесь в общем случае $\alpha ,\;\beta \in \mathbb {C}$. Формулы (Д2.50)—(Д2.54) легко доказываются из определения степени для натуральных показателей. На целые показатели они обобщаются с помощью формул (Д2.55). Свойства при рациональных показателях следуют из определения извлечения корня из комплексного числа. Возведение в действительную и комплексную степень требует введение дополнительных понятий, поэтому оставим этот факт пока без доказательства.

Замечание. Как будет показано ниже, при возведении в комплексную степень некоторые формулы (Д2.45)—(Д2.55) могут не выполняться в общем виде.

Комплексно сопряжённое число

Как уже было сказано выше, выбор того, какая упорядоченная пара $(0,\;1)$ или $(0,\;-1)$ будет принята за мнимую единицу, совершенно произволен. Условились, что комплексное число $z$ имеет алгебраическую форму $x+yi$, а комплексное число с алгебраической формой $x-yi$ ($x$ и $y$ в этих двух формулах одинаковы) называется комплексно сопряжённым и обозначается ${\bar {z}}$ или $z^{*}$.

Переход к комплексно сопряжённому удобно рассматривать как унарную (одноместную) операцию, которая изменяет знак у мнимой части комплексного числа $z=x+yi$:

${\bar {z}}\colon (x,\;y)\to (x,\;-y).$(Д2.56)

Рассмотрим основные свойства комплексного сопряжения:

Свойство Д2.1. Комплексно сопряжённое от комплексно сопряжённого числа ${\bar {z}}$ равно самому комплексному числу $z$:

${\bar {\bar {z}}}=z.$(Д2.57)

Это следует из определения операции.

Свойство Д2.2. Сопряжённое к действительному числу $x$ равно самому числу $x$. В частности, ${\bar {0}}=0$.

Это следует из определения действительного числа в рамках модели комплексных чисел и определения комплексного сопряжения.

Свойство Д2.3. Комплексное сопряжение алгебраической суммы равно алгебраической сумме комплексно сопряжённых:

${\overline {z_{1}\pm z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\pm {\bar {z}}_{2}.$(Д2.58)

Доказательство формулы (Д2.58)

Вывод формулы прост. Если $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ и $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$, то их сумма равна:

$z=z_{1}\pm z_{2}=(x_{1}+y_{1}i)\pm (x_{2}+y_{2}i)=(x_{1}\pm x_{2})+(y_{1}\pm y_{2})i.$(Д2.59)

Тогда комплексно сопряжённое равно

${\bar {z}}=(x_{1}\pm x_{2})-(y_{1}\pm y_{2})i.$(Д2.60)

С другой стороны, если рассмотреть алгебраическую сумму комплексно сопряжённых ${\bar {z}}_{1}=x_{1}-y_{1}i$ и ${\bar {z}}_{2}=x_{2}-y_{2}i$:

$z'={\bar {z}}_{1}\pm {\bar {z}}_{2}=(x_{1}-y_{1}i)\pm (x_{2}-y_{2}i)=(x_{1}\pm x_{2})+(-y_{1}\pm (-y_{2}))i=(x_{1}\pm x_{2})-(y_{1}\pm y_{2})i.$(Д2.61)

Равенство ${\bar {z}}=z'$ доказывает истинность формулы (Д2.58).

Свойство Д2.4. Комплексное сопряжение произведения равно произведению комплексно сопряжённых:

${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}.$(Д2.62)

Доказательство формулы (Д2.62)

Рассмотрим комплексное сопряжение произведения двух комплексных чисел $z_{1}=x_{1}+y_{1}i$ и $z_{2}=x_{2}+y_{2}i$:

${\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {(x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)}}={\overline {x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i+x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}}}=$(Д2.63)

        $={\overline {(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i}}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i.$

Для произведения комплексно сопряжённых к $z_{1}$ и $z_{2}$ имеем:

${\bar {z}}_{1}\cdot {\bar {z}}_{2}=(x_{1}-y_{1}i)\cdot (x_{2}-y_{2}i)=x_{1}x_{2}-x_{1}y_{2}i-x_{2}y_{1}i+y_{1}y_{2}i^{2}=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})-(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i.$(Д2.64)

Что и требовалось доказать.

Свойство Д2.5. Комплексное сопряжение частного равно частному комплексно сопряжённых:

${\overline {z_{1}/z_{2}}}={\bar {z}}_{1}/{\bar {z}}_{2}.$(Д2.65)

Доказательство формулы (Д2.65)

Алгебраическая форма частного комплексных чисел согласно (Д2.33) имеет вид:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}=\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)+\left({\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)i,$(Д2.66)

следовательно, комплексно сопряжённое равно:

${\overline {z_{1}/z_{2}}}=\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)-\left({\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)i,$(Д2.67)

Частное комплексно сопряжённых:

${\frac {{\bar {z}}_{1}}{{\bar {z}}_{2}}}={\frac {x_{1}-y_{1}i}{x_{2}-y_{2}i}}={\frac {(x_{1}-y_{1}i)(x_{2}+y_{2}i)}{(x_{2}-y_{2}i)(x_{2}+y_{2}i)}}={\frac {x_{1}x_{2}+x_{1}y_{2}i-x_{2}y_{1}i-y_{1}y_{2}i^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}=\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)-\left({\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)i.$(Д2.68)

Что и требовалось доказать.

Свойство Д2.7. Вообще, комплексное сопряжение комплексного многочлена равно многочлену от комплексно сопряжённых:

${\overline {P(z)}}=P({\bar {z}}),$(Д2.69)

где $P(z)$ — многочлен от комплексного аргумента с комплексными коэффициентами.

Это непосредственно следует из свойств (Д2.3) и (Д2.4).

Свойство Д2.8. Сумма комплексного числа и его сопряжённого есть число действительное, разность — чисто мнимое:

$z+{\bar {z}}=(x+yi)+(x-yi)=2x;\quad z-{\bar {z}}=(x+yi)-(x-yi)=2yi.$(Д2.70)

На основе этого свойства можно записать:

$\mathrm {Re} \,z={\frac {z+{\bar {z}}}{2}};\quad \mathrm {Im} \,z={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}.$(Д2.71)

Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассмотрим декартову систему координат на плоскости (рисунок Д2.1), где по оси абсцисс отложена действительная часть $\mathrm {Re} \,z$ комплексного числа, а по оси ординат — мнимая $\mathrm {Im} \,z$. Таким образом задаётся так называемая комплексная плоскость. Тогда любое комплексное число можно представить в виде точки на этой плоскости или же изобразить число как радиус-вектор к точке на ней. Это представляет собой диаграмму Аргана (см. «Историческая справка»).

Рисунок Д2.1. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Рисунок Д2.2. Геометрическое представление сопряжённых чисел.

Таким образом, нахождение сопряжённого значения ${\bar {z}}$ геометрически является построением точки, симметричной исходной относительно оси абсцисс (рисунок Д2.2).

Модуль и аргумент комплексного числа

В связи с векторной интерпретацией можно наглядно ввести понятия модуля и аргумента комплексного числа.

Модулем (абсолютной величиной, амплитудой) $|z|$ комплексного числа $z$ называется длина радиус-вектора соответствующей точки комплексной плоскости (на рисунке Д2.1 обозначен буквой $r$).

По теореме Пифагора получаем, что

$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$(Д2.72)

или

$|z|={\sqrt {(\mathrm {Re} \,z)^{2}+(\mathrm {Im} \,z)^{2}}}.$(Д2.73)

Причём здесь используется арифметический корень. Непосредственно из (Д2.72) следует, что для вещественных $|z|$ совпадает с абсолютной величиной этого числа.

Свойства модуля комплексного числа

Свойство Д2.9. Из определения модуля следует, что $|z|\geqslant 0$, при этом $|z|=0$, только когда $z=0$.

Свойство Д2.10. Для модулей суммы и разности комплексных чисел справедливы следующие неравенства:

$|z_{1}+z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|,$(Д2.74)

$|z_{1}-z_{2}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|,$(Д2.75)

$|z_{1}+z_{2}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|,$(Д2.76)

$|z_{1}-z_{2}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|;$(Д2.77)

более того

$|z_{1}+z_{2}|\geqslant ||z_{1}|-|z_{2}||,$(Д2.78)

$|z_{1}-z_{2}|\geqslant ||z_{1}|-|z_{2}||.$(Д2.79)

Справедливы также обобщённые выражения:

$|z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}|\leqslant |z_{1}|+|z_{2}|+\ldots +|z_{n}|,$(Д2.80)

$|z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|-\ldots -|z_{n}|.$(Д2.81)

В (Д2.74)—(Д2.81) равенство достигается только при $z_{1}=z_{2}=\ldots$.

Доказательство свойства Д2.10 отложим до рассмотрения тригонометрической формы комплексного числа, в которой данные формулы легко доказываются.

Свойство Д2.11. Модуль произведения комплексных чисел равен произведению модулей:

$|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|.$(Д2.82)

Доказательство свойства Д2.11

Рассмотрим два выражения:

$|z_{1}\cdot z_{2}|=|(x_{1}+y_{1}i)\cdot (x_{2}+y_{2}i)|=|(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})i|={\sqrt {(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})^{2}+(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1})^{2}}}$(Д2.83)

и

$|z_{1}|\cdot |z_{2}|=|x_{1}+y_{1}i|\cdot |x_{2}+y_{2}i|={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}\cdot {\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}={\sqrt {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}.$(Д2.84)

В формуле (Д2.83) раскроим скобки в подкоренном выражении:

$|z_{1}\cdot z_{2}|={\sqrt {x_{1}^{2}x_{2}^{2}-{\underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}+{\underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}=$

$={\sqrt {{\underline {x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}+{\underline {\underline {y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}}+{\underline {x_{1}^{2}y_{2}^{2}}}+{\underline {\underline {x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}}}}={\sqrt {x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})+y_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}={\sqrt {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}}.$(Д2.85)

Сравнивая (Д2.84) и (Д2.85), убеждаемся в выполнении свойства Д2.11. Что и требовалось доказать.

В частности, верно равенство $|a\cdot z|=|a|\cdot |z|$, где $a\in \mathbb {R}$, $z\in \mathbb {C}$.

По индукции можно доказать более общее равенство:

$|z_{1}\cdot z_{2}\cdot \ldots \cdot z_{n}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|\cdot \ldots \cdot |z_{n}|.$(Д2.86)

Откуда можно в частности получить:

$|z^{n}|=|z|^{n},\quad n\in \mathbb {N} .$(Д2.87)

Свойство Д2.12. Модуль отношения комплексных чисел равен отношению модулей:

$\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}\qquad (z_{2}\neq 0).$(Д2.88)

Доказательство свойства Д2.12

Аналогично предыдущему доказательству рассмотрим два выражения:

$\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|=\left|{\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}\right|=\left|{\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}+{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}i\right|={\sqrt {\left({\frac {x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}\right)^{2}}}$(Д2.89)

и

${\frac {|z_{1}|}{|z_{2}|}}={\frac {|x_{1}+y_{1}i|}{|x_{2}+y_{2}i|}}={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}{\sqrt {x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}.$(Д2.90)

В формуле (Д2.88) в подкоренном выражении приведём к общему знаменателю, а потом раскроим скобки в числителе:

$\left|{\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right|={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}x_{2}^{2}+{\underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+y_{1}^{2}y_{2}^{2}+x_{2}^{2}y_{1}^{2}-{\underline {2x_{1}x_{2}y_{1}y_{2}}}+x_{1}^{2}y_{2}^{2}}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}=$

$={\sqrt {\frac {{\underline {x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}+{\underline {\underline {y_{1}^{2}y_{2}^{2}}}}+{\underline {x_{1}^{2}y_{2}^{2}}}+{\underline {\underline {x_{2}^{2}y_{1}^{2}}}}}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})+y_{1}^{2}(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={\sqrt {\frac {(x_{1}^{2}+y_{1}^{2})(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})}{(x_{2}^{2}+y_{2}^{2})^{2}}}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}}.$(Д2.91)

Сравнивая (Д2.90) и (Д2.91), убеждаемся в выполнении свойства Д2.12. Что и требовалось доказать.

Свойство Д2.13. Для пары комплексных чисел $z_{1}$ и $z_{2}$ модуль их разности $|z_{1}-z_{2}|$ равен расстоянию между соответствующими точками комплексной плоскости. Это станет ясно, если рассмотреть выражение $|z_{1}-z_{2}|$ в алгебраической форме:

$|z_{1}-z_{2}|=|(x_{1}-x_{2})+(y_{1}-y_{2})i|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},$(Д2.92)

которое совпадает с формулой для расстояния между двумя точками (метрикой) на евклидовой плоскости.

Свойство Д2.14. Модули комплексного числа и его сопряжённого равны:

$|z|=|{\bar {z}}|.$(Д2.93)

Это легко доказать:

$|{\bar {z}}|=|x-yi|={\sqrt {x^{2}+(-y)^{2}}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=|z|.$(Д2.94)

---

Под аргументом $\mathrm {Arg} \,z$ комплексного числа $z$ понимается угол (в радианах), который составляет радиус-вектор, соответствующий числу, с осью абсцисс (осью действительных значений); угол отсчитывается против часовой стрелки. На рисунке Д2.1 обозначается как $\varphi$.

Рисунок Д2.3. Неоднозначность определения аргумента комплексного числа.

Однако, из определения следует, что угол задаётся неоднозначно — с точностью до $2\pi k$, где $k\in \mathbb {Z}$ (рисунок Д2.3). В связи с этим вводится понятие главного значения аргумента $\arg z$ — значение угла $\varphi$, которое принадлежит полуинтервалу $(-\pi ,\;\pi ]$:

$\mathrm {Arg} \,z=\{\mathrm {arg} \,z+2\pi k\colon k\in \mathbb {Z} \}.$(Д2.95)

Обычно, когда говорят об аргументе комплексной величины, имеют в виду именно главное значение.

Из определения тригонометрических функций можно получить, что аргумент комплексного числа равен, такому значению $\varphi$, что одновременно

$\sin \varphi ={\frac {\mathrm {Im} \,z}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}},\quad \cos \varphi ={\frac {\mathrm {Re} \,z}{|z|}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.$(Д2.96)

Таким образом, для вычисления (главного значения) аргумента используется следующее выражение:

$\arg z=\arg \,(x+yi)={\begin{cases}\mathrm {arctg} \,{\dfrac {y}{x}},&x>0;\\{\dfrac {\pi }{2}}-\mathrm {arctg} \,{\dfrac {x}{y}},&y>0;\\-{\dfrac {\pi }{2}}-\mathrm {arctg} \,{\dfrac {x}{y}},&y<0;\\\pi +\mathrm {arctg} \,{\dfrac {y}{x}},&x<0,\;y\geqslant 0;\\-\pi +\mathrm {arctg} \,{\dfrac {y}{x}},&x<0,\;y<0\\{\text{undefined}},&x=0,\;y=0.\end{cases}}$(Д2.97)

Свойства аргумента комплексного числа

Свойство Д2.15. Аргумент (в общем смысле) произведения комплексных чисел равен сумме аргументов этих чисел:

$\mathrm {Arg} \,(z_{1}\cdot z_{2})=\mathrm {Arg} \,z_{1}+\mathrm {Arg} \,z_{2}.$(Д2.98)

Это свойство (и аналогичные) справедливо и для главных значений, если привести $\mathrm {Arg} \,z$ к полуинтервалу $(-\pi ,\;\pi ]$.

Методом математической индукции можно также доказать, что

$\mathrm {Arg} \,(z_{1}\cdot z_{2}\cdot \ldots \cdot z_{n})=\mathrm {Arg} \,z_{1}+\mathrm {Arg} \,z_{2}+\ldots +\mathrm {Arg} \,z_{n}.$(Д2.99)

Эта формула приводит к такому выражению для натуральной степени комплексного числа:

$\mathrm {Arg} \,(z^{n})=n\,\mathrm {Arg} \,z,\quad n\in \mathbb {N} .$(Д2.100)

Свойство Д2.16. Аргумент отношения комплексных чисел равен разности аргументов:

$\mathrm {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=\mathrm {Arg} \,z_{1}-\mathrm {Arg} \,z_{2}.$(Д2.101)

Здесь предполагает, что $z_{1}\neq 0$ и $z_{2}\neq 0$, иначе значение аргумента не определено.

В частности, справедливо

$\arg {\frac {1}{z}}=-\arg z,\quad (z\neq 0).$(Д2.102)

Доказательства этих свойств удобнее вести с использованием показательной формы комплексного числа.

Свойство Д2.17. Аргумент комплексно сопряжённого числа равен противоположному значению аргумента комплексного числа:

$\arg {\bar {z}}=-\arg z.$(Д2.103)

Это свойство наглядно доказывается из рисунка Д2.2: так как операция комплексного сопряжения соответствует симметричному отражению, относительно оси абсцисс, то угол, который составляет радиус-вектор комплексно сопряжённого будет иметь противоположный знак (если свести его к стандартному полуинтервалу $(-\pi ,\;\pi ]$).

Геометрическая интерпретация арифметических действий с комплексными числами

Изображение комплексных чисел как радиус-векторов на комплексной плоскости позволяет наглядно выполнять основные арифметические операции над комплексными числами. Так сложение и вычитание двух комплексных чисел в геометрическом виде (рисунок Д2.4) сводится к сложению по правилу параллелограмма радиус-векторов этих чисел.

Рисунок Д2.4. Геометрическое представление сложения комплексных чисел.

Рисунок Д2.5. Геометрическое представление умножения комплексных чисел.

Рисунок Д2.6. Геометрическое представление деления комплексных чисел.

Результатом умножения двух комплексных чисел, согласно (Д2.82) и (Д2.98), является такой радиус-вектор (рисунок Д2.5), у которого модуль равен произведению модулей исходных комплексных чисел, а аргумент — сумме аргументов этих чисел. При делении двух комплексных чисел, согласно (Д2.88) и (Д2.101), нужно построить такой радиус-вектор (рисунок Д2.6), что модуль его будет равен отношению модулей, а аргумент — разности аргументов этих чисел. При этом предполагается, что используется главное значение аргумента результата.

Тригонометрическая форма комплексного числа

Введённые выше модуль и аргумент позволяют записать комплексное число в тригонометрической форме. Для этого выразим из (Д2.96) действительную и мнимую части комплексного числа через тригонометрические функции:

$\mathrm {Re} \,z=r\cos \varphi ,\quad \mathrm {Im} \,z=r\sin \varphi ,$(Д2.104)

где $r=|z|,\;\varphi =\arg z$.

Тогда получим такое выражение:

$z=x+yi=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),$(Д2.105)

которое называется тригонометрической формой комплексного числа.

Такое представление имеет любое комплексное число, кроме $z=0$ (из-за неопределенности $\arg z$).

В таком представление можно просто доказать выражения, связанные с модулем комплексных чисел (см. свойство Д2.10).

Доказательство свойства Д2.10

Докажем формулу (Д2.74). Слева в этом неравенстве стоит такое выражение:

$|z_{1}+z_{2}|=|r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})+r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})|=|r_{1}\cos \varphi _{1}+r_{2}\cos \varphi _{2}+i(r_{1}\sin \varphi _{1}+r_{2}\sin \varphi _{2})|=$

$={\sqrt {(r_{1}\cos \varphi _{1}+r_{2}\cos \varphi _{2})^{2}+(r_{1}\sin \varphi _{1}+r_{2}\sin \varphi _{2})^{2}}}={\sqrt {{\underline {r_{1}^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}}}+{\underline {\underline {\underline {2r_{1}r_{2}\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}}}}}+{\underline {\underline {r_{2}^{2}\cos ^{2}\varphi _{2}}}}+{\underline {r_{1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}+{\underline {\underline {\underline {2r_{1}r_{2}\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2}}}}}+{\underline {\underline {r_{2}^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}}}}=$

$={\sqrt {r_{1}^{2}(\cos ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{1})+2r_{1}r_{2}(\cos \varphi _{1}\cos \varphi _{2}+\sin \varphi _{1}\sin \varphi _{2})+r_{2}^{2}(\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2})}}={\sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+r_{2}^{2}}}.$(Д2.106)

Так как $\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})\leqslant 1$, то

$|z_{1}+z_{2}|={\sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}\cos(\varphi _{1}-\varphi _{2})+r_{2}^{2}}}\leqslant {\sqrt {r_{1}^{2}+2r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}}={\sqrt {(r_{1}+r_{2})^{2}}}=r_{1}+r_{2}.$(Д2.107)

Следует напомнить, что $r_{1}\geqslant 0,\;r_{2}\geqslant 0$.

Теперь рассмотрим выражение, стоящее с правой стороны неравенства (Д2.74):

$|z_{1}|+|z_{2}|=|r_{1}(\cos \varphi _{1}+i\sin \varphi _{1})|+|r_{2}(\cos \varphi _{2}+i\sin \varphi _{2})|={\sqrt {r_{1}^{2}\cos ^{2}\varphi _{1}+r_{1}^{2}\sin ^{2}\varphi _{1}}}\,+\,{\sqrt {r_{2}^{2}\cos ^{2}\varphi _{2}+r_{2}^{2}\sin ^{2}\varphi _{2}}}=$

$={\sqrt {r_{1}^{2}(\cos ^{2}\varphi _{1}+\sin ^{2}\varphi _{1})}}+{\sqrt {r_{2}^{2}(\cos ^{2}\varphi _{2}+\sin ^{2}\varphi _{2})}}={\sqrt {r_{1}^{2}}}+{\sqrt {r_{2}^{2}}}=r_{1}+r_{2}.$(Д2.108)

Сравнивая (Д2.107) и (Д2.108), убеждаемся в справедливости формулы (Д2.74). Что и требовалось доказать. Из только что приведённого доказательства по индукции выводится и верность формулы (Д2.80).

Для доказательства неравенства (Д2.75) заменим в выражении (Д2.74) $z_{2}$ на $-z_{2}$. Так как $|z_{2}|=|-z_{2}|$, а при доказательстве (Д2.74) используются квадраты величин, получаем, что конечное выражение не изменится. Этим убеждаемся в справедливости (Д2.75).

Чтобы доказать (Д2.76), рассмотрим такое равенство:

$z_{1}=(z_{1}+z_{2})-z_{2}$(Д2.109)

и применим к нему неравенство (Д2.75). Получим

$|z_{1}|\leqslant |z_{1}+z_{2}|-|z_{2}|,$(Д2.110)

откуда получаем требуемое неравенство $|z_{1}+z_{2}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|$.

По аналогии с (Д2.75) доказывается и (Д2.77): заменив в (Д2.76) $z_{2}$ на $-z_{2}$, получим требуемое неравенство.

Неравенство (Д2.78) следует из того факта, что в силу коммутативности сложения неравенство (Д2.76) можно записать двумя способами:

$|z_{1}+z_{2}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|$(Д2.111)

и

$|z_{2}+z_{1}|\geqslant |z_{2}|-|z_{1}|.$(Д2.112)

Выбрав из двух значений (отличающихся знаком), стоящих в правой части, большее (что эквивалентно, в данном случае, нахождению абсолютного значения), придём к неравенству (Д2.78).

Доказательство неравенства (Д2.79) также основано на замене $z\to -z$.

Доказательство обобщённого неравенства (Д2.81) основано на использовании обобщённого неравенств (Д2.80) и (Д2.75):

$|z_{1}+z_{2}+\ldots +z_{n}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}+\ldots +z_{n}|\geqslant |z_{1}|-|z_{2}|-\ldots -|z_{n}|.$(Д2.113)

Итак, мы доказали справедливость всех неравенств (Д2.74)—(Д2.81).

Свойство Д2.18. При вычислении целой степени комплексного числа справедлива формула Муавра:

$z^{k}=r^{k}(\cos k\varphi +i\sin k\varphi ),\quad k\in \mathbb {Z} .$(Д2.114)

Доказательство свойства Д2.18

Для натуральных $k=n\;(n\in \mathbb {N} )$ справедливость формулы Муавра следует из формул (Д2.87) и (Д2.100). Для целых отрицательных $k=-n\;(n\in \mathbb {N} )$ (с учётом Д2.102) выражение (Д2.114) можно записать, как

если $r=|z|$, тогда $|z^{-n}|=r^{-n}=r^{k};$

если $\varphi =\mathrm {Arg} \,z$, тогда $\mathrm {Arg} \,z^{-n}=-\mathrm {Arg} \,z^{n}=-n\mathrm {Arg} \,z=-n\varphi =k\varphi .$(Д2.115)

Формулу Муавра также можно применять для нахождения корней из комплексных чисел.

Свойство Д2.19. Операция извлечения корня $n$-ой степени из комплексного числа даёт $n$ (возможно совпадающих) комплексных значений, которые в тригонометрической записи будут иметь вид:

${\sqrt[{n}]{z}}=z^{1/n}=r^{1/n}\left(\cos {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2\pi k}{n}}\right),$(Д2.116)

где $k=0,\;1,\;\ldots ,\;n-1\;(n,\;k\in \mathbb {N} ).$

Доказательство свойства Д2.19

По определению корнем $n$-ой степени из комплексного числа $z$ (обозначаемый ${\sqrt[{n}]{z}}$) называется такое комплексное число $\zeta$, что:

$\zeta ^{n}=z.$(Д2.117)

На основании формулы Муавра равенство (Д2.117) можно записать как

$\rho ^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )=r(\cos \varphi +i\sin \varphi ),$(Д2.118)

где $\rho$ и $r$ — модули комплексных чисел $\zeta$ и $z$ соответственно, а $\theta$ и $\varphi$ — главные значения их аргументов. Сравнивая модули и аргументы (в общем смысле), получим следующие тождества:

$\rho ^{n}=r;$(Д2.119)

$n\theta =\varphi +2\pi k.\quad (k\in \mathbb {Z} )$(Д2.120)

Так как модули являются положительными действительными числами, то из первого равенства следует, что

$\rho ={\sqrt[{n}]{r}}=r^{1/n},$(Д2.121)

а из второго получим:

$\theta ={\frac {\varphi +2\pi k}{n}}.\quad (k\in \mathbb {Z} )$(Д2.122)

С учётом того, что нас интересует только главное значение $\arg \zeta$, то $k$ можно ограничить полной системой вычетов по модулю $n$, например, таким множеством значений $\{0;\;1;\;\ldots ;\;n-1\}.$

Таким образом, применение формулы Муавра для извлечения корня степени $n$ из комплексного числа $z$ даёт набор из $n$ (необязательно различных) комплексных чисел $\{\zeta _{n}\}$.

Пример Д2.1. Рассмотрим извлечение кубического корня из единицы на множестве комплексных чисел (подробнее см. статью «Корни из единицы»):

Рисунок Д2.7. Геометрическое представление кубического корня из единицы.

Представим 1 в тригонометрической форме:

$1=1\cdot (\cos 0+i\sin 0).$(Д2.123)

По формуле извлечения корня (Д2.116) получим:

${\sqrt[{3}]{1}}={\sqrt[{3}]{1}}\cdot (\cos {\frac {0+2\pi k}{3}}+i\sin {\frac {0+2\pi k}{3}})\quad (k=0,\;1,\;2)$(Д2.123)

или

${\sqrt[{3}]{1}}=\cos {\frac {2\pi k}{3}}+i\sin {\frac {2\pi k}{3}}.\quad (k=0,\;1,\;2)$(Д2.124)

Перейдя к алгебраической форме, имеем:

${\sqrt[{3}]{1}}=\left\{1;\;{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}};\;{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.$(Д2.125)

Графически данный результат можно представить в виде равностороннего треугольника, вписанного в единичную окружность (рисунок Д2.7).

Таким образом, формула (Д2.116) позволяет найти все комплексные решения уравнения

$x^{n}-1=0.$(Д2.126)

Показательная форма комплексного числа

Применение формулы Эйлера для определения комплексной экспоненты

$e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,$(Д2.127)

к тригонометрической форме комплексного числа

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$(Д2.128)

позволяет получить показательную форму комплексного числа:

$z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )=re^{i\varphi }.$(Д2.129)

Такая запись является более компактной по сравнению с тригонометрической, но является ей эквивалентной (при правильном использовании аргумента).

В показательной форме, например, удобно провести доказательства свойств Д2.15 и Д2.16.

Доказательство свойств Д2.15 и Д2.16

Чтобы доказать формулу (Д2.98) представим $z_{1}$ и $z_{2}$ в показательной форме:

$z_{1}=r_{1}e^{i\varphi _{1}},\quad z_{2}=r_{2}e^{i\varphi _{2}}.$(Д2.130)

Значит

$z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})},$(Д2.131)

тогда

$\mathrm {Arg} \,(z_{1}\cdot z_{2})=\mathrm {Arg} \left(r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}\right)=\varphi _{1}+\varphi _{2}=\mathrm {Arg} \,z_{1}+\mathrm {Arg} \,z_{2}.$(Д2.132)

Аналогично, можно показать справедливость выражения (Д2.101):

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})},$(Д2.133)

а это означает, что

$\mathrm {Arg} \left({\frac {z_{1}}{z_{2}}}\right)=\varphi _{1}-\varphi _{2}=\mathrm {Arg} \,z_{1}-\mathrm {Arg} \,z_{2}.$(Д2.134)

Что и требовалось доказать.

Показательная форма комплексного числа удобно позволяет определить показательную и логарифмическую функции комплексного аргумента.

Показательная и логарифмическая функция комплексного аргумента

Показательную форму комплексного числа $z=re^{i\varphi }$ можно переписать и так:

$z=re^{i\varphi }=e^{\ln r}e^{i\varphi }=e^{\ln r+i\varphi },$(Д2.135)

поэтому формально логарифм комплексного числа можно определить как

$\ln z=\ln(e^{\ln r+i\varphi })=\ln r+i\varphi .$(Д2.136)

Не стоит, однако, забывать, что $\varphi$ не ограничивается главным значением аргумента, поэтому определённый выше логарифм является главным значением логарифмической функции комплексного аргумента:

$\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i(\varphi +2\pi k),\quad (k\in \mathbb {Z} )$(Д2.137)

которая является многозначной.

Переход от логарифма по основанию $e$ к логарифму по основанию $z_{2}$ осуществляется по формуле

$\mathrm {Log} _{z_{2}}\,z_{1}={\frac {\mathrm {Ln} \,z_{1}}{\mathrm {Ln} \,z_{2}}}.$(Д2.138)

Формулу (Д2.138), а также другие логарифмические тождества для комплексных чисел нужно применять только с учётом их многозначности, в противном случае, это может привести к ошибочному результату.

Экспоненту комплексного числа в алгебраической форме вычисляется по формуле:

$e^{z}=e^{x+yi}=e^{x}(\cos y+i\sin y)=e^{x}\cos y+ie^{x}\sin y.$(Д2.139)

Для вычисления показательной функции при любом основании служит следующая формула:

$z_{1}^{z_{2}}=e^{z_{2}\,\mathrm {Ln} \,z_{1}},$(Д2.140)

которую также следует применять, не забывая о многозначности.

Общие замечания

Как уже говорилось выше, при распространении алгебраических тождеств, справедливых для действительных чисел и действительных функций от них, следует проявлять большую осторожность. Так, например, из равенства логарифмов неких выражений ещё не следует равенство самих этих выражений. Тоже самое относится и к вычислению корней из комплексных чисел. Это можно проиллюстрировать на примере следующих математических софизмов:

Пример Д2.2: Рассмотрим такое равенство:

$i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi ,$(Д2.141)

которое является явно неверным. Выражение (Д2.141) ошибочно, потому что в нём применяется формула логарифма степени $\log _{a}(b^{p})=p\log _{a}b$ без учёта, того что она справедлива при рассмотрении всего бесконечного набора значений комплексного логарифма, а не только его главного значения.

Пример Д2.3: Другим известным софизмом является такой:

$-1=i^{2}=({\sqrt {-1}})^{2}={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}={\sqrt {1}}=1.$(Д2.142)

При доказательстве этого «тождества» не учтено, что не только $i^{2}=-1$, но и $(-i)^{2}=-1$, поэтому корень из минус единицы имеет два значения $i$ и $-i$ (см. выше). Также следует заметить, что применение формулы ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$ требует выбора правильного главного значения аргумента.