Теория музыки для математиков/Физические основы звука

Звук есть воспринимаемые человеческим слухом колебания воздуха. Музыкальные звуки порождаются музыкальными инструментами (в этом смысле человеческий голос тоже условно причисляется к музыкальным инструментам). Традиционной моделью для изучения музыкальных звуков являются колеблющаяся струна. Струны лежат в основе большого числа инструментов (не только струнных, но и, например, клавишных). Рассмотрим и мы колеблющуюся струну, чтобы узнать, что же за колебания воздуха она порождает.

Уравнение колебания струны

Колебания струны изучали ещё Пифагорейцы. Они использовали для этого несложный прибор под названием монохорд. Это единственная струна закрепленная в двух точках и снабжённая резонатором.

Значительно позже, в XVIII веке, после работ Ньютона и Лейбница в области физики и дифференциального исчисления, было выведено уравнение колебания струны - так называемое волновое уравнение (породившее новую область в науке - математическую физику).

${\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=a^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$

Здесь t - время; x - координаты струны в положении равновесия; ${u=u(x,t)}$ - неизвестная функция, выражающая отклонение точки с координатой x в момент времени t от положения равновесия; a² - коэффициент пропорциональности, характеризующий упругие свойства струны ($a={\sqrt {T/\rho }}$, T - сила натяжения струны, $\rho$ - плотность однородной струны). Предполагается, что струна совершает малые колебания, просиходяшие в однородной плоскости.

Волновое уравнение есть не что иное, как следствие второго закона Ньютона. Левая часть - ускорение струны в точке x, а правая часть - отнесенная к массе струны сила, вызывающая это ускорение, которая тем больше, чем больше вогнутость струны ${\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}$.

Мы не будем здесь решать волновое уравнение, а лишь отметив заслуги Д'Аламбера, Даниила Бернулли, Эйлера и Фурье, приведём конечный результат.

$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }u_{n}(x,t),$
$u_{n}(x,t)=A_{n}(x)\sin \left({{n\pi {a} \over l}t+\phi _{n}}\right)$
$A_{n}(x)={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\sin {{n\pi \over l}x}.$

Отсюда видно, что каждая функция u_n представляет собой гармоническое колебание с частотой $\omega _{n}={n\pi a} \over l$ и фазой $\phi _{n}$. Амплитуда же колебаний для разных точек разная. На концах струна неподвижна. Все точки струны одновременно достигают своего максимального отклонения в ту или другую сторону и одновременно проходят положения равновесия. Такие колебания называются стоячими волнами. Неподвижные точки называются узлами стоячей волны. Посредине между узлами расположены точки, в которых отклонения достигают максимума. Эти точки назывются пучностями стоячей волны.

Вывод: колебание конечной струны представляет собой бесконечную сумму стоячих волн $u_{n}(x,t)$, каждая из которых имеет постоянную частоту колебания $\omega _{n}={n\pi a} \over l$ и изменяющуюся по длине струны амплитуду $A_{n}(x)={\sqrt {a_{n}^{2}+b_{n}^{2}}}\sin {{n\pi \over l}x}$. В k-й стоячей волне имеется k пучностей и (k+1) узлов.

Чистых колебаний заданной частоты в природе не бывает. Даже колеблющаяся струна – излюбленная модель для изучения звука – издает кроме основного тона еще и множество обертонов – звуков кратных частот.

Обертоны строятся по разным принципам в зависимости от колеблющегося тела. Колебания струны порождают обертоны, отношения которых к основной частоте задаются рядом натуральных чисел: 1, 2, 3, ...

...

Итого:

1. Интересующие нас звуки - это сумма гармонических колебаний, в которых можно выделить основную частоту и обертоны.
2. Звуки, не имеющие основной частоты вовсе назовем шумами и не будем рассматривать вовсе.
3. Полезная абстракция для дальнейшего изучения - идеальные колебания на определенной частоте (f).

Идеальные звуки: тонами или просто звуками (нем. Ton).

1. Реальные музыкальные звуки - это наложение тонов. Все вместе они образуют сложный звук (нем. Klang), содержащий звук основной частоты и обертоны.

TODO: разрыв

Интервалы

Под интервалом понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется основанием интервала (f₁), а верхний звук (с большей частотой) – его вершиной (f₂). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. Акустическим интервалом (или интервальным коэффициентом) между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания:

${I_{21}={f_{2} \over f_{1}}\ (f_{2}\geq f_{1})}$

Примой называется акустический интервал, равный 1 (т.е. тривиальный интервал), октавой - 2, чистой квинтой – 3/2, чистой квартой – 4/3. Осторожно: на других уровнях рассуждений те же названия интервалов имеют совершенно иной смысл!

С физической точки зрения проинтерпретировать это можно так: при акустическом интервале прима волны частот звуков совпадают; при интервале квинта за одно полное колебание звука основания происходит полтора колебания верхнего звука, т.е. три полуволны; при кварте – за полтора колебания звука основания верхний звук успевает совершить два полных колебания или четыре полуколебания; при интервале октава на одно полное колебание основания приходится два колебания верхнего звука или четыре полуволны. (можно, но не нужно - Grigory Grin 21:00, 13 Ноя 2004 (UTC))

Интервал, не превосходящий 2, называется простым, больший 2 – составным. Обращением интервала λ называется величина 2/λ. Очевидно, что произведение интервала и его обращения дает октаву.

В дальнейшем при построении музыкального звукоряда будут использоваться октавы и квинты. Объяснение этому можно искать, например, в теории обертонов. Если говорить о струне, то прима – это первый обертон (совпадающий с основным тоном), октава – второй, а квинта – третий. Эти интервалы и звучат для человеческого уха наилучшим образом (но здесь мы забегаем вперед).

Обозначения звуков

На данном уровне можно обозначать звуки лишь их абсолютной частотой в герцах (Hz) или же, если выбрать один из звуков за точку отсчета, можно сопоставить каждому другому звуку интервал от точки отсчета, исчисляемый как частное от деления частоты звука на частоту точки отсчета. Такой подход позволяет абстрагироваться от конкретных частот (оставить это как задачу калибровки, см. приложение) и изучать лишь соотношения между звуками.

к содержанию