Теория музыки для математиков/Физические основы звука

Звук есть воспринимаемые человеком колебания воздуха. Отбросим для дальнейшего рассмотрения всевозможные шумы, и сконцентрируемся лишь на звуках, являющихся периодическими колебаниями. Т.е. на тех звуках, которым можно сопоставить частоту колебаний (f). Такие звуки будем называть музыкальными звуками, тонами или просто звуками (нем. Ton). Чистых колебаний заданной частоты в природе не бывает. Даже колеблющаяся струна – излюбленная модель для изучения звука – издает кроме основного тона еще и множество обертонов – звуков кратных частот. Все вместе они образуют сложный звук (нем. Klang), содержащий звук основной частоты и обертоны.

Обертоны строятся по разным принципам в зависимости от колеблющегося тела. Колебания струны порождают обертоны, отношения которых к основной частоте задаются рядом натуральных чисел: 1, 2, 3, ...

TODO: разрыв

Интервалы. Под интервалом понимается расстояние между двумя звуками. При этом нижний звук (с меньшей частотой) называется основанием интервала (f₁), а верхний звук (с большей частотой) – его вершиной (f₂). Расстояние можно измерять по-разному, поэтому существуют разные понятия интервала, которые, иногда, одинаково обозначаются в музыке, что привносит путаницу. На физическом уровне у нас есть только частоты. Акустическим интервалом (или интервальным коэффициентом) между двумя звуками назовем частное от деления частоты вершины на частоту основания:

${I_{21}={f_{2} \over f_{1}}\ (f_{2}\geq f_{1})}$

Примой называется акустический интервал, равный 1 (т.е. тривиальный интервал), октавой - 2, чистой квинтой – 3/2, чистой квартой – 4/3. Осторожно: на других уровнях рассуждений те же названия интервалов имеют совершенно иной смысл!

С физической точки зрения проинтерпретировать это можно так: при акустическом интервале прима волны частот звуков совпадают; при интервале квинта за одно полное колебание звука основания происходит полтора колебания верхнего звука, т.е. три полуволны; при кварте – за полтора колебания звука основания верхний звук успевает совершить два полных колебания или четыре полуколебания; при интервале октава на одно полное колебание основания приходится два колебания верхнего звука или четыре полуволны. (можно, но не нужно - Grigory Grin 21:00, 13 Ноя 2004 (UTC))

Интервал, не превосходящий 2, называется простым, больший 2 – составным. Обращением интервала λ называется величина 2/λ. Очевидно, что произведение интервала и его обращения дает октаву.

В дальнейшем при построении музыкального звукоряда будут использоваться октавы и квинты. Объяснение этому можно искать, например, в теории обертонов. Если говорить о струне, то прима – это первый обертон (совпадающий с основным тоном), октава – второй, а квинта – третий. Эти интервалы и звучат для человеческого уха наилучшим образом (но здесь мы забегаем вперед).

Обозначения звуков. На данном уровне можно обозначать звуки лишь их абсолютной частотой в герцах (Hz) или же, если выбрать один из звуков за точку отсчета, можно сопоставить каждому другому звуку интервал от точки отсчета, исчисляемый как частное от деления частоты звука на частоту точки отсчета. Такой подход позволяет абстрагироваться от конкретных частот (оставить это как задачу калибровки, см. приложение) и изучать лишь соотношения между звуками.

к содержанию