Управление техническими системами: различия между версиями
Рулин (обсуждение | вклад) |
Рулин (обсуждение | вклад) |
||
Строка 241: | Строка 241: | ||
Поясним на примере составление уравнения в переменных состояния. Пусть у нас есть уравнение |
Поясним на примере составление уравнения в переменных состояния. Пусть у нас есть уравнение |
||
:<math>T^2*d^2x/dt^2 + 2eTdx/dt+x=ku </math> (4.3) |
:<math>T^2*d^2x/dt^2 + 2eTdx/dt+x=ku </math> (4.3) |
||
Введём обозначение |
|||
:<math>x_1=x </math> |
|||
:<math>x_2=dx/dt</math> |
|||
Тогда имеем |
|||
:<math>dx_1/dt=dx_2</math> |
|||
:<math>dx_2/dt=-2e/T*x_2-x_1/T^2+ku/T^2</math> |
|||
или |
|||
==Литература== |
==Литература== |
Версия от 12:08, 24 декабря 2010
Глава 1
Предмет ведения ТАУ ТС.Управление. Классификация САУ. Дифференциальных уравнения в мат. описании САУ. Изучаемые теории САУ их уравнения.
Данный курс называется полностью "теория автоматического управления в технических системах" (ТАУ ТС), в дальнейшем будет использоваться название "Управление техническими системами" и сокращение УТС. Тем , кто не является инженером или не обучается на него для понимания предмета курса не лишним будет уточнить следующие термины
Автоматика - отрасль науки и техники, охватывающая совокупность методов и технических средств , освобождающих человека от непосредственного выполнения операций по контролю производственными процессами и техническими устройствами.
Кибернетика - наука об общи закономерностях процессов управления в различных системах. Она может подразделяется на медицинскую, биологическую и техническую кибернетику.
Управление - переведение системы из состояния А в состояние Б путём управляющего воздействия. Как правило данное воздействие осуществляется малыми массами и энергиями на объект большой массы и энергии.
Автоматизация - замена умственной деятельности человека работой автоматов ( Для сравнения - механизация заменяет мускульную силу человека) .
Техническое устройство - совокупность машин и механизмов, выполняющих определённую функцию по преобразованию энергии и совершению полезной работы.
Обобщённая схема управления имеет следующий вид:
Хорошим примером такой системы является цепочка Разведка-Коммандир-Воинское подразделения, в которой коммандир на основании разведки вырабатывает управляющее воздействие для своих подчинённых. Если взять пример из технике, то в роли "разведки" может выступать например датчик углового перемещения в инерциальном пространстве(гироскоп), исполнительным устройством будет двигатель, который выставит платформу в соотвествии с показаиями гироскопа, а "коммандиром" будет передающее звено, определяющее коэффициент усиления системы.
Частный случай управления - регулирование = выдерживание какого-либо параметра в соотвествии с задающим сигналом. Наглядный пример- действия подчинённого, которому прикащали при попытке атаки противника стрелять из пулемёта. Как видим число атакующих является параметром, которое надо выдерживать, с другой стороны это число влияет на поведение подчинённого. У нас таким образом замкнутая система регулирования. Графически она представляется так:
Где
g(t)-Задающее воздействие (Комманда коммандира)
x(t) - Регулируемая величина (Число атакующих)
e(t) - Ошибка регулирования =g(t)-x(t) (Число тех, кого надо застрелить из пулёмёта, чтобы выполнить приказ коммандира)
На основании g(t) Регулятором формируется регулирующее воздействие u(t) ( Огонь из пулёмёта). Также у нас есть возмущающее воздействие f(t), которое приводит к появлению e(t) ( Например кто-то из атакующих стал передвигаться ползком) . Есть возмущающие воздействия , которые поддаются измерению, а есть неподдающаяся.
Классификация САУ
- I. По виду задающего воздействия
- g=const -систематическая стабилизация.
- g(t) = переменная - следящая стабилизация
- g(t) = переменная, нет обратной связи - система программного регулирования.
- II По наличию/ отсутствию ОС.
- Отсутствует ОС (разомкнутая система)
- Присутствует ОС (замкнутая система)
- III По виду энергии.
- Механическая
- Электрическая
- IV. По принципу регулирования
- Регулирование по отклонению (e(t) )
- Регулирование по возмущению (f(t))
- Комбинированная система.
Системы бывают одномерными и многомерными. У многомерных систем есть несколько задающих воздействий и регулируемых величин.Имеются также адаптивные системы (будут подробно рассмотренны позже) . Они делятся на ( от самой "тупой" до самой "интеллектуальной" )
- Самонастраивающиеся
- Самоорганизующиеся
- Саморегулирующиеся.
истемы автоматического управления (САУ) описываются с помощью математической модели. Решение данной модели позволяет прогнозировать её свойства и реакцию на те или иные действия. При описании мат модели чаще всего используются дифференциальные уравнения. Напомним, что дифференциальные уравнения , это уравнения, состоящие помимо самой переменной x, из производных этой переменной различного порядка , н. dx/dt (первая производная) (вторая производная).
Если в уравнениях используются толька первые степени x и их производных, то это линейные диф. уравнения. Они решаются чаще всего методом подстановки c последующим нахождением l . Мы в данном курсе будем чаще всего их решать с помощью S-преобразования в алгебраические уравнения.
В данном учебнике будут изучатся теории
- Линейных САУ (основная часть курса)
- Нелинейных САУ
- Дискретно-непрерыных САУ
- Теория стохастических САУ.
Линейные системы описываются линейными диф. уравнениями вида:
Если , то это стационарная система, а если зависит от t, то нестационарная. Нелинейные системы соотвественно записываются нелинейными диф уравненими:
У дискретно-непрерывных систем будут уравнения:
В стохастических САУ используют процессы вероятностного характера.
Глава 2
Обобщённая схема САР. Элементы автоматики. Типовые виды воздействий .Математическое описание САР.
Обобщённая функциональная схема САР имеет такой вид: Элементы 1-3, 9,10 составляют датчик , а 4-8 - севромеханизм. Расшифровка элементов.
- 1. Измерительные элементы входного сигнала. Преобразует его к форме, удобной для последующего сравнения.
- 2.Сравнение - вырабатывает сигнал ошибки , сравнивая истинный сигнал с сигналом на выходе.
- 3.Преобразователь сигнала ошибки - преобразует сигнал в форму, удобную для последующего усиления.
- 4. Последовательное корректирующее устройство. Исполнительное устройство чаще всего имеет фиксированную зависимость выходного сигнала от входного, не совпадающей с требуемой - для реализации требуемой функции необходимо преобразовать входной сигнал так, чтобы, будучи отработан исполнительным устройством, он бы давал нужную нам зависимость между выходом и входом.
- 5. Сравнение - местная обратная связь.
- 7. Исполнительное устройство - непосредственно воздействует на объект регулирования.
- 8. Параллельные корректирующие устройства для местной ОС - для той же цели , что 4, но тут соответствующим образом изменяется не входная информация, а информация от ОС.
- 9. Измерительное устройство истинного значения регулируемой величины.
- 10. Преобразователь главной обратной связи. Позволяет преобразовать сигнал измерителя к форме , удобной для сравнения.
Элементы автоматики подразделяются на
- -Измерительные
- -Промежуточные
- -Исполнительные
Промежуточные делятся на
- -Усилительные
- -Преобразовательные
- -Вычислительные.
При изучении свойств САР были установлены некоторые типовые воздействия ,реакция на которые достаточно полно характеризует эти свойства. Наиболее частым воздействием является ступенчатое воздействие. Ступенчатое воздействие означает , что входной сигнал скачком изменил своё значение с А на Б. Для линейных систем реакцию на любое такое воздействие можно понять, зная реакцию на единичное воздействие (А=0, Б=1). Закон , мгновенно вступающий в силу с такого то времени является таким ступенчатым воздействием. Реакция на сие воздействие - переходная функция системы. Реже используется импульсное воздействие. В идеале это воздействие с бесконечной амплитудой за бесконечно малый промежуток времени. Реакция на них - импульсная переходная функция. Ещё реже используется прямоугольная волна ( ступенчатое воздействие от А до Б , через период T/2 от Б до А, через период Т всё повторяется), синусоидальное воздействие и т.д. Ещё есть дискретное воздействие заключающаяся в подаче импульсов разной амплитуды через определённые промежутки времени.
Математическая модель системы может строиться на априорной информации ( до опыта, из теоретических соображений) и на экспериментальной информации. Чаще всего в технике (при разработке системы) используют априорную информацию.
Перед построением мат модели часто полезно построить схему той или иной системы. Так как исторически наиболее хорошо проработанными являются схемы электрические , то про построении схем механических и других процессов используют метод электроаналогии, когда процесс, имеющий то же математическое описание, что и электрический обозначают тем же электрическим элементом. Чтобы продемонстрировать этот метод распишем электрические обозначения и их аналоги в механике( наиболее часто используемая аналогия) и в производящей системе.
Глава 3
Преобразование Хевисайда. Преобразование Лапласа. Устойчивость системы. Условие усточивости. Критерий устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара. Общая постановка задачи устойчивости.
Как уже говорилось, линейные системы описываются с помощью дифференциальных уравнений. Ввиду их относительной сложности сведение их к уравнениям алгебраическим сильно упростит задачу их решения. Методика такого сведения была впервые предложена Хевисайдом . Суть её в том, чтобы заменять взятие производной умноженим на оператор p. Таким образом уравнение
- (3.1)
примет вид
- (3.2)
Метод широко применяется в электротехнике. Его недостаток - то, что не учитываются начальные условия- значение x , u и их производных при t=0.
Этого недостатка лишено более строгое математическое преобразование - преобразование Лапласа. Суть этого преобразования заключается в записи вместо х(t) некоего x(s) причём
- (3.3)
На деле преобразование проводится по таблицам.Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций Ниже представлена таблица преобразования Лапласа для некоторых функций.
№ | Функция | Временная область |
Частотная область |
Область сходимости для причинных систем |
---|---|---|---|---|
1 | идеальное запаздывание | |||
1a | единичный импульс | |||
2 | запаздывание -го порядка с частотным сдвигом | |||
3 | экспоненциальное приближение | |||
4 | синус | |||
5 | косинус | |||
6 | гиперболический синус | |||
7 | гиперболический косинус |
После решения системы производится обратное преобразование. Уравнение в операторной форме имеет вид
- или
- или
- A(s)*x(s)=B(s)*u(s) (3.4) где A(s), B(s) - полиномы из степеней s.
В такой форме записи существует такое понятие, как передаточная функция W(s).
- W(s)=x(s)/u(s)=B(s)/A(s).
Очень часто W(s) можно разложить на несколько множителей, среди которых типовые множители ( звенья ) такие:
- Wi(s)=const -усиливающее звено.
- Wi(s)=1/(Ts+1)- апериодическое звено.
- Wi(s)=- колебательное звено.
- Wi(s)=1/s- интегрирующее звено.
- Wi(s)=Ts- дифференцирующее звено.
- Wi(s)=Ts+1- дифференцирующее звено 1-го порядка.
- Wi(s)= - дифференцирующее звено 2-го порядка.
Как уже упоминалось, решение дифференциального уравнения делится на общее однородное и частное неоднородное.
- (3.4)
Если система при устремление t к бесконечности решение будет приближаться к частному неоднородному, что система устойчива. Если разница при устремлении t к бесконечности не будет стремится к 0, а будет стремится к бесконечности, то система неустойчива. Если не будет стремления ни к 0 не к бесконечности, то перед нами пограничный случай.Ясно, что неустойчивая система ведёт к непредсказуемым результатам, выходящим за рамки возможностей любой реальной системы, что приведёт или к её поломке и/или к неполучению нужного результата. Поэтому задача анализа системы на устойчивость является принципиальной при работе с системами. Уже отмечалось, что решение дифференциального уранения первого порядка производится методом подстановки . Для уравнения n-го порядка решение будет иметь вид:
- (3.5)
В общем случае все коэффициенты комплексные и равны Совершенно очевидно, что решения будет устойчиво только в том случае, если все , иначе система будет неустойчива ( Эспонента с положительным показателем стемится к бесконечности). Не всегда, однако система является линейной и её так просто решить и проверить на устойчивость. В этом случае на помощь приходят теоремы Ляпунова, которые позволяют определить устойчивость только лишь линеаризованной части системы и на этом основании сделать вывод о всей системе.
1-я теорема Ляпунова. Если все корни характерестического уравнения линеаризованной системы находятся в отрицательной действительной части комплексной плоскости (т.е. ), то исходная нелинейная система устойчива.
2-я теорема Ляпунова. Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы находятся в положительной действительной части комплексной плоскости (т.е. ), то исходная нелинейная система неустойчива.
Если линейная система получилось нейтральной, то по ней нельзя судить об устойчивости и надо рассматривать нелинейную систему. Такой случай называется критическим. Также для решения систем используют запись уравнений в отклонениях от положения равновесия. Поясним: Пусть у нас есть уравнение Пусть у нас есть точка равновесия при со значениями . Тогда записав помещают точку равновесия в 0, решая уравнения . Видно, что запись в такой форме не влияет на путь сходимости, а только её точку.
Одним из наиболее распространённым способом определения устойчивости системы является метод Гурвица. Пусть у нас есть уравнение, записанное в операторной форме.
- (3.6)
Тогда , если и матрица формы имеет вид:
- (3.7) -Матрица Гурвица
Если все диагональные миноры этой матрицы положительны, то система усточива.Это критерий устойчивости Гурвица. Напомним:
Диагональные миноры- это миноры, включающие в себя n первых диогональных элементов, если размерность минора n*n.
Минор - определитель квадратной матрицы, полученная путём "взятие" из основной матрицы n любых строк и столбцов. (Т.е. сначало выбираем из матрицы n строк, потом в этих строках n столбцов. Получится матрица размером n*n). Под положительностью минора понимают положительность его определителя.
Определитель - для матрицы 2*2 вида
Для матрицы 3х3 это сумма элементов 3-й стоки , умноженных на миноры, не содержащие той же строки и того же столбца, что и эти элементы. Аналогично для матриц более высокого порядка. Было доказано, что необязательно вычислять все диагональные миноры, а можно вычислить только чётные или нечётные и если они положительны, то система устойчива. Это- критерий устойчивости Льенара-Шипара.
Глава 4
Описание САР в терминах пространства состояния. Управляемость и наблюдаемость САР. Методы анализа САР.
Уравнения , которые описывают САР могут быть достаточно большого порядка. Как известно, уравнения выше 5-го порядка являются неразрешимыми, поэтому лучше описывать САР в таких переменных, которые давали бы уравнения не выше 1-го порядка. Такие переменные - переменные состояния. Совокупность переменных, описывающих систему называется пространством состояний. В терминах пространства состояний любую систему, которая на входной сигнал u даёт сиглан x описать уравнением:
- (4.1)
- - вектор состояний
- -вектор управляющих переменных ( управления)
- - матрица состояний
- - матрица управления.
Напомним, что умножение матрица размерностью nxm на вектор m происходит таким образом: 1. Записываем шаблон для вектора результата с местом для n элементов. 2. В первую строку результирующего вектора записываем сумму произведений элементов первой строки матрицы на столбец вектора. 3. Во вторую строку результирующего вектора записываем сумму произведений элементов второй строки матрицы на столбец вектора. И т.д.
Никакая САР невозможна без измерения своих сигналов -иначе мы просто не будем знать , выполняет ли она заданную функцию или нет. Существует специальное обозначение - вектор измерений. Мы можем измерять как любую переменную состояния системы, так и любое управляющее воздействие, а также любую их комбинацию. Поэтому вектор наблюдаемых переменны как правило не идентичен вектору состояний. В самой общей форме уравнения измерения будет иметь вид:
- , где С -матрица измерений, D - матрица прямой передачи
Поясним на примере составление уравнения в переменных состояния. Пусть у нас есть уравнение
- (4.3)
Введём обозначение
Тогда имеем
или
Литература
- Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Теория автоматического управления техническими системами
- Под ред. Пупкова К.А. , Егупова Н.Д. Методы классической и современной теории автоматического управления