Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 55: Строка 55:
Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется '''темперированным музыкальным рядом'''.
Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется '''темперированным музыкальным рядом'''.


''n''-ая ступень этого ряда удалена от начала на:
Выясним теперь вопрос: на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. ''n''-я ступень получается при откладывание тепмерированной квинты ''n'' раз:
<center>qn = (27/12)n = (21/12)7*n&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;(2)</center>
<center><math>q^n = \sqrt[12]{2^7} \times n = (\sqrt[12]{2})^7 \times n</math></center>

Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе '''полутоном''', а интервал (21/12)2 = 1,122462 – '''тоном'''.
Выражение под корнем показывает интервал между квинтовыми ступенями при перенесении их в одну октаву (2), называется интервальным коэффициентом '''полутона''' и имеет абсолютную величину 1,059463. Двойной квинтовый коэффициент получил название '''тона''' и равен:
<center><math>(\sqrt[12]{2})^2 = 1,122462</math></center>


Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.

Версия от 13:15, 6 ноября 2004

  Этот текст надо викифицировать. Пожалуйста, отформатируйте его согласно рекомендациям.

Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Под этим термином понимается множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:

  • ввести относительно простую систему записи музыки;
  • строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано);
  • многое другое.

Выберем точку отсчета, от которой с помощью интервалов будут выстраиваться остальные звуки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор её несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.

Сначала построим звукоряд внутри одной октавы (т.е. найдём звуки с простыми интервалами, между 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.

Пифагорейский музыкальный ряд

Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета (f0). Второй звук – это квинта (f1 = 1,5f0). Для получения третьего звука отложим квинту от втрого звука нашего ряда: 1,5f0 * 1,5 = 2,25f0. Но интевал получился за пределами октавы (сложный), поэтому поделим его на два (октавный интервал), чем найдем идентичный звук внутри нашей октавы (=1,125f0). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда.

Повторяем процесс: откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву:

где:

– исходный (произвольный) звук ряда;

– n-ный звук ряда;

n – порядковый номер интервала;

m – положительное эмпирическое число.

Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.

Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.

Приложение.

Натуральный (чистый) звукоряд

Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:

2o*3q*5t      (1)

Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).

Приложение: таблица для чистого звукоряда.

Темперированный музыкальный ряд

Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это:

12 квинт : 7 октав = 1,512 : 27 = 129,7463379 : 128

Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой.

Распределим эту погрешность на все двенадцать интервалов квинты. Для этого найдём такое значение квинты q, двенадцать интервалов которой укладывалось бы ровно в 7 октав:

Найденое значение квинты называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.

Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется темперированным музыкальным рядом.

n-ая ступень этого ряда удалена от начала на:

Выражение под корнем показывает интервал между квинтовыми ступенями при перенесении их в одну октаву (2), называется интервальным коэффициентом полутона и имеет абсолютную величину 1,059463. Двойной квинтовый коэффициент получил название тона и равен:

Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.

Пронаблюдаем ещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:

{0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5}      (3)

Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.

Приложение: Темперированный звукоряд


к содержанию