Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями
format |
format |
||
Строка 17: | Строка 17: | ||
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации. |
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации. |
||
Приложение. |
|||
⚫ | |||
==Натуральный (чистый) звукоряд== |
|||
⚫ | Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как: |
||
<center>2o*3q*5t (1)</center> |
<center>2o*3q*5t (1)</center> |
||
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду). |
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду). |
||
Приложение: таблица для чистого звукоряда. |
|||
⚫ | |||
==Темперированный музыкальный ряд== |
|||
⚫ | Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это 12 квинт » 7 октав. Точнее: 7 октав – это 128, а 12 квинт – 129,7463379. Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также '''пифагоровой коммой'''. |
||
Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал ''q'', который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Найденое значение q=1,498307 называется '''темперированной квинтой'''. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%. |
Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал ''q'', который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Найденое значение q=1,498307 называется '''темперированной квинтой'''. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%. |
Версия от 18:40, 1 ноября 2004
Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Мы понимаем под этим термином множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:
- ввести относительно простую систему записи музыки;
- строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано);
- многое другое.
Мы выберем точку отсчета, и будет строить остальные звуки с помощью интервалов относительно этой точки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор этой точки несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.
Звукоряд мы будем строить внутри одной октавы (т.е. искать звуки между логарифмами 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.
Пифагорейский музыкальный ряд
Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета. Второй звук – это квинта. Возьмем теперь квинту два раза. Получится интервал 1,5 * 1,5 = 2,25, т.е. за пределами октавы. Передвинем звук внутрь октавы делением пополам (=1,125). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда. Повторяем процесс: откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву.
Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.
Приложение.
Натуральный (чистый) звукоряд
Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
Приложение: таблица для чистого звукоряда.
Темперированный музыкальный ряд
Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это 12 квинт » 7 октав. Точнее: 7 октав – это 128, а 12 квинт – 129,7463379. Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой.
Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал q, который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Найденое значение q=1,498307 называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.
Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется темперированным музыкальным рядом.
Выясним теперь вопрос: на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. n-я ступень получается при откладывание тепмерированной квинты n раз:
Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе полутоном, а интервал (21/12)2 = 1,122462 – тоном.
Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
Пронаблюдаем ещё, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:
Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.
Приложение: Темперированный звукоряд