Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
format
(format)
(format)
==Приложение==
Натуральный (чистый) звукоряд. Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:
<center>2o*3q*5t &nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)</center>
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
 
==Приложение: таблица для чистого звукоряда ==
Темперированный музыкальный ряд. Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение это 12 квинт » 7 октав. Точнее: 7 октав – это 128. 12 квинт – это 129,7463379. Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой. Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал q, который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Решение этого уравнения: q=1,498307 называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%. Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета, после чего процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Так построенный ряд называется темперированным музыкальным рядом.
Темперированный музыкальный ряд. Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение – это 12 квинт » 7 октав. Точнее: 7 октав – это 128, а 12 квинт – 129,7463379. Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также '''пифагоровой коммой'''.
Зададимся теперь вопрос, на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. n-я ступень получается как откладывание тепмерированной квинты n раз:
 
qn = (27/12)n = (21/12)7*n (2)
Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал ''q'', который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Найденое значение q=1,498307 называется '''темперированной квинтой'''. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%.
 
Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета. Далее процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Полученный ряд называется '''темперированным музыкальным рядом'''.
 
ЗададимсяВыясним теперь вопрос,: на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. ''n''-я ступень получается какпри откладывание тепмерированной квинты ''n'' раз:
<center>qn = (27/12)n = (21/12)7*n (2)</center>
Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе полутоном, а интервал (21/12)2 = 1,122462 – тоном. Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке.
Пронаблюдаем еще, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд:
379

правок

Навигация