Теория музыки для математиков/Музыкальный звукоряд - построение: различия между версиями

Материал из Викиучебника — открытых книг для открытого мира
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки
 
format
Строка 2: Строка 2:


Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Мы понимаем под этим термином множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:
Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Мы понимаем под этим термином множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:
· ввести относительно простую систему записи музыки
*ввести относительно простую систему записи музыки;
· строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано)
*строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано);
*многое другое.
· много других

Мы выберем точку отсчета, и будет строить остальные звуки с помощью интервалов относительно этой точки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор этой точки несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.
Мы выберем точку отсчета, и будет строить остальные звуки с помощью интервалов относительно этой точки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор этой точки несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.


Звукоряд мы будем строить внутри одной октавы (т.е. искать звуки между 1 и 2), после чего он распространяется на весь слышимые диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.
Звукоряд мы будем строить внутри одной октавы (т.е. искать звуки между логарифмами 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.

Пифагорейский музыкальный ряд. Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета. Второй звук – это квинта. Возьмем теперь квинту два раза. Получится интервал 1,5 * 1,5 = 2,25, т.е. за пределами октавы. Передвинем звук внутрь октавы делением пополам (=1,125). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда. Будем повторять процесс – откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву. Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.
==Пифагорейский музыкальный ряд==
Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета. Второй звук – это квинта. Возьмем теперь квинту два раза. Получится интервал 1,5 * 1,5 = 2,25, т.е. за пределами октавы. Передвинем звук внутрь октавы делением пополам (=1,125). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда. Повторяем процесс: откладываем ''n'' квинт вверх и перемещаем их на ''m'' октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву.

Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.
Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.

Приложение
==Приложение==
Натуральный (чистый) звукоряд. Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как
Натуральный (чистый) звукоряд. Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:
2o*3q*5t (1)
<center>2o*3q*5t (1)</center>
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду).
Приложение: таблица для чистого звукоряда
Приложение: таблица для чистого звукоряда

Версия от 18:01, 1 ноября 2004

  Этот текст надо викифицировать. Пожалуйста, отформатируйте его согласно рекомендациям.

Руководствуясь соображениями о физике и восприятии звуков, мы построим сейчас музыкальный звукоряд. Мы понимаем под этим термином множество дискретных звуков, которыми мы ограничимся во всех музыкальных произведениях. Использование лишь небольшого конечного множества звуков дает возможность:

  • ввести относительно простую систему записи музыки;
  • строить музыкальные инструменты с конечным набором звуком (например, фортепиано);
  • многое другое.

Мы выберем точку отсчета, и будет строить остальные звуки с помощью интервалов относительно этой точки. Точку отсчета можно выбрать достаточно произвольно, для дальнейших построений выбор этой точки несущественен. О привязке звукоряда к конкретным частотам см. Приложение X.

Звукоряд мы будем строить внутри одной октавы (т.е. искать звуки между логарифмами 1 и 2), после чего распространим его на весь слышимый диапазон октавным сдвигом вверх/вниз.

Пифагорейский музыкальный ряд

Используя только квинту и октаву можно построить музыкальный ряд следующим образом. Первый звук у нас уже есть – это наша точка отсчета. Второй звук – это квинта. Возьмем теперь квинту два раза. Получится интервал 1,5 * 1,5 = 2,25, т.е. за пределами октавы. Передвинем звук внутрь октавы делением пополам (=1,125). Так мы нашли третий звук нашего звукоряда. Повторяем процесс: откладываем n квинт вверх и перемещаем их на m октав вниз, пока они не попадут в нашу октаву.

Теоретически этот процесс можно повторять бесконечно. Новые звуки, однако, будут возникать все время между ранее найденными, т.е. постоянно дробить интервалы между ступенями. В какой-то момент мы натыкаемся на предел человеческого восприятия – соседние звуки уже не различаются на слух. Если мы просто прекратим процесс построения после нахождения 12 звуков, то полученные 12 звуков, отсортированные в порядке частот, дадут нам пифагорейский музыкальный ряд.

Этот ряд хорош всем, кроме того, что расстояния между соседними его ступенями неодинаковы. А это создает огромные трудности, например, при смене точки отсчета, сдвиге мелодии на один тон вверх и т.д. Пифагорейский ряд «не может быть использован для энгармонических модуляций». Поэтому мы применим ниже процедуру темперации.

Приложение

Натуральный (чистый) звукоряд. Этот звукоряд распространился в Европе начиная с XVI века, до введения темперированного ряда. В нем кроме октавы и квинты играет существенную роль терция (5/4). Если мы еще раз взглянем на построение пифагорейского ряда, то заметим, что для получения всех ступеней мы используем комбинации степеней двойки и тройки. Добавим теперь третье простое число – пятерку, и разрешим как положительные, так и отрицательные степени. Тогда каждая ступень ряда может быть записана как:

2o*3q*5t (1)

Это позволяет записать отдельные ступени ряда как довольно простые дроби (сравните со страшными дробями в пифагорейском ряду). Приложение: таблица для чистого звукоряда Темперированный музыкальный ряд. Поставим такой вопрос: Какое целое количество квинт максимально близко совпадает с целым количеством октав? Простым перебором можно установить, что наилучшее решение это 12 квинт » 7 октав. Точнее: 7 октав – это 128. 12 квинт – это 129,7463379. Погрешность составляет 1,36%, что в диапазоне 7 октав можно вытерпеть. Эта погрешность называется в музыке также пифагоровой коммой. Попытаемся распределить погрешность равномерно на все интервалы. Для этого найдем такой интервал q, который точно удовлетворяет уравнению q12=27. Решение этого уравнения: q=1,498307 называется темперированной квинтой. Погрешность темперированной квинты по отношению к чистой квинте составляет 0,11%. Если мы теперь повторим построение пифагорейского ряда, используя вместо чистой квинты темперированную, то продолжая процесс после нахождения 12-ого звука мы снова получим нашу точку отсчета, после чего процесс зациклится, повторяя уже найденные звуки. Так построенный ряд называется темперированным музыкальным рядом. Зададимся теперь вопрос, на каком расстоянии друг от друга находятся соседние ступени нашего ряда. n-я ступень получается как откладывание тепмерированной квинты n раз: qn = (27/12)n = (21/12)7*n (2) Здесь записаны разнообразные степени числа 21/12. Поскольку все ступени сдвигаются октавами вниз, то остаются только степени от 0 до 12. А поскольку у нас всего 12 ступеней, то каждая из них имеет вид (21/12)m (т.е. других нет). Интервал абсолютной величиной в 21/12 = 1,059463 называется в нашей системе полутоном, а интервал (21/12)2 = 1,122462 – тоном. Таким образом, в темперированном строе расстояния между соседними ступенями равны, и сдвинув всю систему на полтона вверх или вниз мы получим в точности ту же самую картину, как если бы мы заново построили этот ряд из новой точки отсчета. Это важнейшее свойство темперированного ряда активно используется в музыке. Пронаблюдаем еще, в какой последовательности возникают каждая из 12 ступеней нашего ряда при этом построении. Воспользуемся формулой (2). Нетрудно увидеть, что номер ступени, соответствующий данному значению n, получается как остаток от деления числа 7*n на число 12 (кратные 12 мы сокращаем). Получим следующий ряд: {0, 7, 2, 9, 4, 11, 6, 1, 8, 3, 10, 5} (3) Заметим, что погрешность темперирования тем больше, чем больше n. Т.е. ступени, получающиеся из меньших n более близки «чистому» ряду.

Приложение: Темперированный звукоряд


к содержанию