Управление техническими системами: различия между версиями

Перейти к навигации Перейти к поиску
→‎Глава 3: орфография
(→‎Глава 4: орфография)
(→‎Глава 3: орфография)
|}
==Глава 3==
Преобразование Хевисайда. Преобразование Лапласа. Устойчивость системы. Условие усточивостиустойчивости. Критерий устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара. Общая постановка задачи устойчивости.
 
Как уже говорилось, линейные системы описываются с помощью дифференциальных уравнений. Ввиду их относительной сложности сведение их к уравнениям алгебраическим сильно упростит задачу их решения. Методика такого сведения была впервые предложена Хевисайдом . Суть её в том, чтобы заменять взятие производной умноженимумножением на оператор p. Таким образом уравнение
:<math>a_n*d^nx/dt^n+...a_1dx/dt+a_ox=b_md^mu/dt^m+b_1du/dt+b_ou</math> (3.1)
примет вид
Если система при устремление t к бесконечности решение будет приближаться к частному неоднородному, что система устойчива. Если разница при устремлении t к бесконечности
<math>x_{oo}(t)</math> не будет стремится к 0, а будет стремится к бесконечности, то система неустойчива. Если не будет стремления ни к 0 не к бесконечности, то перед нами пограничный случай.Ясно, что неустойчивая система ведёт к непредсказуемым результатам, выходящим за рамки возможностей любой реальной системы, что приведёт или к её поломке и/или к неполучению нужного результата. Поэтому задача анализа системы на устойчивость является принципиальной при работе с системами.
Уже отмечалось, что решение дифференциального ураненияуравнения первого порядка производится методом подстановки <math>x_{oo}(t)=e^{\lambda t}</math> . Для уравнения n-го порядка решение будет иметь вид:
:<math>x_{oo}(t)=C_1e^{\lambda_1 t}+...+C_ne^{\lambda_n t}</math> (3.5)
В общем случае все коэффициенты <math>\lambda_1...+\lambda_n</math> комплексные и равны
<math>\lambda_i=\alpha_i+i\beta_i</math>
Совершенно очевидно, что решения будет устойчиво только в том случае, если все <math>\alpha_i<0</math> , иначе система будет неустойчива ( ЭспонентаЭкспонента с положительным показателем стемитсястремится к бесконечности).
Не всегда, однако система является линейной и её так просто решить и проверить на устойчивость. В этом случае на помощь приходят теоремы Ляпунова, которые позволяют определить устойчивость только лишь линеаризованной части системы и на этом основании сделать вывод о всей системе.
 
1-я теорема Ляпунова. Если все корни характерестическогохарактеристического уравнения линеаризованной системы находятся в отрицательной действительной части комплексной плоскости (т.е. <math>\alpha_i<0</math>), то исходная нелинейная система устойчива.
 
2-я теорема Ляпунова. Если хотя бы один корень характеристического уравнения линеаризованной системы находятся в положительной действительной части комплексной плоскости (т.е. <math>\alpha_i>0</math>), то исходная нелинейная система неустойчива.
& \vdots & & & \vdots &\\
& & & & \dots & a_n^1 \end{pmatrix}</math> (3.7) -Матрица Гурвица
Если все диагональные миноры этой матрицы положительны, то система усточиваустойчива. Это критерий устойчивости Гурвица. Напомним:
 
'''Диагональные миноры'''- это миноры, включающие в себя n первых диогональныхдиагональных элементов, если размерность минора n*n.
 
''' Минор '''- определитель квадратной матрицы, полученная путём "взятие" из основной матрицы n любых строк и столбцов. (Т.е. сначалосначала выбираем из матрицы n строк, потом в этих строках n столбцов. Получится матрица размером n*n). Под положительностью минора понимают положительность его определителя.
 
'''Определитель''' - для матрицы 2*2 вида
93

правки

Навигация