Решение систем гиперболических уравнений

Дифференциальные уравнения, являясь подмножеством функциональных уравнений, довольно редко допускают аналитическое решение. В подобных ситуациях для их приближённого решения применяют численные методы.

Численные методы не могут дать решения дифференциальной задачи, но могут обеспечить некоторое приближение к такому решению.

Часто для получения такого приближения используют т. н. сеточную аппроксимацию функций. То есть вместо функций непрерывного аргумента вводят функции дискретного аргумента. А вместо дифференциальных операторов — разностные. Будем называть параметром сетки такую величину $h$ , что расстояние между любыми двумя соседними узлами сетки не превосходит h.

Гиперболические уравнения

Введение

Системы гиперболических уравнений возникают во многих задачах вычислительной физики. Хороший проработанный пример — газовая динамика. В приложениях часто используются гиперболические системы уравнений, представляемые в виде:

$\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + \sum_{j = 1}^{m} A_{j} \frac{\partial \vec{U}}{\partial x_{j}} = \vec{b}$

Где матрица $A$ имеет полный набор собственных векторов и, соответственно, представима в виде

$A = Ω_{R} Λ Ω_{L}$

Где $Ω_{R} = Ω_{L}^{- 1}$ — матрица, составленная из правых собственных векторов матрицы $A$ как из столбцов. $Λ = d i a g [λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n}]$ — матрица собственных значений матрицы $A$ .

Эта форма записи называется неконсервативной, в противовес не менее часто используемой консервативной форме, связанной с физическими законами сохранения в явном виде:

$\frac{\partial \vec{U}}{\partial t} + \sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial F_{j} (\vec{U})}{\partial x_{j}} = \vec{B}$

Дело в том, разностная схема для консервативной формы уравнений, записанная в виде

$\frac{{\vec{U}}_{\vec{r}}^{n + 1} - {\vec{U}}_{\vec{r}}^{n}}{δ t} + \sum_{j = 1}^{m} \frac{F_{j, \vec{r} + 1 / 2 {\vec{h}}_{j}} - F_{j, \vec{r} - 1 / 2 {\vec{h}}_{j}}}{h_{j}} = {\vec{B}}_{\vec{r}}$

автоматически гарантирует точное выполнение на приближенном решении законов сохранения, в то время как разностные соотношения, получаемые из неконсервативной формы, соблюдают законы сохранения лишь приближенно - в рамках аппроксимации.

Разностные схемы

Простейшим и исходным объектом исследования в теории систем гиперболических уравнений является одиночное уравнение переноса:

$\frac{\partial U}{\partial t} + λ \frac{\partial U}{\partial x} = 0$

Где $U$ — искомая функция переменных $(x, t)$ . $λ$ — некоторая постоянная.

Это уравнение очень удобно уже тем, что нам хорошо известно его аналитическое решение:

$U (x, t) = U_{0} (x - λ t)$

где $U_{0} (x)$ — произвольная функция.

Первый вопрос, который возникает — а зачем численно решать уравнение, для которого известно аналитическое решение? Ответ прост — дело в том, что это уравнение будет «вылезать» из решения сложных многомерных систем, и параметры, которые в него входят будут меняться в зависимости от решения да и заданы будут не всюду, а лишь в некоторых точках, что делает прямое применение аналитического решения невозможным.

Итак, приступим к построению простейшей схемы для данного уравнения.

Пусть функция $U$ задана на узлах пространственной сетки $x_{m}$ в момент времени $t_{n}$ и мы хотим получить ее значения в тех же узлах в момент $t_{n + 1}$ .

Воспользуемся простейшими формулами для аппроксимации производных и получим: $\frac{U_{m}^{n + 1} - U_{m}^{n}}{τ} + λ \frac{U_{m}^{n} - U_{m - 1}^{n}}{h} = 0$

Тогда для значения $U_{m}^{n + 1}$ может быть выписано выражение в явном виде:

$U_{m}^{n + 1} = U_{m}^{n} - τ λ \frac{U_{m}^{n} - U_{m - 1}^{n}}{h}$

Эта простейшая схема может быть легко реализована и запущена. См пункт реализация.

Приведенная схема не работает при $λ < 0$ .

Ответ достаточно очевиден — «перенос» справа налево не работает в схеме, в которой нет точек справа. Хотелось бы добавить в схему что-то вроде $U_{m + 1}$ . Как это сделать? Простейший способ — построить «комбинированную» схему:

$U_{m}^{n + 1} = U_{m}^{n} - τ λ \frac{U_{m}^{n} - U_{m - 1}^{n}}{h}, λ \geq 0$ $U_{m}^{n + 1} = U_{m}^{n} - τ λ \frac{U_{m + 1}^{n} - U_{m}^{n}}{h}, λ < 0$

Литература

Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М.:ФИЗМАТЛИТ,2001. — 608с. — ISBN 5-9221-0194-3