Кванторные слова и обороты

Многие математические предложения содержат слова любой, существует или их аналоги. Эти слова называют кванторными словами или просто кванторами (общности и существования соответственно). Кванторные слова играют важную роль при обучении математике — их правильное употребление влияет на правильность понимания тех предложений, где они используются.

При изучении математики многие учащиеся испытывают большие затруднения, которые, по сути, связаны именно с непониманием конструкций математического языка, содержащих кванторные слова.

К сожалению, большинство школьных учебников по математике не помогают преодолеть эти трудности: кванторные слова, хотя и используются их авторами, но остаются «в тени», без обсуждения.

Однако в некоторых учебниках все же идёт речь об элементах логики и обсуждаются роль, значение и особенности использования кванторных слов (см., например, [2, 5, 9]). Но в школьном курсе математики, в целом, этим вопросам уделяется значительно меньше внимания, чем они того заслуживают.

Кванторные слова и обороты.

Как известно, все кванторные слова и обороты можно разделить на две группы.

К первой группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение общности: «любой», «всякий», «каждый», «каким бы ни был», «все». Все они взаимозаменяемы (иногда при определенной перестройке предложения). Приведём примеры их использования: «Любое кратное четырём число является четным»; «Всякое кратное четырем число является четным»; «Каждое кратное четырем число является четным»; «Каким бы ни было кратное четырем число, оно является четным»; «Все кратные четырем числа являются четными».

Ко второй группе относят кванторные слова и обороты, имеющие значение существования: «существует», «хотя бы один», «по крайней мере один», «по меньшей мере один», «некоторый», а также слова «найдется» и «имеется». Все они также взаимозаменяемы. Приведем примеры их использования: «Существует простое число, являющееся четным»; «Хотя бы одно простое число является четным»; «По крайней мере одно простое число является четным»; «По меньшей мере одно простое число является четным»; «Найдется простое число, которое является четным»; «Имеется простое число, которое является четным».

Роль кванторных слов в обучении математике часто недооценивается. Эти слова нередко опускают, считая «лишними» в теоремах и определениях. Многие учителя полагают, что, опуская кванторные слова в предложении, они упрощают это предложение, делают его более понятным.

Однако это не всегда так. Опускание кванторных слов в предложении может привести к неоднозначности его понимания, искажению или даже потере его смысла, что отмечается во многих публикациях (см., например, [6, 8, 10]). Особенно опасно, когда кванторные слова опускают ученики. Например, когда ученик говорит «Четырехугольник со взаимно перпендикулярными диагоналями является ромбом», неясно, что он имеет в виду: то ли «Любой четырехугольник...», то ли «Некоторый четырехугольник...». Отметим, что допустимо опускание лишь кванторов общности в начале теоремы (внешних) и недопустимо опускание кванторов существования, где бы они ни находились [10].

Отметим некоторые особенности употребления кванторных слов со значением существования.

1. Слово «найдется» по смыслу близко к слову «существует» и может быть заменено словом «существует». Однако слово «найдется» чаще употребляют в тех предложениях, в которых утверждается существование объекта, найти (указать) который можно, но не совсем просто, например в предложении «Найдется функция, имеющая бесконечно много нулей на отрезке [0; 1]». В то же время некоторое удивление вызывает, например, такое предложение: «Найдется четное число, кратное четырем» (Чего же тут искать? Его и искать не надо!). Также слово «найдется» часто употребляют в вопросах типа «Найдется ли объект, обладающий данным свойством?», ответ на которые либо отрицательный, либо положительный, но требующий размышлений, чтобы привести пример такого объекта.
2. Кванторный оборот «по крайней мере один», смысл которого хотя и близок смыслу слова «существует», чаще употребляют тогда, когда говорящему известен только один пример, подтверждающий существование. При употреблении этого оборота в том случае, когда обладающий рассматриваемым свойством объект не является единственным, ощущается дискомфорт. К примеру, естественным кажется предложение «По крайней мере одно простое число четно» (поскольку такое число только одно) и не вполне естественным — предложение «По крайней мере одно действительное число является рациональным».

Отметим, что кванторный оборот «по крайней мере один» используется также в ответах на вопросы вида «Существует ли объект, обладающий данным свойством?» в том случае, когда отвечающий не уверен, есть ли другие объекты, обладающие данным свойством, кроме объекта, указанного им в подтверждение положительного ответа на поставленный вопрос.

Обычно к кванторным словам со значением существования относят также слово «некоторый». Однако это слово занимает особое положение, поскольку оно имеет разный смысл в зависимости от контекста.

С одной стороны, в определенных контекстах слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «существует». Однако эти слова не взаимозаменяемы. При замене в предложении одного слова другим обычно происходит частичная перестройка этого предложения.

Например, предложения «Пусть функция / возрастает на некотором промежутке» и «Квадрат некоторого числа больше его куба» означают соответственно: «Пусть существует такой промежуток, на котором функция / возрастает» и «Существует число, квадрат которого больше его куба».

Рассмотрим признак параллельности двух прямых: «Если две данные прямые параллельны некоторой прямой, то они параллельны». Здесь слова «некоторой прямой» означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если существует прямая, параллельная двум данным прямым, то эти прямые параллельны».

Заметим, что если в предложении слово «некоторый» имеет значение существования, его обычно можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо» (и наоборот): «Если две данные прямые параллельны какой-нибудь (какой-либо) прямой, то они параллельны».

Рассмотрим признак параллельности прямой и плоскости: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна некоторой прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос». Здесь слова «некоторой прямой» также означают «существует прямая». А само предложение можно переформулировать так: «Если прямая а не лежит в плоскости а и существует параллельная ей прямая, лежащая в плоскости а, то прямая а параллельна плоскости а».

И в этом случае слово «некоторый» можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо»: «Если прямая а, не лежащая в плоскости а, параллельна какой-нибудь (какой-либо) прямой, лежащей в плоскости а, то она параллельна плоскости ос».

С другой стороны, в математическом языке слово «некоторый» имеет в определенных контекстах тот же смысл, что и слово «произвольный», а именно, если оно используется при фиксировании объекта, обладающего данным свойством.

В предложениях «Рассмотрим (зафиксируем) на прямой а некоторую точку А» и «Пусть х — некоторое число, делящееся на 4» слово «некоторый» имеет тот же смысл, что и слово «произвольный», и эти слова взаимозаменяемы (без перестройки предложения): «Рассмотрим на прямой а произвольную точку А» и «Пусть х — произвольное число, делящееся на 4» соответственно.

В таких предложениях слово «некоторый» по-прежнему можно заменить словами «какой-нибудь» и «какой-либо», но с другим смыслом, а именно со смыслом «произвольный»: «Рассмотрим на прямой а какую-нибудь (какую-либо) точку А» и «Пусть х — какое-нибудь (какое-либо) число, делящееся на 4» соответственно. Полагаем, что в этом случае слово «некоторый» нежелательно заменять словом «любой» и никак нельзя заменить словом «всякий», т. е. его нельзя считать полным аналогом кванторных слов со значением общности.

Таким образом, слово «некоторый», а также слова «какой-нибудь» и «какой-либо» следует отнести к словам, имеющим разный смысл в зависимости от контекста.

Отметим, что если слово «некоторый» использовано в предложении с предлогом «для» («для некоторого»), оно обычно имеет значение существования. Например, предложение «Для некоторого числа х верно неравенство -х > х» означает следующее: «Существует такое число х, для которого верно неравенство —х > л». Здесь слова «для некоторого» уже нельзя заменить словами «для какого-нибудь» или «для какого-либо».

Наконец, отметим отличие в использовании слова «некоторый» в естественном языке вне математики (в обыденном языке) и в современном математическом языке. В естественном языке за пределами математики слово «некоторый», хотя в определенном контексте и близко по смыслу слову «существует», но все же оно ближе к обороту «существуют, но не все». Например, когда мы говорим: «Некоторые дни в сентябре были пасмурными», мы подразумеваем следующее: «В сентябре были пасмурные дни, но не все дни в сентябре были пасмурными». В современном математическом языке слово «некоторый» при использовании в смысле «существует» такого смысла не имеет [4, 7]. Так, предложение «Некоторые кратные четырем числа являются четными» ничуть не исключает, что все кратные четырем числа являются четными.

Обороты с кванторным смыслом.

Помимо кванторных оборотов в математическом языке часто встречаются устойчивые обороты, смысл которых можно раскрыть и уточнить с помощью кванторного слова «существует». Такие обороты будем называть оборотами с кванторным смыслом.

Например, в геометрии часто используют следующие обороты, имеющие кванторный смысл:

1. «Точки А, В и С лежат на одной прямой», «Точки А, В и С не лежат на одной прямой»;
2. «Через точки А, В и С можно провести прямую», «Через точки А, В и С нельзя провести прямую»;
3. «Прямые а и Ъ лежат в одной плоскости», «Прямые а и Ъ не лежат в одной плоскости»;
4. «Через прямые а и 6 можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ нельзя провести плоскость».

Предложения «Прямые а и Ь лежат в одной плоскости», «Через прямые а и Ъ можно провести плоскость», «Через прямые а и Ъ проходит плоскость» означают следующее: «Существует плоскость, в которой лежат прямые а и 6». Правда, в этих предложениях можно усмотреть значение не только существования, но и единственности.

Кванторный смысл также имеют часто используемые в алгебре такие обороты, как:

1) «Данное число можно представить

(представимо) в виде»; «Данное число

нельзя представить (непредставимо) в

виде»;

2) «Данное число можно разложить

(нельзя разложить)».

Например, предложения «Число 36

можно представить в виде 2k, где k -

натуральное число» и «Число 36 нельзя

представить в виде 2k, где k -

натуральное число» имеют следующий смысл: