Комплексные числа

Материал из Викиучебника

Содержание

1 Какие числа бывают
2 Что такое комплексные числа?
- 2.1 Знакомство с мнимой единицей
- 2.2 Чисто мнимые числа
3 Cопряженные числа. Модуль. Деление
4 Абстрактный подход
5 Геометрическая интерпретация
6 Многочлены
7 Основная теорема алгебры
8 Матрицы
9 Рекомендуемая литература

[править] Какие числа бывают

Прежде, чем изучать новые, комплексные числа, давайте вспомним числа, которые мы знаем. Самые простые числа — это натуральные, они обозначается буквой $\,\! \mathbb{N}$ :

1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

С помощью этих чисел мы считаем разные объекты. Натуральные числа мы можем складывать и умножать. Целые числа, обозначаемые $\,\! \mathbb{Z}$ , расширяют множество натуральных чисел — добавляют нуль и отрицательные числа. Наличие отрицательных чисел позволяет нам вычитать любое число из любого, тогда как «живя» в натуральных числах, при вычитании мы должны были всегда следить, чтобы из большего вычиталась меньшее. Вот примеры целых чисел:

$\,\! 0, 1,-1, 2, -2, 3, -3, \ldots$

Чтобы рассматривать части целого (например, три восьмых от пирога), были придуманы дробные числа $\,\! \mathbb{Q}$ . Их так же называют рациональными:

$\,\! \frac{3}{8}, \; -\frac{7}{2},\; \frac{1}{2},\; -\frac{2}{3} \; \ldots$

Кроме сложения, вычитания, умножения рациональные числа можно делить друг на друга и снова получать рациональное число (конечно, на ноль делить при этом нельзя). Следующее множество чисел, расширяющее множество рациональных чисел — это действительные (вещественные) числа $\,\!\mathbb{R}$ .

[править] Задача 1[8] Задача Архимеда

Докажите, что существуют нерациональные числа.

Рисунок 1.Длина диагонали единичного квадрата иррациональна.

Решение. Замечание: этот подход не является строгим в современном смысле. Нужно дать определение вещественных чисел и доказать, что среди них вообще существует иррациональные числа. Например, в Фихтингольце, это делается с помощью Детекиндового сечения, а уж потом доказать, что корень из двух является примером такого числа.

Точнее эта задача звучит так: докажите, что есть отрезки, длина которых не является рациональным числом. Рассмотрим диагональ единичного квадрата. По теореме Пифагора, квадрат её длины есть

$\,\! c^2=1^2+1^2=2,$

то есть

$\,\! c=\sqrt{2}.$

Докажем, что это число не рационально. Пусть это не так (применяем метод доказательства от противного). Тогда есть такие натуральные числа $\,\! m$ и $\,\! n$ , что

$\,\! \sqrt{2} = \frac{m}{n}$

— несократимая дробь. Возведем равенство в квадрат и умножим на $\,\! n^2$ :

$\,\! 2 = \frac{m^2}{n^2},$ $\,\! 2 n^2 = m^2.$

Отсюда следует, что $\,\! m$ четное, то есть $\,\! m = 2 m_1$ , где $\,\! m_1$ какое-то натуральное число. Получаем:

$\,\! 2 n^2 = (2m_1)^2,$ $\,\! 2 n^2 = 4 m_1^2,$ $\,\! n^2 = 2 m_1^2.$

Из последнего уравнения следует, что $\,\! n$ тоже четное число. Итак, мы получили, что $\,\! m$ и $\,\! n$ четные числа. Но вначале мы предположили, что $\,\! \frac{m}{n}$ несократимая дробь. Таким образом, получили противоречие. А значит, наше предположение, что существуют натуральные $\,\! m$ и $\,\! n$ такие, что

$\,\! \sqrt{2}=\frac{m}{n},$

неверно. Конец решения.

Действительные числа очень обширны, с их помощью можно описывать любое количество вещества, любой объём жидкости, длину любого отрезка. Действительные числа можно складывать, вычитать, умножать, делить (только на ноль делить нельзя). Кроме того, можно брать корни из неотрицательных чисел и вычислять самые разные функции, например, синус, косинус, экспоненту и др. Действительные числа можно представлять в виде направленной прямой с выделенной точкой $\,\! O$ . Точке $\,\! O$ соответствует число $\,\! 0$ . Справа находятся положительные числа, а слева — отрицательные. Такое представление называется «числовой осью»:

[править] Задача 2[8]

а) Может ли сумма двух иррациональных чисел быть рациональна? Если да, то приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых рациональна.

б) Приведите пример двух иррациональных чисел, сумма которых иррациональна. Докажите, что сумма действительно иррациональна.

Решение а) $\,\! (1-\sqrt{2})+\sqrt{2}=1$ ;

б) $\,\! \sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ .

[править] Задача 3[9]

Докажите, что следующие числа не рациональны а) $\,\! 2\sqrt{2}$ ; б) $\,\! 2\sqrt{2}+1$ ; в) $\,\! \sqrt{2}+\sqrt{3}$ ;

г) $\,\! \sqrt{7}$ ; д) $\,\! \sqrt[3]{3}$ ; е) $\,\! \sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$ . Решение: а) если $\,\! 2\sqrt{2}$ рационально, то и $\,\! \sqrt{2}$ рационально, а это не так;

б) также как и в а);

в) возведите число в квадрат, и докажите, что результат не рационален.

г) аналогично доказательству иррациональности $\,\! \sqrt{2}$ ; из $\,\! \sqrt{7}=m/n$ следует, что и $\,\! m$ и $\,\! n$ делятся на $\,\! 7$ ; Кроме корней натуральных чисел и, вообще, корней различных многочленов с целочисленными коэффициентами действительные числа содержат бесконечное множество трансцендентных чисел. Например, число $\,\! \pi$ , равное половине длины единичной окружности, является трансцендентным числом. Число $\,\! \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ также является трансцендентным. Трансцендентные числа — это числа, которые не являются корнями никакого многочлена с целыми коэффициентами. Доказательство того, что есть трансцендентные числа, довольно сложное и мы углубляться в эту тему не будем.

Суть в том, что действительные числа содержат все возможные длины — какой бы кусочек веревки вы не отрезали, длина его всегда будет действительным числом. Действительные числа представляют собой полноценный набор чисел, которого, кажется, должно хватить для любых нужд. Но это не так. Существует ещё одно расширение чисел — комплексные числа. В комплексных числах можно брать корни из отрицательных чисел. Комплексные числа хороши ещё тем, что любой многочлен имеет среди этих чисел корень. Например, уравнения

$\,\! x^2+1=0, \quad x^2-2x+2=0,\quad x^6+10 = 0$

не имеют корней в действительных числах, зато в комплексных числах имеют.

[править] Что такое комплексные числа?

[править] Знакомство с мнимой единицей $\,\! i = \sqrt{-1}$

Число $\,\! i=\sqrt{-1}$ называется мнимой единицей. Можно рассматривать мнимую единицу как формальный объект, который имеет следующее свойство:

$\,\! i^2=-1.$

Рисунок 2. Комплексная плоскость. Каждая точка на плоскости соответствует комплексному числу. Координаты $\,\! a$ и $\,\! b$ соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа.

Примеры вычислений с мнимой единицей:

$\,\! i^3=(i)^2\cdot i = (-1)\cdot i = -i$ ;
$\,\! i^4=\left(i^2\right)^2 = (-1)^2 = 1$ ;
$\,\! 3\cdot(2+i)=3\cdot 2 + 3\cdot i=6+3i$ ;
$\,\! (1+i)^2=1^2+2\cdot 1 \cdot i + i^2 = 1+2i+(-1)=2i$ .

[править] Задача 4[8]

Вычислите следующие выражения: а) $\,\! (1-i)^2$ ;

б) $\,\! i^5$ ;

в) $\,\! (1 + \sqrt{3}i)^2$ ;

г) $\,\! (2 - 3i)(2+3i)$ ;

д) $\,\! (1 + \sqrt{3}i)^3$ ;

е) $\,\! (\sqrt{3}+i)^3$ .

Решение

а) $\,\! -2i$ ;

б) $\,\! i$ ;

в) $\,\! 2(-1 + \sqrt{-3})$ ;

г) $\,\! 13$ ;

д) $\,\! -8$ ;

е) $\,\! 8i$ .

Определение 1

Комплексные числа $\,\! \mathbb{C}$ — это пара $\,\! (a,b)$ действительных чисел с заданными определенным образом операциями умножения и сложения. Комплексное число $\,\!z =(a,b)$ записывают как

$\,\! z=a+b\cdot i,$

Число $\,\! a$ называется действительной частью числа $\,\! z$ , а число $\,\! b$ — мнимой частью числа $\,\! z$ . Их обозначают $\,\! Re\ z$ и $\,\! Im\ z$ соответственно:

$\,\! a = Re\ z, \quad b= Im\ z.$

Таким образом, комплексное число задается двумя действительными числами. Если интерпретировать эти числа как декартовы координаты, то получим естественное соответствие комплексных чисел и точек на плоскости (рис. 2).

Если в случае действительных чисел мы имели числовую прямую, то в случае комплексных чисел получаем числовую плоскость, которая называется комплексной плоскостью.

[править] Задача 5[8]

Вычислите:

а) $\,\! (-i)^2$ ;

б) $\,\! (2+3i)+(7-i)$ ;

в) $\,\! (2+3i)(7-i)$ ;

г) $\,\! (1+i)(1-i)$ ;

д) $\,\! (2-3i)(3+2i)$ ;

е) $\,\! (3+4i)(3-4i)$ .

Решение

а) $\,\! -1$ ;

б) $\,\! 9+2i$ ;

в) $\,\! 17+19i$ ;

г) $\,\! 2$ ;

д) $\,\! 12-5i$ ;

е) $\,\! 9+16=25$ .

[править] Задача 6[9]

Вычислите:

а) $\,\! (1+i)(\sqrt{3}+i)$ ;

б) $\,\! (\sqrt{3}+i)(1+\sqrt{3}i)$ ;

в) $\,\! (\sqrt{3}-i)^3$ ;

г) $\,\! (1- \sqrt{3}i)^6$ ;

д) $\,\! (1+\sqrt{3}i)(1-\sqrt{3}i)$ ;

е) $\,\! (\cos 30^\circ + i \sin 30^\circ)^3$ .

Решение:

а) $\,\! -1+\sqrt{3} + (1+\sqrt{3})i$ ;

б) $\,\! 4i$ ;

в) $\,\! -8i$ ;

г) $\,\! 64$ ;

д) $\,\! 4$ ;

е) $\,\! i$ .

Операции сложения и умножения комплексных чисел осуществляются так, как если бы мнимая единица $\,\! i$ была переменной (а комплексные числа — многочленами от этой переменной), при этом $\,\! i^2=-1$ .

[править] Задача 7[9]

Докажите, что любой многочлен от $\,\! i$ можно свести к линейному двухчлену $a+b\cdot i$ .

[править] Задача 8[8]

Вычислите: а) $\,\! (1+i)^2$ ; б) $\,\! (1+i)^{10}$ ; в) $\,\! (1-i)^{101}$ .

Решение

а) $\,\! 2i$ ;

б) $\,\! 32i$ ;

в) $\,\! -2^{50}(1-i)$ .

[править] Задача 9[8]

Найдите комплексное число $\,\! z$ такое, что

а) $\,\! z(1+i)=1$ ; б) $\,\! z(2+i)=1-i$ ; в) $\,\! z(2+3i)=3-2i$ ; г) $\,\! z(1+i)=3+4i$ . Подсказка Пусть $\,\! z=a+b\cdot i$ . Тогда из $\,\! z(1+i)=1$ следует

$\,\! (a+b\cdot i)(1+i)=1,$ $\,\! a+b\cdot i + a\cdot i - b =1,$ $\,\! (a-b)+(a+b)\cdot i =1+0\cdot i.$

[править] Задача 10[9]

Найдите два комплексных числа, сумма и произведение которых равны 2.

[править] Задача 11[9]

Найдите сумму $\,\! 1+i+i^2+\ldots+i^{100}$ .

Решение

$\,\! 1$ . Подсказка Чему равны частичные суммы $\,\! 1+i$ , $\,\! 1+i+i^2$ , $\,\! 1+i+i^2+i^{3}$ , $\,\! 1+i+i^2+i^3+i^4$ ?

[править] Задача 12[9]

Найдите $\,\! (1+i\sqrt{3})^{30}$ .

Решение

$\,\! 2^{30}$ . Подсказка Чему равн $\,\! (1+i\sqrt{3})^3$ ?

[править] Задача 13[9]

Найдите все $\,\! z=a+bi$ , для которых верно равенство $\,\! z^3=1$ .

Решение

$\,\! 1$ , $\,\! -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ , $\,\! -\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ . Подсказка $\,\! (\sqrt{3}+i)^3=8$ .

[править] Чисто мнимые числа

Определение 2

Число $\,\! z$ называется чисто мнимым, если $\,\! Re\ z =0$ .

Например, числа

$\,\! i, \quad -4i,\quad (17+\sqrt{2})i$

чисто мнимые.

[править] Задача 14[8]

Проверьте правильность следующих утверждений:

а) Сумма и разность чисто мнимых чисел есть чисто мнимое число. б) Произведение двух чисто мнимых чисел равно действительному числу. в) Квадрат чисто мнимого числа равен действительному отрицательному числу. г) Произведение чисто мнимого числа на действительное равно чисто мнимому числу.

[править] Задача 15[8]

Найдите число $\,\! z$ , квадрат которого есть чисто мнимое число.

Решение

$\,\! 1+i$ , $\,\! 1-i$ .

[править] Задача 16[8]

Найдите число $\,\! z$ , отличное от $\,\! 2$ , такое, что $\,\! z^4=16$ .

Решение

$\,\! 2i$ и $\,\! -2i$ .

[править] Задача 17[9]

Найдите число, отличное от $\,\! -2$ , куб которого которого равен $\,\! -8$ .

Решение

$\,\! 1+\sqrt{3}i$ и $\,\! 1-\sqrt{3}i$ .

[править] Задача 18[10]

Найдите (отметьте) на комплексной плоскости все числа $\,\! z=a+b\cdot i$ , квадрат которых равен

a) чисто мнимому числу; б) действительному числу; в) действительному положительному числу. Решение

а) $\,\! | Re\ z|=| Im\ z|$ — две скрещивающиеся прямые $\,\! a=b$ , $\,\! a=-b$ ;

б) $\,\! Im\ z=0$ или $\,\! Re\ z =0$ — две скрещивающиеся прямые $\,\! a=0$ , $\,\! b=0$ ; б) $\,\! Im\ z=0$ — одна прямая $\,\! b=0$ .

[править] Cопряженные числа. Модуль. Деление

[править] Cопряженные числа

Определение 3

Пусть

$\,\! z=a+b\cdot i.$

Тогда число

$\,\! \overline{z}=a-b\cdot i$

называется комплексно-сопряженным или просто сопряженным к числу $\,\! z$ .

Комплексное число $\,\! z$ и комплексно-сопряженное к нему число $\,\! \overline{z}$ отличаются знаком мнимой части, действительная часть у них одинаковая:

$\,\! Re(z)= Re (\overline{z}), \quad Im(z) = - Im (\overline{z}).$

[править] Задача 19[7]

Докажите, что $\,\! (a-b)(a+b)=a^2-b^2$ .

[править] Задача 20[8]

Найдите, чему равны выражения а) $\,\! z+\overline{z}$ ;

б) $\,\! z-\overline{z}$ ; в) $\,\! z\cdot \overline{z}$ для $\,\! z=3+4i$ .

Решение

а) $\,\! 6$ ; б) $\,\! 8i$ ; в) $\,\! 25$ .

[править] Задача 21[9]

Докажите тождества:

$\,\! \overline{z+w} = \overline{z}+\overline{w}$ и $\,\! \overline{z\cdot w} = \overline{z}\cdot\overline{w}.$

[править] Задача 22[9]

Докажите, что

$\,\! \overline{z^n} = (\overline{z})^n.$

Подсказка Используйте задачу 21 и метод математической индукции.

[править] Задача 23[9]

Пусть $\,\! P(z)$ — многочлен от $\,\! z$ . Докажите, что

$\,\! P(\overline{z}) = \overline{P(z)}.$

[править] Задача 24[8]

Докажите, что числа $\,\! z+\overline{z}$ и $\,\! z\cdot \overline{z}$ действительные.

[править] Задача 25[9]

Докажите, что многочлен от $\,\! z$ равный

$\,\! (z-z_0)(z-\overline{z_0}),$

где $\,\! z_0$ — произвольное комплексное число, имеет действительные коэффициенты (если раскрыть скобки и привести подобные).

[править] Задача 26[9]

Докажите, что если комплексное число $\,\! z_0$ является корнем трехчлена $\,\! az^2+bx+c$ , где $\,\! a$ , $\,\! b$ и $\,\! c$ — действительные числа, то $\,\! \overline{z_0}$ тоже является корнем.

[править] Задача 27[9]

Вычислите число $\,\! (1+i)^{10}\cdot \overline{(1+i)^{10}}$ .

Решение

$\,\! 2^{10}$ .

[править] Задача 28[9]

Найдите целые $\,\! a$ и $\,\! b$ такие, что

а) $\,\! (1+\sqrt{2})^3=a+b\sqrt{2}$ ; б) $\,\! (1-\sqrt{2})^3=a+b\sqrt{2}$ . Как отличаются ответы для а) и б)?

[править] Задача 29[9]

Найдите целые $\,\! a$ и $\,\! b$ такие, что

а) $\,\! (1+2i)^3=a+bi$ ; б) $\,\! (1-2i)^3=a+bi$ . Как отличаются ответы для а) и б)?

[править] Задача 30[9]

Даны числа $\,\! \alpha=4-2\sqrt{3}$ и $\,\! \beta = 4+2\sqrt{3}$ . Докажите, что $\,\! \alpha\beta$ , $\,\! (\alpha + \beta)$ , $\,\! \alpha^n+\beta^n$ целые числа при натуральном $\,\! n$ . Найдите $\,\! \alpha^3+\beta^3$ .

Решение

$\,\! \alpha^3+\beta^3 = 2(4^3+3\cdot4\cdot(2\sqrt{3})^2)=416$ . Подсказка При решении можно использовать формулу

$\,\! (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3.$

Чему равно $\,\! (a+b)^3+(a-b)^3$ ?

[править] Задача 31[9]

Число $\,\! (1+\sqrt{3})^3+(1-\sqrt{3})^3$ целое. Найдите его.

Решение

$\,\! 20$ .

[править] Задача 32[9]

Число $\,\! (1+\sqrt{3}i)^3+(1-\sqrt{3}i)^3$ целое. Найдите его.

Решение

$\,\! -16$ .

[править] Задача 33[9]

Даны два действительных числа $\,\! \alpha$ и $\,\! \beta$ такие, что $\,\! \alpha\beta$ и $\,\! (\alpha + \beta)$ — целые числа. Докажите, что $\,\! \alpha^n+\beta^n$ будет целым числом при любом натуральном $\,\! n$ .

[править] Задача 34[9]

Даны два комплексных числа $\,\! \alpha$ и $\,\! \beta$ такие, что $\,\! \alpha\beta$ и $\,\! (\alpha + \beta)$ действительные числа. Докажите, что $\,\! \alpha^n+\beta^n$ будет действительным числом при любом натуральном $\,\! n$ .

[править] Задача 35[8]

Покажите, что

$\,\! z \cdot \overline{z} = a^2+b^2.$

[править] Модуль

Определение 4

Пусть $\,\! z=a+b\cdot i$ . Модулем комплексного числа $\,\! z$ называется число

$\,\! |z| = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{z\cdot \overline{z}}$

— длина отрезка $\,\! Oz$ на комплексной плоскости.

Посмотрите на рисунок 2. Модуль числа $\,\! |z|$ — это длина отрезка $\,\! Oz$ .

$\,\! |z|^2 = z\cdot \overline{z}=a^2+b^2.$

Модуль комплексного числа есть неотрицательное действительное число. Модуль равен нулю тогда и только тогда, когда само число равно нулю.

[править] Задача 36[8]

Домножьте на сопряженные следующие числа а) $\,\! 1+i$ ; б) $\,\! -1-i$ ; в) $\,\! 2-3i$ ; г) $\,\! -3i$ ;

д) $\,\! -3$ ;

е) $\,\! i(a+b\cdot i)$ .

[править] Задача 37[9]

Докажите тождество $\,\! (a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2$ . Подсказка Пусть $\,\! z=a+b\cdot i$ , $\,\! w=c+d\cdot i$ . Запишите равенство

$\,\! (z\overline{z})\cdot (w\overline{w})=(zw)(\overline{zw}),$

которое соответствует равенству

$\,\! |z|^2\cdot |w|^2=|zw|^2.$

Таким образом, утверждение последней задачи равносильно следующему утверждению:

Модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей.

[править] Деление

Идея домножения на сопряженное помогает нам определить операцию деления комплексных чисел. Рассмотрим деление на примере:

$\,\! \frac{1-i}{2+3i}=?$

Умножим и числитель и знаменатель на одно и то же число $\,\! 2-3i$ (это число, сопряженное знаменателю). Получим:

$\,\! \frac{(1-i)(2-3i)}{(2+3i)(2-3i)}=\frac{2+3i-i(2-3i)}{2^2-(3i)^2}= \frac{2+3i-2i+2\cdot 3\cdot i^2}{4+9}= \frac{2+3i-2i-6}{13} = \frac{-4+i}{13} .$

В знаменателе стоит $\,\! (2+3i)(2-3i)=2^2-(3i)^2=2^2+3^2=4+9=13$ — действительное число. Разделить комплексное число на действительное не сложно: нужно просто действительную и комплексную часть разделить на это число. Получаем:

$\,\! \frac{1-i}{2+3i}=-\frac{4}{13}+\frac{1}{13}i.$

Алгоритм деления на комплексное число аналогичен алгоритму избавления от иррациональности в знаменателе. Например:

$\,\! \frac{1}{2-\sqrt{3}}=\frac{(2+\sqrt{3})}{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})}=\frac{2+\sqrt{3}}{2^2-\left(\sqrt{3}\right)^2} =\frac{2+\sqrt{3}}{4-3}=2+\sqrt{3}.$

При делении комплексных чисел $\,\! \frac{v}{w}$ нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное к знаменателю. Тогда в знаменателе окажется действительное число $\,\! w\overline{w}$ — на него мы делить умеем:

$\,\! \frac{v}{w}=\frac{v\overline{w}}{w\overline{w}}=\frac{v\overline{w}}{|w|^2}.$

[править] Абстрактный подход

Комплексные числа можно рассматривать как множество пар $\,\! (a,b)$ действительных чисел, на котором специальным образом определены операция сложения, умножения и деления. Паре $\,\! (a,b)$ соответствует число $\,\! a+b\cdot i$ . Операция сложения на этих парах определяется очевидным образом — надо просто сложить соответствующие элементы пар:

$\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) =(a_1 + b_1 \cdot i)+(a_2 + b_2\cdot i) = (a_1+ a_2) + (b_1 + b_2)\cdot i = ( a_1+ a_2,\;\; b_1 + b_2 ).$

Найдем, как определяется умножение для этих пар:

$\,\! (a_1,\; b_1)\times (a_2,\; b_2) =(a_1 + b_1 \cdot i)\times (a_2 + b_2\cdot i) = a_1\cdot a_2 + a_1\cdot b_2\cdot i + b_1\cdot a_2\cdot i + b_1\cdot b_2\cdot (i)^2 = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2) + (a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2)\cdot i = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2, \;\; a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2).$

Таким образом, мы можем дать такое определение комплексным числам: Определение 5

Комплексные числа — это множество пар действительных чисел, на которых определены операции сложения « $\,\! +$ » и умножения « $\,\! \times$ » по следующим правилам:

$\,\! (a_1,\; b_1)+(a_2,\; b_2) = (a_1+a_2,\;\; b_1+b_2)$ $\,\! (a_1,\; b_1)\times (a_2,\; b_2) = (a_1\cdot a_2 - b_1\cdot b_2, \;\; a_1\cdot b_2 + b_1\cdot a_2).$

[править] Задача 38[9]

Покажите, что а) $\,\! (0,\;1)\times (0,\;1) = (-1,\; 0)$ ; б) $\,\! (1,\;0)\times (c,\;d) = (c,\; d)$ ; в) $\,\! (a,\;0)\times (b,\;0) = (ab,\;0)$ ; г) $\,\! (a,\;0)\times (c,\;d) = (ac,\;ad)$ ; д) $\,\! (0,\;b)\times (0,\;a) = (-ab,\;0)$ .

Такой подход к определению комплексных чисел требует доказательства многих фактов, которые в предыдущей части (когда мы $\,\! i$ рассматривали как некоторую переменную, для которой выполнено $\,\! i^2=-1$ ) были очевидны.

[править] Задача 39[10]

Пусть $\,\! z$ , $\,\! w$ , $\,\! v$ комплексные числа. Докажите, что верны следующие свойства:

$\,\! z \times w = w\times z$ (коммутативность умножения),

$\,\! (z\times w) \times v = z\times (w \times v)$ (ассоциативность умножения), $\,\! (z+w) \times v = (z \times v) + (w\times v)$ (дистрибутивность умножения относительно сложения).

Вычитание определяется очевидным образом:

$\,\! (a_1,\; b_1)-(a_2,\; b_2) = (a_1-a_2,\;\; b_1-b_2).$

Определить операцию деления несколько сложнее. Деление — это операция обратная к умножению. Следующая теорема утверждает корректность операции деления.

Теорема 1 (О существовании деления)

Пусть даны два комплексных числа $\,\! v=a+b\cdot i \ne 0$ и $\,\! w=c+d\cdot i$ . Тогда уравнение

[1]

$\,\! z\times v = w$

относительно $\,\! z$ имеет ровно одно решение.

Это решение обозначим как частное:

$\,\! \frac{w}{v}.$

В принципе, мы уже научились делить в предыдущей части — нужно просто числитель и знаменатель умножить на сопряженное, после чего в знаменателе будет действительное положительное число, равное квадрату модуля знаменателя. Это значит, что хотя бы одно решение у уравнения [1] точно есть. Чтобы показать единственность решения, применим метод доказательства от противного. Пусть у нас есть два решения уравнения [1]:

$\,\! z_1\times v = w,$ $\,\! z_2\times v = w,$

где $\,\! z_1\ne z_2$ . Тогда после вычитания одного уравнения из другого получим

$\,\! (z_1-z_2)\times v = 0.$

Но мы знаем, что модуль произведения равен произведению модулей. Оба множителя, $\,\! (z_1-z_2)$ и $\,\! v$ , не равны нулю, значит их модули не равны нулю, значит их произведение не может быть равно нулю, так как модуль произведения равен произведению модулей. Поэтому последнее равенство не может быть верным, и не может быть два разных решения у уравнения [1]. Есть другой подход к доказательству этой теоремы. Пусть

$\,\! z=(x,\;y),$ $\,\! w=(a,\;b),$ $\,\! v=(c,\;d).$

Распишем $\,\! z\times v = w$ подробно:

$\,\! (x,\;y)\times(a,\;b)=(c,\;d),$ $\,\! (xa - y b,\; xb+ya)=(c,\;d).$

Последняя строчка соответствует системе из двух уравнений:

$\,\! \left\{\begin{matrix}x a - y b = c,\\ x b + y a = d.\end{matrix}\right.$

Когда эта система имеет решение? Умножим первое уравнение на $\,\! a$ , а второе — на $\,\! b$ :

$\,\! x a^2 - y ab = ca,$ $\,\! x b^2 + y ab = db.$

И сложим их:

$\,\! x (a^2 + b^2) = ca+db,$ $\,\! x = \frac{ca+db}{a^2+b^2}.$

[править] Задача 40[10]

Покажите, что

$\,\! y = \frac{da-cb}{a^2+b^2}.$

Как видите, $\,\! x$ и $\,\! y$ определяются вполне однозначно, если $\,\! a^2+b^2\ne 0$ , то есть когда комплексное число $\,\! v\ne 0$ . Это и означает, что любое комплексное число можно делить на любое другое, не равное $\,\! 0$ , комплексное число.

[править] Геометрическая интерпретация

В этой части мы будем изучать различные геометрические свойства комплексных чисел: преобразования комплексной плоскости, множества на комплексной плоскости, геометрическую интерпретацию сложения и умножения. Итак, комплексные числа образуют плоскость. Координатные оси на этой плоскости соответствуют действительной и мнимой части комплексного числа. Два числа — действительная часть $a$ ( $Re\ z$ ) и мнимая часть $b$ ( $Im\ z$ ) — определяют комплексное число на комплексной плоскости.

[править] Преобразования комплексной плоскости

Поговорим о том, какие преобразования плоскости соответствуют различным операциям с комплексными числами.

[править] Задача 41[8]

Какое преобразование плоскости переводит $z$ в $2 z$ ?

Решение

При этом преобразовании и действительная, и мнимая части увеличиваются в два раза. Число $(1 + i)$ переходит в $(2 + 2 i)$ , число $( - i)$ переходит в $( - 2 i)$ . Все числа удаляются от точки $O$ — они становятся в два раза дальше от неё, но при этом остаются в том же направлении, что и до преобразования. Комплексная плоскость как бы растягивается в два раза относительно точки $O$ . Смотрите рисунки 3 и 4.

Примечание Это преобразование называется гомотетией относительно точки $O$ с коэффициентом $2$ . Гомотетия с коэффициентом $1 / 2$ будет сжимать плоскость в два раза относительно центра.

[править] Задача 42[9]

Какое преобразование плоскости

а) переводит $z$ в $z / 2$ ?

б) переводит $z$ в $z + 1$ ?

в) переводит $z$ в $\overline{z}$ ?

г) переводит $z$ в $- z$ ?

д) переводит $z$ в $-\overline{z}$ ?

е) переводит $z$ в $i\cdot z$ ?

ж) переводит $z$ в $-i\cdot z$ ?

Используйте рисунки 3-8.


Рис.3 Гомотетия растягивающая: $z\mapsto 2z$ .	Рис.4 Гомотетия сжимающая: $z \mapsto z/2$ .	Рис.5 Векторный перенос: $z \mapsto z + w$ , $w = 2 + i$ .

[править] Задача 43[9]

На плоскости задано две системы координат: $x O y$ и $z' O y'$ . Система координат $x' O y'$ повернута относительно $x O y$ на $45^\circ$ по часовой стрелке}. Найдите, как по координатам $x$ и $y$ некоторой точки $A$ определить её координаты $x'$ и $y'$ .

Подсказка

Заметьте, что если мы точку $A$ удалим от точки пересечения координат $O$ так, что $x$ и $y$ увеличатся в два раза, то и координаты $x'$ и $y'$ увеличатся в два раза. Отсюда сразу следует, что

x' = a x + b y,

y' = c x + d y,

где $a$ , $b$ , $c$ и $d$ — некоторые вещественные числа. Осталось подобрать их. Рассмотрим точки с координатами $(x, y)$ равными $(1,0)$ , $(0,1)$ , $( - 1,0)$ , $(0,1)$ . Какие координаты $(x', y')$ им соответствуют?

Примечание

Эту задачу можно интерпретировать по-другому: У нас есть одна единственная система координат. Мы осуществляем поворот всей плоскости против часовой стрелки на